1、探究课四 立体几何问题中的热点题型(建议用时：80分钟)1如图，DC平面ABC，EBDC，ACBCEB2DC2，ACB120，P，Q分别为AE，AB的中点(1)证明：PQ平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值(1)证明因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQEB.又DCEB，因此PQDC，又DC平面ACD，PQ平面ACD，所以PQ平面ACD.(2)解如图，连接CQ，DP.因为Q为AB的中点，且ACBC，所以CQAB.因为DC平面ABC，EBDC，所以EB平面ABC，因此CQEB，又EBABB，故CQ平面ABE.由(1)有PQDC，又PQEBDC，所以四边形CQPD为平行四边形，故
2、DPCQ，因此DP平面ABE，DAP为AD和平面ABE所成的角在RtDPA中，AD，DP1，sinDAP.因此AD与平面ABE所成角的正弦值为.2(2014新课标全国卷)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点(1)证明：PB平面AEC；(2)设AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，求A到平面PBC的距离(1)证明设BD与AC的交点为O，连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为PD的中点，所以EOPB.又因为EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.(2)解VPAABADAB.又V，可得AB.作AHPB交PB于H.由题设知BC平面
3、PAB，所以BCAH，故AH平面PBC.在RtPAB中，由勾股定理可得PB，所以AH，所以A到平面PBC的距离为.3如图，直角梯形ABCD中，ABCD，BCD90，BCCD，ADBD，EC底面ABCD，FD底面ABCD，且有ECFD2.(1)求证：ADBF；(2)若线段EC的中点为M，求直线AM与平面ABEF所成角的正弦值(1)证明BCDC，且BCCD，BD2且CBDBDC45，又ABDC，可知DBACDB45，ADBD，ADB是等腰三角形，DABDBA45，ADB90，即ADDB，FD底面ABCD于点D，AD平面ABCD，ADDF，又DFBDD，AD平面DBF，又BF平面DBF，ADBF.(
4、2)解过点M作MNBE于点N，连接AN、AM.又由ABBC，ABEC，AB平面BCE.ABMN，又ABBEB，MN平面ABEF.故MAN即为直线AM与平面ABEF所成角又由EMNEBC，可得MN，且AM，sin MAN.故直线AM与平面ABEF所成角的正弦值为.4如图，在平行四边形ABCD中，AB2BC，ABC120，E为线段AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成ADE，使平面ADE平面BCDE，F为线段AC的中点(1)求证：BF平面ADE；(2)设M为线段DE的中点，求直线FM与平面ADE所成角的余弦值(1)证明取AD的中点G，连接GF，GE，由条件易知FGCD，FGCD，BECD，BECD，
5、所以FGBE，FGBE，故四边形BEGF为平行四边形，所以BFEG.因为EG平面ADE，BF平面ADE，所以BF平面ADE.(2)解在平行四边形ABCD中，设BCa，则ABCD2a，ADAEEBa，连接CE，根据ABC120，在BCE中，可得CEa，在ADE中，可得DEa，在CDE中，因为CD2CE2DE2，所以CEDE，在正三角形ADE中，M为DE中点，所以AMDE.由平面ADE平面BCD，可知AM平面BCD，AMCE.所以CE平面ADE.取AE的中点N，连接NM，NF，所以NFCE.所以NF平面ADE，则FMN为直线FM与平面ADE所成角在RtFMN中，NFa，MNa，FMa，则cosFM
6、N，所以直线FM与平面ADE所成角的余弦值为.5.(2014江西卷)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BC，A1BBB1.(1)求证：A1CCC1；(2)若AB2，AC，BC，问AA1为何值时，三棱柱ABCA1B1C1体积最大，并求此最大值(1)证明由AA1BC知BB1BC，又BB1A1B，且BC平面BCA1，A1B平面BCA1，BCA1BB，故BB1平面BCA1，由A1C平面BCA1可得BB1A1C，又BB1CC1，所以A1CCC1.(2)解法一设AA1x，在RtA1BB1中，A1B.同理，A1C.在A1BC中，cos BA1C，sin BA1C，所以SA1BCA1BA1Csin B
7、A1C.从而三棱柱ABCA1B1C1的体积VSA1BCAA1.因为x，故当x，即AA1时，体积V取到最大值.法二如图，过A1作BC的垂线，垂足为D，连接AD.由于AA1BC，A1DBC，故BC平面AA1D，BCAD，又BAC90，所以SABCADBCABAC，得AD.设AA1x，在RtAA1D中，A1D，SA1BCA1DBC.从而三棱柱ABCA1B1C1的体积VSA1BCAA1.因为x，故当x，即AA1时，体积V取到最大值.6.如图，已知四边形ABCD是正方形，EA平面ABCD，PDEA，ADPD2EA2，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点(1)求证：FG平面PDE；(2)求证：平面FGH
8、平面ABE；(3)在线段PC上是否存在一点M，使PB平面EFM？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由(1)证明因为F，G分别为PB，BE的中点，所以FGPE，又FG平面PDE，PE平面PDE，所以FG平面PDE.(2)证明因为EA平面ABCD，所以EACB.又CBAB，ABAEA，所以CB平面ABE.由已知F，H分别为线段PB，PC的中点，所以FHBC.则FH平面ABE.而FH平面FGH，所以平面FGH平面ABE.(3)解在线段PC上存在一点M，使PB平面EFM.证明如下：如图，在PC上取一点M，连接EF，EM，FM.在直角三角形AEB中，因为AE1，AB2，所以BE.在直角梯形EADP中，因为AE1，ADPD2，所以PE，所以PEBE.又F为PB的中点，所以EFPB.要使PB平面EFM，只需使PBFM.因为PD平面ABCD，所以PDCB，又CBCD，PDCDD，所以CB平面PCD，而PC平面PCD，所以CBPC.若PBFM，则PFMPCB，可得.由已知可求得PB2，PF，PC2，所以PM.