1、河南省焦作市2019-2020学年高一数学下学期学业质量测试（期末考试）试题（含解析）考生注意：1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.【详解】，因此，
2、.故选：A.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了指数不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2.（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式计算即可得解.【详解】.故选：C.【点睛】本题考查三角函数诱导公式的应用，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于常考题.3.若向量，且，则（ ）A. B. 3C. 6D. 12【答案】D【解析】【分析】根据两向量平行（共线），它们的坐标满足的关系式列出方程，求出y的值即可得解.【详解】因为，所以有，即，解之得：.故选：D.【点睛】本题考查平面向量共线（平行）的坐标表示，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.4.
3、某公司有员工15名，其中包含经理一名保洁一名，为了调查该公司员工的工资情况，有两种方案方案一：调查全部15名员工的工资情况；方案二：收入最高的经理和收入最低的保洁工资不纳入调查范围，只调查其他13名员工的工资这两种调查方案得到的数据，一定相同的是（ ）A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差【答案】A【解析】【分析】根据一组数据的中位数、平均数和方差、极差的定义进行判断，即可求解.【详解】由题意，公司15名员工的工资情况组成15个数据，按大小顺序排列，排在中点的数是中位数，取到一个最大值和一个最小值，剩余13个数据按大小顺序排列，排在中间的还是原来的数，所以中位数不变；平均数是与每一个数据
4、都有关系的量，方差也是与每一个数据都有关系的量，所以会变化；极差是与最大值和最小值有关系量，所以也会发生变化.故选：A.【点睛】本题主要考查统计知识的应用，其中解答中涉及到中位数、平均数和方差、极差的概念及应用，属于基础题.5.在正方形中，点，分别满足，且，则（ ）A. 2B. 1C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用向量线性运算，结合列方程，由此求得的值.【详解】依题意，所以，所以，解得.故选：B【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，属于中档题.6.执行如图所示的程序框图，若输入的，的值分别为1，1，则输出的是（ ）A. 25B. 18C. 11D. 3【答案】C【解析】【分析】该程
5、序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量的变化情况，即可得到答案.【详解】模拟执行程序框图，可得：，第1次循环，可得；第2次循环，可得；第3次循环，可得，满足判断条件，输出.故选：C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中模拟程序框图的运行过程，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关键，意在考查运算与求解能力，属于基础题.7.某位居民在银行换取了五张连号的人民币，编号的尾号分别为71，72，73，74，75，他随机抽取三张作为儿子的压岁钱，则这三张人民币的尾号相连的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】采用列
6、举计数，得到随机抽取3张可能的情况数，抽取的三张人民币的尾号相连的情况数，根据古典概型概率公式计算.【详解】随机抽取3张，可能的情况有：71,72,73；71,72,74；71,72,75；71,73,74；71,73,75；71,74,75；72,73,74；72,73,75；72,74,75；73,74,75.共10种不同情况，每种情况都是等可能的，所抽取的三张人民币的尾号相连的情况有：71,72,73；72,73,74；73,74,75，共3种情况，所求概率为.故选：B.【点睛】本题考查古典概型的计算与应用，属基础题.8.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由
7、三角函数的基本关系式和题设条件，求得，再由，代入即可求解.【详解】由三角函数的基本关系式和，可得，即，又由，即，即，即的或（舍去），故选：C.【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.9.已知线性相关的变量，设其样本点为（），回归直线方程为，若（为坐标原点），则（ ）A. 3B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据向量相等的坐标表示，由此即可计算平均数 ，得到样本点的中心的坐标，代入回归直线方程求出的值【详解】因为样本点为（）且， 所以 所以 ，； 又回归直线方程为过， ，解得 故选：B【点
8、睛】本题考查了线性回归方程必过样本中心、向量相等的坐标表示等基础知识，本题属于基础题.10.如图所示，已知圆和的半径都为2，且，若在圆或中任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设两圆交于点，连接, ，设交于点，由已知的数据可得为等边三角形，从而可求出阴影部分的面积，进而求出总面积，即可求出概率.【详解】设两圆交于点，连接, ，设交于点，则,，所以，所以，则,所以为等边三角形，所以，图形的总面积，所以求概率为，故选：D【点睛】此题考查几何概型概率的求法，关键是求阴影部分的面积，属于中档题.11.已知函数（，）的部分图像如图所示，若存在，满足，
9、则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据图象求出函数的解析式，结合对称性求出，然后利用三角函数的诱导公式进行转化，即可求解.【详解】由图象可得函数的周期为，即，解得，又由当时，函数，即，即，当时，即，因为存在，满足，所以，则关于对称，即，可得，且，则，设，则，即，则.故选：C.【点睛】本题主要考查了三角函数值的计算，结合条件求出函数的解析式，利用三角函数的对称性以及三角函数的诱导公式进行转化是解答的关键，试题综合性强，属于中档试题.12.在中，点，在线段上，当点在线段上运动时，总有，则一定有（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】以A为坐标原点，AB所在的
10、直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，设AB=4，则B（4，0），C（a，b），N（x，0），M（3，0），得，由已知条件得，解出即可得答案.【详解】以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，设AB=4，则B（4，0），C（a，b），N（x，0），M（3，0），得，由题意可得，解得，.故选：D【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，用坐标法解向量的问题，可以把几何问题代数化，考查了用函数思想研究几何问题，属于基础题.二、填空题：本题共4小题13.某工厂第一车间有工人1200人，第二车间有工人900人，第三车间有工人1500人，现用分层抽样的方法从这三个车间中抽取一个容量为
11、144的样本进行某项调查，则第二车间应抽取的工人数为_【答案】36【解析】【分析】首先计算出抽样比，再根据分层抽样的原则计算可得结果.【详解】三个车间共有：人，抽样比为：第二车间抽取：人故答案为：36【点睛】本题考查了分层抽样的相关计算问题，考查了理解辨析能力和数学运算能力，属于基础题.14.如图所示是一个三棱锥的三视图，其中俯视图是边长为2的等边三角形，侧视图的面积为，则该三棱锥的体积为_【答案】【解析】【分析】根据“长对正，宽平齐，高相等”和侧视图的面积求得棱锥的高，然后利用棱锥的体积公式计算.【详解】设棱锥的高为h，则侧视图的高为h，俯视图为边长为2的等边三角形，俯视图的高为，即侧视图的
12、宽为，故侧视图的面积为：，该三棱锥的体积为：,故答案为：.【点睛】本题考查棱锥的三视图和体积计算，根据三视图和侧视图的面积求得棱锥的高是关键，属基础题.注意三视图的关系：“长对正，宽平齐，高相等”的应用.15.已知函数是定义在上的奇函数，满足，且当时，则_【答案】1【解析】【分析】先求出函数周期为4，再利用函数的周期性求值即得解.【详解】由题得，所以函数的周期为4.,所以.故答案为：1【点睛】本题主要考查函数的周期的计算及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16.已知函数在（）时的最小值为，最大值为，若，则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】由题易得，在坐标系内画出函数的图象结合分
13、析可得，最后由得出答案即可.【详解】，因为，所以，在坐标系内画出函数的大致图象如下：由图象并结合可知，当，即时，y取得最大值，最大值为，因此y的最小值m为，要使y取得最小值，由图象可知必有，解之得，所以.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数的综合应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知，（）求的值；（）在平面直角坐标系中，若的顶点在原点，始边为轴的非负半轴，将角的终边绕原点顺时针旋转后与单位圆交于点，求点的坐标【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）由已知条件知，利用同角三角函数的基本关系求得的值，然后利用
14、二倍角的正弦公式可求得的值；（）由三角函数的定义可知，终边旋转后得到的角为，利用两角差的三角函数公式求得和的值，即可得出点的坐标.【详解】（）且，则，；（）由三角函数的定义可知，终边旋转后得到的角为，.点是角的终边与单位圆的交点，因此，点的坐标为【点睛】本题考查利用二倍角公式、两角差的正弦、余弦公式求值，同时也考查了同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于基础题.18.为了方便市民出行，某城市推出共享电动单车租赁服务，收费标准是：骑行时间不超过30分钟收费3元，超过30分钟的部分每30分钟收费2元（不足30分钟的部分按30分钟计算）甲、乙两人租用电动单车出行，由于城市区域限制，他们使用电
15、动单车的时间都不超过2小时（）若甲骑行时间不超过30分钟的概率为，租车费用多于5元的概率为，求甲租车费用恰好为5元的概率；（）若每人的骑行时间为2小时以内的任意时长的可能性相同，求甲、乙两人租车费用之和为10元的概率【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）利用对立事件进行求解概率；（）求出所有可能的基本事件，找出符合要求的基本事件，结合古典概型可求概率.【详解】（）设“甲租车费用恰为5元”为事件，则，所以甲租车费用恰好为5元的概率是（）设甲租车费用为元，乙租车费用为元，其中则甲、乙两人的租车费用构成的样本点有，共16种情况其中，这3种情形符合条件故甲、乙两人租车费用之和为10元的概率【点睛】本
16、题主要考查概率的求解，利用两个对立事件的概率和为1能方便求解概率，古典概型的概率计算的关键是确定基本事件空间，侧重考查数学建模的核心素养19.在平面直角坐标系中，直线与的交点为，以为圆心作圆，圆上的点到轴的最小距离为（）求圆的标准方程；（）过点作圆的切线，求切线的方程【答案】（）；（）或【解析】【分析】（）求出点的坐标，设圆的半径为，圆上的点到轴的最小距离为1求得的值，由此可得出圆的标准方程；（）对切线的斜率是否存在进行分类讨论，当切线的斜率不存在时，可得切线方程为，验证即可；当切线的斜率存在时，可设所求切线的方程为，利用圆心到切线的距离等于圆的半径可求得的值，综合可得出所求切线的方程.【详解
17、】（）联立方程组，解得，即点设圆的半径为，由于圆上的点到轴的最小距离为，则，所以，故圆的标准方程为；（）若切线的斜率不存在，则所求切线的方程为，圆心到直线的距离为，不合乎题意；若切线的斜率存在，可设切线的方程为，即，圆的圆心坐标为，半径为，由题意可得，整理得，解得或故所求的切线方程为或【点睛】本题考查圆的标准方程的求解，同时也考查了过圆外一点的圆的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.20.鱼塘中养了某种鱼，到了收获季节，鱼塘主人为了了解鱼塘中鱼的情况，通过随机撒网的方式捕了200条鱼，逐个称重，发现重量（单位：克）都在之间，这些鱼的重量按照，分组得到如下频率分布直方图（1）求这200条鱼
18、中，重量不小于700克的鱼的条数；（2）求鱼塘中所有鱼重量的平均数的估计值；（3）根据这种鱼的市场情况，现有两种销售方案，方案一：不论鱼的大小，统一定价为每100克10元；方案二：重量小于700克的鱼，每100克8元，重量在（克）之间的鱼，每100克12元，重量不小于800克的鱼，每100克10元方案二需要付分拣费：每100条鱼50元请根据收入的估计值，帮该鱼塘主人选择合适的销售方案注：频率分布直方图中每组数据取区间中点值为代表【答案】（1）140；（2）765；（3）应该选方案二【解析】分析】（1）根据频率分布直方图计算即可；（2）根据频率分布直方图估计平均数即可；（3）分二个方案，分别计算
19、销售收入的估计值，选取估计值大的方案即可.【详解】（1）根据频率分布直方图，重量不小于700克的鱼的条数为：（2）鱼塘中所有鱼重量的平均数的估计值为：（3）以这200条鱼的销售收入为参考若选方案一：销售收入的估计值为若选方案二：由题意，200条鱼中重量在各区间的条数依次为20，40，60，50，30销售收入减去分拣费的估计值为因为，所以应该选方案二【点睛】本题考查频率分布直方图的应用以及用样本估计总体的思想，属于中档题.21.某机构为了研究中学生的视力与体育活动的关系，随机调查了几名中学生，得到了他们每周体育活动的时间（单位：）和视力的一组数据：每周体育活动时间246810视力4.04.24.
20、65.05.2（）根据以上数据，在下面的坐标系中画出散点图；（）用最小二乘法求与之间的线性回归方程参考公式：，【答案】（）散点图见解析；（）.【解析】【分析】（）由表格中数据，以每周体育活动时间为横坐标，以视力为纵坐标，即可求得散点图；（）由表格中的数据，分别求得，代入公式，分别求得，即可求得与之间的线性回归方程【详解】（）由表格中的数据，以每周体育活动时间为横坐标，以视力为纵坐标，可得点，则散点图如图所示：（）由表格中的数据，可得，所以，所以与之间的线性回归方程为【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解，其中解答中根据表格中的数据，结合公式准确计算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.22.
21、已知函数（）求最小正周期和单调递增区间；（）将函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，若关于的方程在上恰有2个根，求的取值范围【答案】（）最小正周期为（）；（）.【解析】【分析】（）利用两角差的余弦公式、二倍角公式和辅助角公式对函数化简，利用公式求最小正周期，利用正弦函数的图像性质列不等式求单调增区间.（）通过伸缩和平移变换，求，解方程，转化为与仅有一个交点问题，进而求出的取值范围.【详解】（）所以的最小正周期为令，得（）所以的单调递增区间为（）（）由（）知，所以由，得或当时，当且仅当，即时，所以仅有一个根，因为，所以的取值范围是【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，三角恒等变换等基本知识，考查了分析解决问题的能力和数学运算能力，转化的数学思想，属于中档题目.