1、数列专练(一)作业(十七)1(2017成都市高三一诊)已知数列an满足a12，an12an4.(1)证明：数列an4是等比数列；(2)求数列|an|的前n项和Sn.解析(1)a12，a142.an12an4，an142an82(an4)，2，an4是以2为首项，2为公比的等比数列(2)由(1)，可知an42n，an2n4.当n1时，a120，S1|a1|2；当n2时，an0.Sna1a2an2(224)(2n4)2222n4(n1)4(n1)2n14n2.又当n1时，上式也满足当nN*时，Sn2n14n2.2(2017济南一模)已知an是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，S39，并且a2
2、，a5，a14成等比数列，数列bn的前n项和为Tn.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)若cn，求数列cn的前n项和Mn.解析(1)令等差数列an的首项为a1，公差为d，由题意知(a14d)2(a1d)(a113d)，S33a13d9，又d0，a11，d2，an2n1，b13，n2时，bnTnTn13n，b13符合bn3n，bn3n.(2)cn.Mn，Mn，Mn12()12().Mn2.3(2017衡水调研)已知数列an满足对任意的正整数n，均有an15an23n，且a18.(1)证明：数列an3n为等比数列，并求数列an的通项公式；(2)记bn，求数列bn的前n项和Tn.解析(1)因为a
3、n15an23n，所以an13n15an23n3n15(an3n)，又a18，所以a1350，所以数列an3n是首项为5、公比为5的等比数列所以an3n5n，所以an3n5n.(2)由(1)知，bn1()n，则数列bn的前n项和Tn1()11()21()nnn.4(2017武昌调研)设等差数列an的前n项和为Sn，已知a19，a2为整数，且SnS5.(1)求an的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，求证：Tn.解析(1)由a19，a2为整数可知，等差数列an的公差d为整数又SnS5，a50，a60，于是94d0，95d0，解得d.d为整数，d2.故an的通项公式为an112n.(2)由(1
4、)，得()，Tn()()()()令bn，由函数f(x)的图像关于点(4.5，0)对称及其单调性，知0b1b2b3b4，b5b6b7loga(1a)对任意正整数n恒成立，求实数a的取值范围解析(1)点(n，Sn)在f(x)x2x的图像上，Snn2n.当n2时，Sn1(n1)2(n1)，得ann.当n1时，a1S11，符合上式，ann.(2)由(1)得()，Tn(1)()()()()(1)()Tn1Tn0，数列Tn单调递增(Tn)minT1.要使不等式Tnloga(1a)对任意正整数n恒成立，只要loga(1a)即可1a0，0aa，得0a，实数a的取值范围是(0，)1(2017东北三校二模)已知数
5、列an满足a13，an12ann1，数列bn满足b12，bn1bnann.(1)证明：ann为等比数列；(2)数列cn满足cn，求数列cn的前n项和Tn.审题本题考查数列的递推关系、等比数列的定义与通项公式、数列求和(1)把an12ann1变形为an1(n1)2(ann)，结合等比数列的定义即可证明；(2)由(1)得到an的通项公式，通过累加得到bn的通项公式，进而得到cn的通项公式，最后利用裂项法求和解析(1)证明：an12ann1，an1(n1)2(ann)，又a112，ann是以2为首项、2为公比的等比数列(2)由(1)知，ann(a11)2n12n，bn1bnnan，bn1bn2n，b
6、2b121，b3b222，bnbn12n1，累加得bn22n(n2)当n1时，b12符合上式，，Tn.2(2017百校联盟二模)已知在数列an中，a12，a24，且an13an2an1(n2)(1)证明：数列an1an为等比数列，并求数列an的通项公式；(2)令bn，求数列bn的前n项和Tn.审题本题主要考查等比数列的定义、累加法求数列的通项公式以及错位相减法求数列的和对于(1)，适当变形便可得an1an2(anan1)，从而证得数列an1an为等比数列，再利用累加法即可求得an；对于(2)，由(1)得bn，利用错位相减法求即可解析(1)由an13an2an1(n2)，得an1an2(anan
7、1)，因此数列an1an是公比为2，首项为a2a12的等比数列所以当n2时，anan122n22n1，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(2n12n22)22n，当n1时，也符合，故an2n.(2)由(1)知bn，所以TnTn，得Tn2()21，所以Tn3.3(2016天津，理)已知an是各项均为正数的等差数列，公差为d.对任意的nN*，bn是an和an1的等比中项(1)设cnbn12bn2，nN*，求证：数列cn是等差数列；(2)设a1d，Tn (1)kbk2，nN*，求证： .解析(1)由题意得bn2anan1，有cnbn12bn2an1an2anan12dan1，因此cn
8、1cn2d(an2an1)2d2，所以cn是等差数列(2)Tn(b12b22)(b32b42)(b2n12b2n2)2d(a2a4a2n)2d2d2n(n1)所以 ()(1)0，所以数列Sn是关于项数n的递增数列，所以SnS1，因为1，且a1a320，a28.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，Sn是数列bn的前n项和，对任意正整数n不等式Sn(1)na恒成立，求实数a的取值范围解析(1)设数列an的公比为q，则2q25q20.q1，数列an的通项公式为an2n1.(2)bn，Sn，Sn，Sn，Sn1，Sn1，(1)na1对任意正整数n恒成立，设f(n)1，易知f(n)单调递增n为奇数时，f(n)的最小值为，a，n为偶数时，f(n)的最小值为，a，综上，a，即实数a的取值范围是(，)