1、高考数学(江苏省专用)第八章 复 数1.(2017江苏,2,5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.A组自主命题江苏卷题组五年高考答案解析 本题考查复数的运算.z=(1+i)(1+2i)=1+2i+i+2i2=3i-1,|z|=.2.(2014江苏,2,5分,0.95)已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位),则z的实部为.答案21解析z=(5+2i)2=21+20i,故z的实部为21.3.(2013江苏,2,5分,0.919)设z=(2-i)2(i为虚数单位),则复数z的模为.答案5解析z=(2-i)2=3-4i,|z|=5.4.(2015江苏,3,5分,0
2、.885)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为.答案解析 设z=a+bi(a,bR),则z2=a2-b2+2abi,由复数相等的定义得解得或从而|z|=.5.(2016江苏,2,5分)复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是.答案5解析(1+2i)(3-i)=3+5i-2i2=5+5i,所以z的实部为5.考点一 复数的有关概念及几何意义1.(2017课标全国文改编,2,5分)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于第象限.B组 统一命题省(区、市)卷题组答案 三解析z=i(-2+i)=-2i+i2=-2i-1=-1-2i,所以复数z在复平面内对应的点为
3、(-1,-2),位于第三象限.2.(2017课标全国理改编,2,5分)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=.答案解析 本题考查复数的运算及复数的模.(1+i)z=2i,z=1+i.|z|=.一题多解(1+i)z=2i,|1+i|z|=|2i|,即|z|=2,|z|=.3.(2013课标全国理改编,2,5分)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为.答案解析|4+3i|=5,z=+i,虚部为.4.(2016山东改编,2,5分)若复数z=,其中i为2虚数单位,则=.答案1-i解析z=1+i,=1-i.评析 本题主要考查复数的有关概念及复数运算,计算准确是解题关键.5.(2016
4、天津,9,5分)i是虚数单位,复数z满足(1+i)z=2,则z的实部为.答案1解析z=1-i,z的实部为1.6.(2016天津理,9,5分)已知a,bR,i是虚数单位.若(1+i)(1-bi)=a,则的值为.答案2解析 由(1+i)(1-bi)=a得1+b+(1-b)i=a,则解得所以=2.7.(2015天津,9,5分)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为.答案-2解析(1-2i)(a+i)=2+a+(1-2a)i为纯虚数,解得a=-2.8.(2015湖北改编,1,5分)i为虚数单位,i607的为.答案i解析i607=i4151+3=(i4)151i3=-i,i6
5、07的共轭复数为i.9.(2013湖南理改编,1,5分)复数z=i(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于第象限.答案 二解析z=i+i2=-1+i的对应点为(-1,1),此点位于第二象限.10.(2014江西改编,1,5分)是z的共轭复数,若z+=2,(z-)i=2(i为虚数单位),则z=.答案1-i解析 令z=a+bi(a,bR),则=a-bi,所以z+=2a=2,得a=1,(z-)i=2bi2=-2b=2,得b=-1,z=1-i.考点二 复数的运算1.(2017课标全国文改编,2,5分)(1+i)(2+i)=.答案1+3i解析 本题考查复数的基本运算.(1+i)(2+i)=2+i
6、+2i+i2=1+3i.2.(2017北京文改编,2,5分)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是.答案(-,-1)解析 本题考查复数的运算.复数(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i在复平面内对应的点在第二象限,a0),则z2=a2-b2+2abi=-4,所以a=0,-b2=-4,故b=2,z=2i.6.(2016江苏南京、盐城一模,5)已 知 复 数 z=(i是虚数单位),则|z|=.答案解析z=+i,|z|=.7.(2016江苏泰州一模,4)如图,在复平面内,点A对应的复数为z1,若=i(i为虚数单位),则z2=.答案-2-i解析 由题意知,z1
7、=-1+2i,则z2=z1i=(-1+2i)i=-2-i.8.(2015江苏泰州二模,1)若复数(a-2)+i(i是虚数单位)是纯虚数,则实数a=.答案2解析 纯虚数的实部为零,虚部不为零,所以a-2=0,即a=2.二、解答题(共10分)9.(2015江苏新海高级中学月考)已知z是虚数,若w=z+是实数,且-1w2.(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;(2)设u=,求证u是纯虚数.解析(1)设z=a+bi(a,bR,b0),则w=a+bi+=a+bi+=a+bi,因为w为实数,且b0,所以1-=0,从而a2+b2=1,进而|z|=1.由以上还可以得知w=a=2a,由条件-1w2,可得-a1
8、.(2)证明:由(1)得u=,由(1)可知u的实部为0,虚部不为0,所以u是纯虚数.一、填空题(每题5分,共20分)1.(2017南通、泰州高三第一次调研)复数z=(1+2i)2,其中i为虚数单位,则z的实部为.B组20152017年高考模拟综合题组(时间：30分钟分值：30分)答案-3解析 由z=(1+2i)2得z=1+4i+4i2=-3+4i,所以z的实部为-3.2.(2017南京、盐城第二次模拟考试,2)若复数z满足z(1-i)=2i(i是虚数单位),是z的共轭复数,则z=.答案2解析 由z(1-i)=2i,得z=-1+i,从而=-1-i,所以z=(-1+i)(-1-i)=1+1=2.思
9、路分析 由题意求出z与,从而求得z.3.(2017江苏南京第一次调研)若zC,且|z+2-2i|=1,则|z-2-2i|的最小值为.答案3解析 设z=a+bi(a,bR),则|z+2-2i|=|a+bi+2-2i|=|(a+2)+(b-2)i|=1,所以(a+2)2+(b-2)2=1,这表示的是一个以(-2,2)为圆心,1为半径的圆,而|z-2-2i|=|a+bi-2-2i|=|(a-2)+(b-2)i|=,这表示圆上任意一点(a,b)到点(2,2)的距离,则圆心(-2,2)到点(2,2)的距离为=4,所以|z-2-2i|的最小值为4-1=3.思路分析 根据复数的几何意义,得复数z在复平面内对
10、应点的轨迹,从而利用几何法求出|z-2-2i|的最小值.4.(2015江苏扬州一模)已知i是虚数单位,则的实部为.答案-解析=-i,所以实部为-.二、解答题(共10分)5.(2015江苏连云港五校联考)已知复数z满 足|z|=,z2的虚部为2.(1)求z;(2)设z,z2,z-z2在复平面内对应的点分别为A,B,C,求ABC的面积.解析(1)设z=x+yi(x,yR),则z2=(x+yi)2=x2-y2+2xyi,由题意得故(x-y)2=0,x=y,将其代入2xy=2得2x2=2,x=1,故或故z=1+i或z=-1-i.(2)当z=1+i时,z2=2i,z-z2=1-i,A(1,1),B(0,2),C(1,-1),SABC=12=1.当z=-1-i时,z2=2i,z-z2=-1-3i,A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),SABC=12=1.综上,SABC=1.