1、安徽省池州市东至二中2019-2020学年高二数学下学期6月月考试题 理（含解析）一.选择题(本大题共12小题，共60分)1.已知复数z满足(12i)z34i，则|z|（ ）A. B. 5C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用复数模的运算性质及其计算公式即可得出.【详解】(12i)z34i，|12i|z|34i|，则|z|.故选：C.【点睛】本题主要考查的是复数的四则运算，以及复数模的求法，是基础题.2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点以上推理中（ ）A. 小前提错误B. 大前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确
2、【答案】B【解析】【分析】对大前提，小前提，推理形式与结论进行判断【详解】大前提：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，错误，极值点的定义中除要求，还需要在两侧的导数的符号相反虽然小前提正确，推理形式正确，但结论是错误的，故选：B【点睛】本题考查三段论推理，三段论推理的结论是正确的前提条件是大前提、小前提、推理形式都正确3.观察下列各式：a+b=1.a2+b2=3，a3+b3=4 ，a4+b4=7,a5+b5=11,，则a10+b10=（ ）A 28B. 76C. 123D. 199【答案】C【解析】【详解】由题观察可发现，即,故选C. 考点：观察和归纳推理能力.4.函数在-2，2的图象大致
3、为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】结合图象，根据函数的奇偶性，函数的单调性，以及特殊点的位置，即可利用排除法解出【详解】因为，所以函数为偶函数,而，所以可排除选项；当时，使得，所以函数在上存在极小值点，排除选项； ，而，所以，排除选项故选：C【点睛】本题主要考查函数的图象的识别，涉及导数在研究函数性质中的应用，属于中档题5.用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+2+3+n2=时，当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把
4、n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案【详解】当n=k时，等式左端=1+2+k2，当n=k+1时，等式左端=1+2+k2+k2+1+k2+2+（k+1）2，增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）2故选C【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./6.（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据定积分的性质，微积分基本定理，以及定积分的几何意义即可求出【详解】因为，而等于以为圆心，半径为的个圆的面积，所以；因为，所以故选：B【点睛】本题主要考查定积分的性质，微积分基本定理，以及定积分的几何意义的应用，属于基础题7.我国古代典籍周
5、易用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦.共有多少种重卦.（ ）A. 12B. 16C. 32D. 64【答案】D【解析】【分析】按照分步乘法计数原理，即可求出【详解】因为每一行都有2个爻供选择，根据分步乘法计数原理，所以六行共可组成种重卦故选：D【点睛】本题主要考查分步乘法计数原理的应用，属于容易题8.已知的展开式中的系数为5，则（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】求出和展开式中的系数，即可列式解出【详解】因为展开式中的系数为，展开式中的系数为，所以，解得故选：A【点睛】本题主要考查二项式定理的应用
6、，属于基础题9.若，则=（ ）A. 45B. 120C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接计算其展开式中含的系数，即可得解；【详解】解：因为又其展开式中含的系数为即，故选：A【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.10.某次数学获奖的6名高矮互不相同的同学站成两排照相，后排每个人都高于站在他前面的同学，则共有多少种站法（ ）A. 36B. 90C. 360D. 720【答案】B【解析】【分析】6个高矮互不相同的人站成两排，后排每个人都高于站在他前面的同学的站法数为，由此能求出结果【详解】解：6个高矮互不相同的人站成两排，后排每个人都高于站在他前面的同学的站法数为，故选：B【点睛】本题
7、考查简单的排列组合问题，属于基础题.11.设函数的导数为，且，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数，通过求其导函数，结合题目给出，得到函数的单调性，然后在函数的解析式中分别取，1，利用函数单调性即可得到结论.【详解】构造辅助函数，令，则，函数为实数集上的减函数，则.，又，故选：B.【点睛】本题考查了利用导函数判断原函数的单调性，考查了不等关系与不等式，训练了函数构造法，解答此题的关键是结合选项的特点，正确构造出辅助函数，属于中档题.12.已知对，不等式恒成立，则的最大值是 ( )A. 1B. C. D. 【答案】C【解析】不等式可化为，则，所以当
8、时，即，所以，令，则令可得，故，即，应选答案C点睛：解答本题的思路是将不等式可化为，然后再构造函数，并对其进行求导，求出函数的最小值为，即，然后求出目标函数的最大值为，即，所以求出的最大值是二.填空题(本大题共4小题，共20分)13.已知，则_【答案】【解析】【分析】对原式两边同时求导，再令，即可求出结果.【详解】对两边同时求导，得到，令，则.故答案为：.【点睛】本题主要考查导数的运算，以及求二项展开式中部分项的系数和，属于常考题型.14.将名学生分配到个社区参加社会实践活动，每个社区至少分配一人，则不同的分配方案有_种（用数字填写答案）【答案】【解析】【分析】根据人数先进行分组，有3，1，1
9、或2，2，1两种情况，求出每一种的情况数目，结合分步计数原理，即可求解，【详解】当一个社区3人其他社区各有1人时，方案有（种）；当一个社区1人其他社区各人时，方案有（种），故不同的分配方案共有种.【点睛】本题考查排列组合的应用，结合条件先分组，再分配，属基础题15.把正整数按一定规律排成了如图所示的三角形数表设是位于这个三角形数表中从上到下数第行、从左到右数第个数，如，若，则_【答案】68【解析】【分析】根据三角形数表的规律：第n行有n个数，假设2020是第n行最后一个数，根据等差数列的前n项和公式，则，然后对n赋值，得到2020所在的行，然后再得到上一行最后一个数，进而得到其所在的行第一个数
10、，然后用等差数列的通项公式得到是第几个数.【详解】由三角形数表可得：第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，则第n行有n个数，假设2020是第n行最后一个数，则，当时，当时，所以2020在第64行，且第63行最后一个数为，则第64行第一个数为2017，所以，解得，所以.故答案为：68【点睛】本题主要考查等差数列的通项及前n项和公式，还考查了观察分析求解问题的能力，属于中档题.16.已知且满足1，则的最小值为_.【答案】ln2【解析】【分析】将，分别看成函数与上任意一点，问题转化为曲线上的动点与直线上的动点之间的最小值的平方问题.【详解】因为，所以可将，分别看成函数与上任意一点，问题转化为曲线
11、上的动点与直线上的动点之间的最小值的平方问题，设是曲线的切点，因为故点M处的切斜的斜率，由题意可得，解得，也即当切线与已知直线平行时，此时切点到已知直线的距离最近，最近距离，也即.故答案为：ln2【点睛】本题考查导数的几何意义、两点间的距离公式、曲线的切线，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.三.解答题(本大题共6小题，17题10分其余每题12分，共70分)17.已知的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992，求的展开式中.（1）二项式系数最大的项，（2）系数的绝对值最大的项.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根据的展开式的二项式
12、系数和比的展开式的二项式系数和大992，即可得到关于的方程：，求出，根据二项式系数的性质即可求出二项式系数最大的项（2）利用两边夹定理，设出第项为系数的绝对值最大的项，即可列出关于的不等式，即可求解【详解】解：依题意可得，即，解得（1）的展开式中第6项的二项式系数最大（2）设第项的系数的绝对值最大所以故第4项的系数的绝对值最大，【点睛】本题通过赋值法求出，根据二项式系数的性质，同时利用两边夹定理进行求解，属于中档题18.设均为正实数，反证法证明：至少有一个不小于2.【答案】证明见解析【解析】分析】假设结论反面成立，即全部小于2.然后推理出矛盾结论【详解】证明：假设全部小于2.即，则，又，当且仅
13、当时等号成立，与矛盾，所以假设错误原命题为真所以至少有一个不小于2.【点睛】本题考查反证法掌握反证法这个方法是解题基础反证法是假设结论的反面成立，然后作为条件进行推理，得出矛盾的结论，可与已知条件矛盾，可能推理过程得出矛盾的结论，可与已知的定义、定理、公理等矛盾从而说明假设错误，原命题正确19.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若恒成立，试确定实数的取值范围.【答案】（1）函数的递增区间为，函数的递减区间为；（2）【解析】试题分析：（1）由已知得x1， ，对分类讨论，由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间（2）由得，即求的最大值试题解析：解：（1）函数的定义域为，当时，函数的递增区
14、间为，当时，当时，当时，所以函数递增区间为，函数的递减区间为.（2）由得，令，则，当时，当时，所以的最大值为，故.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.20.已知函数（）求此函数的单调区间及最值；（）求证：对于任意正整数，均有1（e为自然对数的底数）【答案】（）当时， 函数在上是减函数，在上是增函数，无最大值; 当时，函数在上是减函数，在上是增函数，无最大值；（）见解析【解析】试题分析：（）求导可得,分与分别求与的解集，从而得到
15、其单调区间及受益人最值；（） （）由（）,取可得，所以有，令，代入不等式并相加可证结论成立.试题解析：（1）解：由题意当时，函数的定义域为，此时函数在上是减函数，在上是增函数，无最大值当时，函数的定义域为，此时函数在上是减函数，在上是增函数，无最大值（2）取，由知，故，取，则考点：1导数与函数的单调性、最值；2函数与不等式21.已知函数.（1）判断极值点的个数；（2）若x0时，恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）0（2）【解析】【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性及极值的关系，分别求得函数f（x）极值点的个数；（2）exf（x），（x0），可化为（1x）ex+ax10设h（x）（1x）e
16、x+ax1，（x0），则问题等价于当x0时，h（x）0，根据函数h（x）的性质，分类讨论，即可求得实数a的取值范围【详解】（1）由f（x）a，得f（x）x0；设g（x）（x1）ex+1，则g（x）xex，当x（，0）时，g（x）0，所以g（x）在（，0）上是减函数，当x（0，+）时，g（x）0，所以g（x）在（0，+）上是增函数，所以g（x）g（0）0，所以，所以f（x）在定义域上是增函数，f（x）极值点个数为0（2）exf（x）（x0），可化为（1x）ex+ax10令h（x）（1x）ex+ax1，（x0），则问题等价于当x0时，h（x）0h（x）xex+a，令m（x）xex+a，则m（x）在
17、（0，+）上是减函数当a0时，m（x）m（0）a0所以h（x）0，h（x）在（0，+）上是减函数所以h（x）h（0）0当a0时，m（0）a0，m（a）aea+aa（1ea）0，所以存在x0（0，a），使m（x0）0当x（0，x0）时，m（x）0，h（x）0，h（x）在（0，x0）上是增函数因为h（0）0，所以当x（0，x0）时，h（x）0，不满足题意综上所述，实数a的取值范围是（，0【点睛】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性及极值的关系，考查利用导数研究函数的性质，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于难题22.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求证：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】(1)求导得直线的斜率利用点斜式得方程(2)求导构造新函数证明即可【详解】（1）由，得，则切线方程为.（2），令，故在上单调递增. 又，又在上连续，使得，即，.（*）随的变化情况如下：极小值. 由（*）式得，代入上式得. 令，故在上单调递减.，又，.即.【点睛】本题考查导数的集合意义,考查导数证明不等式,转化为求函数最值是解题的关键,考查推理及变形能力,是中档题