1、课时达标检测(十四） 导数的概念及导数的运算练基础小题强化运算能力1(2018镇江调研)函数f(x)(x1)2(x1)在x1处的导数等于_解析：f(x)(x1)2(x1)x3x2x1，f(x)3x22x1，f(1)3214.答案：42(2017苏州暑假测试)曲线y2x在x0处的切线方程是_解析：因为y2xln 2，所以在x0处的切线斜率为k20ln 2ln 2，因此切线方程是y1ln 2(x0)，即yxln 21.答案：yxln 213已知直线yx1是函数f(x)ex图象的切线，则实数a_.解析：设切点为(x0，y0)f (x)ex，则f (x0)ex01，e x0a，又e x0x01，x02
2、，ae2.答案：e24(2018无锡期末)过曲线yx(x0)上一点P(x0，y0)处的切线分别与x轴、y轴交于点A，B，O是坐标原点，若OAB的面积为，则x0_.解析：y1，yxx01，AB：yy0(xx0)又y0x0，yx0(xx0)令x0得y；令y0得x，SOAB，解得x(负值舍去)答案：5(2018常州月考)设点P为函数f(x)图象上任一点，且f(x)在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围为_解析：由f(x)得，f(x)2，即tan (0，)，解得.答案：练常考题点检验高考能力一、填空题1(2018扬州期初测试)若以数列an中的各项an作为系数，构成一个函数系yanx3，其图象在x1处的
3、切线的斜率为4an11(n2)，且a1，则an_.解析：由yanx3，得y3anx2，故当x1时，切线的斜率k3an，从而3an 4an11(n2)，于是3an34an14(n2)，故(n2)，又a1，所以a11，所以数列an1是以为首项，为公比的等比数列，故an1n1，从而an1.答案：12(2018泰州模拟)已知曲线C：f(x)x3axa，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为_解析：设切点坐标为(t，t3ata)由题意知，f(x)3x2a，切线的斜率kf(t)3t2a，所以切线方程为y(t3ata)(3t2a)(xt).将点A(1，0)代入式得(t3
4、ata)(3t2a)(1t)，解得t0或t.分别将t0和t代入式，得ka和ka，由题意得它们互为相反数，故aa0，解得a.答案：3(2018太仓高级中学模拟)若点P，Q分别是曲线y与直线4xy0上的动点，则线段PQ长的最小值为_解析：易知曲线y与直线4xy0无公共点，设直线4xym与y相切，P为切点对y求导得y，由4得x1，因此P(1,5)或P(1，3)，解得m9或m7，此时两直线4xym,4xy0间的距离分别为，故线段PQ长的最小值为.答案：4(2018淮安月考)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f (x)存在，且导函数f (x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f(x)
5、(f(x)，若f(x)0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数以下四个函数在上为凸函数的是_(填序号)f(x)sin xcos x；f(x)ln x2x；f(x)x32x1；f(x)xex.解析：在定义域内，由f(x)sin xcos x0，得是凸函数；由f(x)0，得是凸函数；由f(x)6x0，得是凸函数；由f(x)2exxex0，得不是凸函数答案：5(2018重庆诊断)已知函数f(x)sin x，其导函数为f(x)，则f(2 019)f(2 019)f(2 019)f(2 019)的值为_解析：f(x)sin x，f(x)cos x，f(x)f(x)sin xsin(x)2，f(x)f(
6、x)cos xcos(x)0，f(2 019)f(2 019)f(2 019)f(2 019)2.答案：26(2018宿迁期初测试)若直线l与曲线C满足下列两个条件：()直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；()曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C，下列四个命题：直线l：y0在点P(0,0)处“切过”曲线C：yx3；直线l：yx1在点P(1,0)处“切过”曲线C：yln x；直线l：yx在点P(，0)处“切过”曲线C：ysin x；直线l：yx1在点P(0,1)处“切过”曲线C：yex.其中正确的命题有_(填序号)解析：对于，yx3在点P(0,0)处的切线为y
7、0，且曲线yx3在(0,0)附近位于直线y0两侧，符合题中两个条件，所以正确；对于，曲线C：yln x在直线l：yx1的同侧，不符合题意，所以错误；对于，由图象可知，曲线C：ysin x在点P(，0)附近位于直线l的两侧，符合题意，所以正确；对于，曲线C：yex在直线l：yx1的同侧，不符合题意，所以错误即正确的有.答案：7(2018启东中学月考)若曲线yaln x与曲线y在它们的公共点P(s，t)处具有公切线，则_.解析：函数yaln x的导函数为y，其切线在P(s，t)处的斜率为k1.函数y的导函数为y，其切线在P(s，t)处的斜率为k2.由曲线yaln x与曲线y在它们的公共点P(s，t
8、)处具有公切线，可得，且taln s，s0，所以ln s，所以s2e，所以t，s，即.答案：8(2018无锡期初测试)曲边梯形由曲线yx21，y0，x1，x2所围成，过曲线yx21，x1,2上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为_解析：设P(x0，x1)，x1,2，则易知曲线yx21在点P处的切线方程为y(x1)2x0(xx0)，令y2x0(xx0)x1g(x)，由g(1)g(2)2(x1)2x0(1x02x0)，得S普通梯形1x3x012，所以当P点坐标为时，S普通梯形最大答案：9若曲线f(x)ax3ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围
9、是_解析：由题意，可知f(x)3ax2，又曲线存在垂直于y轴的切线，所以3ax20，即a(x0)，故a(，0)答案：(，0)10(2018南通调研)在平面直角坐标系xOy中，直线l与曲线yx2(x0)和yx3(x0)均相切，切点分别为A(x1，y1)和B(x2，y2)，则的值是_解析：由yx2得y2x，切线方程为yx2x1(xx1)，即y2x1xx.由yx3得y3x2，切线方程为yx3x(xx2)，即y3xx2x，由得.答案：二、解答题11已知函数f(x)x32x23x(xR)的图象为曲线C.(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线
10、与曲线C的切点的横坐标的取值范围解：(1)由题意得f(x)x24x3，则f(x)(x2)211，即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是1，)(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，解得1k0或k1，故由1x24x30或x24x31，得x(，2(1,3)2，)12(2018启东中学高三月考)已知函数f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12和直线m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是曲线yg(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由解：(1)由已知得f(x)3ax2
11、6x6a，因为f(1)0，3a66a0，a2.(2)存在由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线yg(x)的切线，则设切点为(x0,3x6x012)因为g(x0)6x06，所以切线方程为y(3x6x012)(6x06)(xx0)，将(0,9)代入切线方程，解得x01.当x01时，g(1)0，切线方程为y9；当x01时，g(1)12，切线方程为y12x9.由(1)知f(x)2x33x212x11，由f(x)0得6x26x120, 解得x1或x2.在x1处，yf(x)的切线方程为y18；在x2处，yf(x)的切线方程为y9.所以yf(x)与yg(x)的公切线是y9.由f(x)12得6x26x1212，解得x0或x1.在x0处，yf(x)的切线方程为y12x11；在x1处，yf(x)的切线方程为y12x10；所以yf(x)与yg(x)的公切线不是y12x9.综上所述，yf(x)与yg(x)的公切线是y9，此时k0.