1、全国卷3年考情分析第一讲 小题考法排列、组合与二项式定理考点(一)排列、组合的应用主要考查两个计数原理、排列、组合的简单综合应用，有时会与概率问题相结合考查.典例感悟典例(1)(2017全国卷)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A12种 B18种 C24种 D36种(2)某班班会上老师准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙2名学生至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为()A360 B520 C600 D720(3)(2018青岛模拟)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，
2、每个路口至少一人，则甲、乙在同一路口的分配方案共有()A18种 B24种 C36种 D72种解析(1)因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作先把4项工作分成3组，即2,1,1，有6(种)，再分配给3个人，有A6(种)，所以不同的安排方式共有6636(种)(2)若甲、乙同时被选中，则只需再从剩下的5人中选取2人，有C种选法，因为在安排顺序时，甲、乙不相邻需“插空”，所以安排的方式有AA种，从而此种情况下不同的发言顺序的种数为CAA120.若甲、乙只有一人被选中，则先从甲、乙中选一人，有C种选法，再从剩下的5人中选取3人，有C种选法，因为在安
3、排顺序时无要求，所以此种情况下不同的发言顺序的种数为CCA480.综上，不同的发言顺序的种数为120480600.故选C.(3)一个路口有3人的分配方法有CA种；两个路口各有2人的分配方法有CA种由分类加法计数原理，甲、乙在同一路口的分配方案为CACA36(种)答案(1)D(2)C(3)C方法技巧1解答排列组合问题的4个角度解答排列组合问题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手2解决分组分配问题的3种策略(1)不等分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数(2)整体均分：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一
4、定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数(3)部分均分：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数 演练冲关1(2018广州模拟)某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有()A36种B24种C22种 D20种解析：选B根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有AA12种推荐方法；第二种，将3名男生分成
5、两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有CAA12种推荐方法故共有24种推荐方法，选B.2(2017天津高考)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个(用数字作答)解析：一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有CCA960(个)，四个数字都是奇数的四位数有A120(个)，则至多有一个数字是偶数的四位数一共有9601201 080(个)答案：1 0803(2018全国卷)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_种(用数字填写答案)解析：法一：(直接法)按参加的女生人数可分两类：只有1位女生
6、参加有CC种，有2位女生参加有CC种故共有CCCC26416(种)法二：(间接法)从2位女生，4位男生中选3人，共有C种情况，没有女生参加的情况有C种，故共有CC20416(种)答案：164(2017浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有_种不同的选法(用数字作答)解析：法一：分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有CC55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有A12种不同的选法根据分步乘法计数原理知共有5512660种不同的选法法二：不考虑限制条件，共有AC种不同的选法，而没有女生的选法
7、有AC种，故至少有1名女生的选法有ACAC840180660(种)答案：660考点(二) 二项式定理及其应用主要考查二项式定理的通项公式、二项式系数、二项式特定项、二项展开式系数的和等.典例感悟典例(1)(2017全国卷)(1x)6展开式中x2的系数为()A15B20C30 D35(2)(2017全国卷)(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为()A80 B40C40 D80(3)若(3x1)2 018a0a1xa2x2a2 018x2 018(xR)，则_.解析(1)(1x)6展开式的通项Tr1Cxr，所以(1x)6的展开式中x2的系数为1C1C30.(2)当第一个括号内取x时，第二个
8、括号内要取含x2y3的项，即C(2x)2(y)3，当第一个括号内取y时，第二个括号内要取含x3y2的项，即C(2x)3(y)2，所以x3y3的系数为C23C2210(84)40.(3)令x0，可得a01.由通项可得a1C31(1)2 0176 054.令x，得1，则.答案(1)C(2)C(3)方法技巧求解二项式定理相关问题的常用思路(1)二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的(2)二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值演练冲关1(2018全国卷)5的展开式中x4的系数为()A
9、10 B20C40 D80解析：选C5的展开式的通项公式为Tr1C(x2)5rrC2rx103r，令103r4，得r2.故展开式中x4的系数为C2240.2(2018长郡中学模拟)若二项式7的展开式的各项系数之和为1，则含x2项的系数为()A560 B560C280 D280解析：选A取x1，得二项式7的展开式的各项系数之和为(1a)7，即(1a)71，解得a2.二项式7的展开式的通项Tr1C(x2)7rrC(2)rx143r.令143r2，得r4.因此，二项式7的展开式中含x2项的系数为C(2)4560，选A.3(x22)5的展开式中含x2项的系数为250，则实数m的值为()A5 B5C D
10、.解析：选C5的展开式的通项为Tr1Cx2(5r)(mx)rC(m)rx3r10，由3r102，得r4，系数为C(m)45m4.因为第二个因式中没有常数项，所以展开式中含x2项的系数为25m4250，求得m.故选C.4(2018陕西模拟)已知(x2)9a0a1xa2x2a9x9，则(a13a35a57a79a9)2(2a24a46a68a8)2的值为()A39 B310C311 D312解析：选D对(x2)9a0a1xa2x2a9x9两边同时求导，得9(x2)8a12a2x3a3x28a8x79a9x8，令x1，得a12a23a38a89a9310，令x1，得a12a23a38a89a932.
11、所以(a13a35a57a79a9)2(2a24a46a68a8)2(a12a23a38a89a9)(a12a23a38a89a9)312，故选D. 必备知能自主补缺依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干主干知识要记牢1排列、组合数公式(1)排列数公式An(n1)(nm1).(2)组合数公式C.2二项式定理(1)二项式定理(ab)nCanCan1bCankbkCbn.(2)通项与二项式系数Tk1Cankbk，其中C(k0,1,2，n)叫做二项式系数二级结论要用好1各二项式系数之和(1)CCCC2n.(2)CCCC2n1.2二项式系数的性质(1)CC，CCC.(2)二项式
12、系数最值问题当n为偶数时，中间一项即第项的二项式系数C最大；当n为奇数时，中间两项即第，项的二项式系数C，C相等且最大 针对练若n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是()A360 B180 C90 D45解析：选B依题意知n10，Tr1C()10rrC2rx，令5r0，得r2，常数项为C22180.易错易混要明了二项式(ab)n与(ba)n的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分还要注意二项式系数与项的系数的区别与联系，同时要明确二项式系数最大项与展开式系数最大项的不同A级124提速练一、选择题1在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复
13、数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有()A36个 B24个C18个 D6个解析：选B各位数字之和是奇数，则这三个数字中三个都是奇数或两个偶数一个奇数，所以符合条件的三位数有ACA61824(个)2(2018广西南宁模拟)5的展开式中x3项的系数为()A80 B80C40 D48解析：选B5的展开式的通项为Tr1C(2x)5rr(1)r25rCx52r，令52r3，解得r1.于是展开式中x3项的系数为(1)251C80，故选B.3(2019届高三南宁、柳州联考)从1,2,3，10中选取三个不同的数，使得其中至少有两个数相邻，则不同的选法种数是()A72 B70C66 D64解析：选D从1,2
14、,3，10中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有CCCC56种选法，三个数相邻共有C8种选法，故至少有两个数相邻共有56864种选法，故选D.4(2018新疆二检)(x23)5的展开式的常数项是()A2 B2C3 D3解析：选B5的通项为Tr1C5rCx2r10，令2r102或0，解得r4,5，展开式的常数项是C(3)C2.5(2018益阳、湘潭联考)若(13x)2 018a0a1xa2 018x2 018，xR，则a13a232a2 01832 018的值为()A22 0181 B82 0181C22 018 D82 018解析：选B由已知，令x0，得a01，令x3，得a0a13a232
15、a2 01832 018(19)2 01882 018，所以a13a232a2 01832 01882 018a082 0181，故选B.6现有5本相同的数学家的眼光和3本相同的数学的神韵，要将它们排在同一层书架上，并且3本相同的数学的神韵不能放在一起，则不同的放法种数为()A20 B120C2 400 D14 400解析：选A根据题意，可分两步：第一步，先放5本相同的数学家的眼光，有1种情况；第二步，5本相同的数学家的眼光排好后，有6个空位，在6个空位中任选3个，把3本相同的数学的神韵插入，有C20种情况故不同的放法有20种，故选A.7(2019届高三山西八校联考)已知(1x)n的展开式中第
16、5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A29 B210C211 D212解析：选A由题意得CC，由组合数性质得n10，则奇数项的二项式系数和为2n129，故选A.8(2018惠州模拟)旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小明可选的旅游路线数为()A24 B18C16 D10解析：选D分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有CA种可选的路线所以小明可选的旅游路线数为ACA10.选D.9.现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域
17、进行着色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的着色方法的种数是()A120 B140C240 D260解析：选D由题意，先涂A处，有5种涂法，再涂B处有4种涂法，第三步涂C，若C与A所涂颜色相同，则C有1种涂法，D有4种涂法，若C与A所涂颜色不同，则C有3种涂法，D有3种涂法，由此得不同的着色方法有54(1433)260(种)，故选D.10(2018郑州模拟)若二项式n的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为()A1 B1C27 D27解析：选A依题意得2n8，解得n3.取x1得，该二项展开式每一项的系数之和为(12)31，故选A.11(2018开封模拟)某地实
18、行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理 、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为()A6 B12C18 D19解析：选D法一：在物理、政治、历史中选一科的选法有CC9(种)；在物理、政治、历史中选两科的选法有CC9(种)；物理、政治、历史三科都选的选法有1种所以学生甲的选考方法共有99119(种)，故选D.法二：从六科中选考三科的选法有C种，其中包括了没选物理、政治、历史中任意一科，这种选法有1种，因此学生甲的选考方法共有C119(种)，故选D.12(2018甘肃兰州
19、检测)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有()A18种 B24种C36种 D48种解析：选C若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AA12(种)；若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AA12(种)；若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AC6(种)；若甲、乙抢的是两个6元，剩下2个红包，被剩下的3人中的2
20、个人抢走，有A6(种)，根据分类加法计数原理可得，共有12126636(种)故选C.二、填空题13(2018贵州模拟)9的展开式中x3的系数为84，则展开式的各项系数之和为_解析：二项展开式的通项Tr1Cx9rrarCx92r，令92r3，得r3，所以a3C84，所以a1，所以二项式为9，令x1，则(11)90，所以展开式的各项系数之和为0.答案：014(2018福州四校联考)在(1x3)(2x)6的展开式中，x5的系数是_(用数字作答)解析：二项展开式中，含x5的项是C2x5x3C24x2228x5，所以x5的系数是228.答案：22815(2018合肥质检)在4的展开式中，常数项为_解析：
21、易知44的展开式的通项Tr1C(1)4rr.又r的展开式的通项Rm1Cxrm(x1)mC(1)mxr2m，Tr1C(1)4rC(1)mxr2m，令r2m0，得r2m，0r4，0m2，当m0,1,2时，r0,2,4，故常数项为T1T3T5C(1)4C(1)2C(1)1C(1)0C(1)25.答案：516(2018洛阳模拟)某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有_种(用数字作答)解析：法一：第一步，选2名同学报名某个社团，有CC12种报法；第二步，从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学，有CC3种报法由分步乘法计数原理得共有123
22、36种报法法二：第一步，将3名同学分成两组，一组1人，一组2人，共C种方法；第二步，从4个社团里选取2个社团让两组同学分别报名，共A种方法由分步乘法计数原理得共有CA36种报法答案：36B级难度小题强化练1(2018南昌模拟)某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有()A120种 B156种C188种 D240种解析：选A法一：记演出顺序为16号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4号，4和5号，5和6号，其排法分别为AA，AA，CAA，CAA，CAA，故总编排
23、方案有AAAACAACAACAA120(种)法二：记演出顺序为16号，按甲的编排进行分类，当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有CAA48(种)；当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA36(种)；当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA36(种)所以编排方案共有483636120(种)2(2018洛阳模拟)若asin xdx，则二项式6的展开式中的常数项为()A15 B15C240 D240解析：选Dasin xdx(cos x)|(cos )(cos 0)1(1)2，则6的展开式的通项为Tr1C26r(1)rx，令63r0得r2，所以展开式中的常数项为C24
24、(1)2240.故选D.3定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数若m4，则不同的“规范01数列”共有()A18个 B16个C14个 D12个解析：选C由题意知：当m4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a10，a81.不考虑限制条件“对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C20(种)，其中存在k2m，a1，a2，ak中0的个数少于1的个数的情况有：若a2a31，则有C4(种)；若 a21，a30，则a41，a51，只有1种；若a20，则a3
25、a4a51，只有1种综上，不同的“规范01数列”共有20614(种)故共有14个故选C.4某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每个部门安排两人，则不同的安排方案种数为()A60 B40C120 D240解析：选A由题意得，先将4名大学生平均分为两组，共有3(种)不同的分法，再将两组安排在其中的两个部门，共有3A60(种)不同的安排方法故选A.5(2018郑州一模)由数字2,0,1,9组成没有重复数字的四位偶数的个数为_解析：根据所组成的没有重复数字的四位偶数的个位是否为0进行分类计数：第一类，个位是0时，满足题意的四位偶数的个数为A6；第二类，个位是2时，满足题意的四位偶数的个数为CA4.由分类加法计数原理得，满足题意的四位偶数的个数为6410.答案：106(2018济南模拟)已知(1axby)5(a，b为常数，aN*，bN*)的展开式中不含字母x的项的系数和为243，则函数f(x)，x的最小值为_解析：令x0，y1，得(1b)5243，解得b2.因为x，所以x，则sin xcos xsin1，所以f(x)sin xcos x22，当且仅当sin xcos x1时取“”，所以f(x)的最小值为2.答案：2