1、12.2 离散型随机变量的期望值和方差一、知识梳理1.期望：若离散型随机变量，当=xi的概率为P（=xi）=Pi（i=1，2，n，），则称E=xi pi为的数学期望，反映了的平均值.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E由的分布列唯一确定.2.方差：称D=（xiE）2pi为随机变量的均方差，简称方差.叫标准差，反映了的离散程度.3.性质：（1）E（a+b）=aE+b，D（a+b）=a2D（a、b为常数）.（2）二项分布的期望与方差：若B（n，p），则E=np，D=npq（q=1p）.D表示对E的平均偏离程度，D越大表示平均偏离程度越大，说明的取值越分散.二、例题剖析【例1】 设是一
2、个离散型随机变量，其分布列如下表，试求E、D.101P12qq2拓展提高既要会由分布列求E、D，也要会由E、D求分布列，进行逆向思维.如：若是离散型随机变量，P（=x1）=，P（=x2）=，且x1x2，又知E=，D=.求的分布列.解：依题意只取2个值x1与x2，于是有E=x1+x2=，D=x12+x22E2=.从而得方程组【例2】 人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保费a元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡则赔付1万元.经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是p1，非意外死亡的概率为p2，则a需满足什么条件，保险公司才可能盈利?【例3】 把4个球随机
3、地投入4个盒子中去，设表示空盒子的个数，求E、D.特别提示求投球的方法数时，要把每个球看成不一样的.=2时，此时有两种情况：有2个空盒子，每个盒子投2个球；1个盒子投3个球，另1个盒子投1个球.【例4】 若随机变量A在一次试验中发生的概率为p（0p1），用随机变量表示A在1次试验中发生的次数.（1）求方差D的最大值；（2）求的最大值.【例5】 袋中装有一些大小相同的球，其中有号数为1的球1个，号数为2的球2个，号数为3的球3个，号数为n的球n个.从袋中任取一球，其号数作为随机变量，求的概率分布和期望.【例6】（湖北卷）某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机
4、会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数的分布列和的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率.三、同步练习 g3.1098 离散型随机变量的期望值和方差1.设服从二项分布B（n，p）的随机变量的期望和方差分别是2.4与1.44，则二项分布的参数n、p的值为BA.n=4，p=0.6B.n=6，p=0.4C.n=8，p=0.3D.n=24，p=0.12.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数
5、目的期望为CA.2.44B.3.376C.2.376D.2.43.设投掷1颗骰子的点数为，则BA.E=3.5，D=3.52B.E=3.5，D=C.E=3.5，D=3.5D.E=3.5，D=4.设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为，则下列结论正确的是AA.E=0.1B.D=0.1C.P（=k）=0.01k0.9910kD.P（=k）=C0.99k0.0110k5.已知B（n，p），且E=7，D=6，则p等于AA.B.C.D.6.一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为，则D等于CA.0.2 B.0.8 C.0.196
6、D.0.8047.有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量1、2，已知E1=E2，D1D2，则自动包装机_乙_的质量较好.8.设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p=_时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为_ 5_.9.甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，则甲回家途中遇红灯次数的期望为_1.2_.10.一次单元测试由50个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中恰有1个是正确答案.每题选择正确得2分，不选或错选得0分，满分是100分.学生甲选对任一题的概率为0.8，求他在这次测试中成绩的期望和标准差.11.袋中有4只
7、红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球.设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分的概率分布和数学期望.12.一台设备由三大部件组成，在设备运转中，各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和0.30.假设各部件的状态相互独立，以表示同时需要调整的部件数，试求的数学期望E和方差D.13.将数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称之为一个巧合，求巧合数的数学期望.14.（辽宁卷）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品. （）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；（）已知一件产品的利润如表二所示，用、分别表示一件甲、乙产品的利润，在（I）的条件下，求、的分布列及E、E；（）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40名，可用资金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II）的条件下，x、y为何值时，最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）
