1、 数学（理科）第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则在复平面内所对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2.已知，则（ ）A B C D3.若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围是（ ）A B C D4.将1，2，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率是（ ）A B C D5.已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ）A B C D6.已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若,则球的半径为（ ）A B C
2、 D7.已知在中，点为边所在直线上的一个动点，则关于的值，下列选项正确的是（ ）A最大值为16 B为定值8 C最小值为4 D与的位置有关8.已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（ ）A B C D9.如图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（ ）A3 B4 C5 D610.使得（）的展开式中含有常数项的最小的为（ ）A4 B5 C6 D711.一个几何体的三视图如所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）A B C D12.设表示不超过的最大整数（如，），对于给定的，定义，则当时
3、，函数的值域是（ ）A B C D第卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡的相应位置上.）13.已知数列满足，是其前项和，则_.14.椭圆的左右顶点分别为，点在上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是_.15.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为_.16. 中，是的中点，若，则_.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）设数列的前项和为，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）证明：对一切正整数，有.18.（本小题满分12分）如图，在多面体中，平面，且是边长为2
4、的等边三角形，与平面所成角的正弦值为.（1）若是线段的中点，证明：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.19.（本小题满分12分）某电视台组织部分记者，用“10分制”随机调查某社区居民的幸福指数，现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福指数的得分（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福指数不低于9.5分，则称该人的幸福指数为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列
5、及数学期望.20.（本小题满分12分）已知抛物线与直线相切.（1）求抛物线标准方程，及其准线方程；（2）若是抛物线上相异的两点，且的中点在直线上，试证：线段的垂直平分线恒过定点.21.（本小题满分12分）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）证明：对任意的，存在唯一的，使；（3）设（2）中所确定的关于的函数为，证明：当时，有请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，半圆的直径的长为4，点平分弧，过作的垂线交于，交于.（1）求证：；（2）若是的角平分线，求的长.23. （本小题满分10分
6、）选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的极坐标方程为.（1）求直线普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数.（1）若不等式的解集为，求的值；（2）若的定义域为，求实数的取值范围.西安中学高2016届第一次仿真考试数 学(理科）答案一、 选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上。）1.C
7、 2.C 3.A 4.A 5.B 6.C7.B 8.C 9.A 10.B 11.C 12.D二、 填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置上。）13. 14. 15.512 16.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）17（本小题满分12分）【解析】(1) 当时,两式相减得整理得,即,又故数列是首项为,公差为的等差数列,综上,对一切正整数,有.18. （本小题满分12分）【解析】（1）证明：取的中点，连结，则，即是与平面所成角，取的中点为，以为原点，为轴，为轴，为轴建立，如图空间直角坐标系，则，取的中点为，则面，所以
8、，所以面（2）解：由上面知：，又取平面的一个法向量，又，设平面的一个法向量，由，由此得平面的一个法向量则，,所以二面角的平面角的余弦值为19.（本小题满分12分）【解析】（1）众数：8.6；中位数：8.75 ；（2）设表示所取3人中有个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件， 则 ； （3）的可能取值为0，1，2，3,则，因此.有；.的分布列为：所以=20.（本小题满分12分）【解析】（1）由，由直线和抛物线相切知，解得（舍）或，抛物线方程为，其准线方程为.（2）因为是抛物线上不同的两点，设又因为的中点在直线上，所以的中点当的斜率存在时（）由可得的垂直平分线的斜率，所以的垂直平分线的方
9、程为整理得，令，得所以当的斜率存在时，线段的垂直平分线恒过定点当的斜率不存在时，的垂直平分线是轴，仍过定点.综上，线段的垂直平分线恒过定点21.（本小题满分12分）【解析】(1) 函数f(x)的定义域为，令，得，当变化时，、的变化情况如下表：-0+极小值所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.(2)证明:当时，令，由(1)知在区间内单调递增，故存在唯一的，使得成立.(3)证明：因为，由(2)知，且，从而=，其中，要使成立，只需，当时，若，则由的单调性，有，矛盾，所以即，从而成立；另一方面，令，令，得.当时，；当时，故对，因此成立.综上，当时，有.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任
10、选一题作答。注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲【解析】（1）点平分弧，.,，即. （2）AE平分，. 23.(本小题满分10分) 选修44：坐标系与参数方程【解析】（1）直线的参数方程为（为参数），将直线的参数方程化为普通方程为：. 曲线的极坐标方程为，将极坐标方程化为直角坐标方程为（或）. （2）曲线的标准方程为，圆心，半径为1； 所以圆心到直线的距离， 因为点是曲线上的动点，所以点P到直线的距离的取值范围是24.（本小题满分10分）选修45：不等式选讲【解析】（1），其图象如图所示，由图可知当时，故（2）由题意得在R上恒成立，即在R上无实数解，即的图像与无交点，或，或