1、高二第二学期第一次阶段考试文科数学试卷一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合，集合，其中全集，则 A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题主要考查对数函数的性质以及集合的交、并、补混合运算，属于基础题根据集合的交、并、补集的定义运算即可【解答】解：因为集合或，则，集合，所以故选D2. 已知定义域为R的函数在上单调递增，且为偶函数，若，则不等式的解集为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查函数单调性和奇偶性，属于基础题根据为偶函数可得直线为函数的对称轴，由函数在上单调递增，可得在R上的单调性，最后解答不等式即可【解答】解：由题意为偶函数，
2、则的图像关于直线对称，则又在上单调递增，所以在上单调递减，所以由得，所以，故不等式的解集为，故选A3. 圆在点处的切线方程为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查求圆的切线方程，属于基础题因为点P在圆上，所以点P是切点，圆心与切点的连线与切线垂直，由此求出切线斜率，利用点斜式写出切线方程【解答】解：因为点在圆上，所以点P是切点，圆心与点P的连线与切线垂直，又因为圆心，故斜率为，所以切线斜率为，所以切线方程为，即故选D4. 在1930年，德国汉堡大学学生考拉兹提出猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1：如果它是偶数，则对它除以如此循环，最终都能得到阅读如图所示
3、的程序框图，运行相应程序，输出的结果A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】解：，a为奇数，a为偶数，a为奇数，a为偶数，a为偶数，a为偶数，a为偶数，跳出循环，故选：C根据题意一步一步进行运算，直到跳出循环本题考查程序框图，属于基础题5. 已知等差数列、，其前n项和分别为、，则 A. B. C. D. 15【答案】A【解析】【分析】本题考查了等差数列的性质以及前n项和公式，考查分析与计算能力，属于基础题利用等差数列的性质以及前n项和公式，逆向构造得，从而求出其比值【解答】解：因为，故选A6. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形
4、的三条边长分别为，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为 A. B. 3C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题由题意，计算p的值，代入中，利用基本不等式求出它的最小值【解答】解：由，得；所以，当且仅当时取等号所以，即此三角形面积的最大值为3故选B7. 如图，在中，P是BN的中点，若，则实数m的值是 A. B. 1C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查平面向量的加法，减法及几何意义，考查学生推理能力，属于基础题利用向量的加法，减法运算得，利用平面向
5、量基本定理得【解答】解：因为P是BN的中点，所以所以，因为，所以故选C8. 下列命题中，真命题的个数是若“”为真命题，则“”为真命题；“，函数在定义域内单调递增”的否定；为直线，为两个不同的平面，若，则；“，”的否定为“，”A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及复合命题的真假，指数函数的单调性，全称命题的否定，直线与平面的位置关系的应用，属于基础题利用复合命题的真假判断的正误；利用指数函数的单调性判断的正误；由直线与平面的位置关系判断的正误；由全称命题的否定判断的正误【解答】解：若“”为真命题，可知两个命题至少一个是真命题，不能判断“”为
6、真命题，所以不正确；“，函数在定义域内单调递增”的否定：“，函数在定义域内单调递减”；例如，在定义域内单调递减，所以正确；为直线，为两个不同的平面，若，则，也可能，所以不正确；“，”的否定为“，”，不满足全称命题的否定形式，正确的应为：“，”的否定为“，”，所以不正确只有是真命题，故选：A9. 设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上的任意一点，M是线段PF的中点，则直线OM的斜率的最大值为A. B. 1C. D. 2【答案】B【分析】本题主要考查了抛物线的性质及几何意义，考查基本不等式运用，属于中档题由题意得点M坐标，表示出直线OM的斜率，根据基本不等式即可求解【解答】解：设，M是线段PF的
7、中点，所以直线OM的斜率，显然当时，斜率k较大，此时，当且仅当，即时，斜率最大，最大值为1故选B10. 已知函数在上有极值，则实数a的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了导数的运算和利用导数研究函数的单调性和利用导数研究函数的极值，属于基础题先求出的导数，然后因为函数在上有极值，故令，即，然后构造函数，利用导数判断其单调性和极值进而判断出的单调性，进而求出答案【解答】解：因为，故，令，即在上有解，令则；构造函数，在上单调递增，在上单调递减，所以，因为函数在上有极值当时，在上恒成立，在上单调递减，没有极值点故舍去，所以a的取值范围是；故选B11. 已知双曲
8、线的左、右焦点分别为，实轴长为6，渐近线方程为，动点M在双曲线左支上，点N为圆上一点，则的最小值为A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】B【分析】本题考查双曲线的定义以及圆的性质【关键点拨】当点，M，N三点共线时，取得最小值，且【方法总结】圆锥曲线中多动点问题 关键是利用圆锥曲线椭圆、双曲线、抛物线的定义通过焦点转化为三点共线的问题，然后利用数形结合求解最大最小值即可【解答】解：由题意可得，即，渐近线方程为，即有，即，可得双曲线方程为，焦点为，由双曲线的定义可得由圆可得圆心，半径，如图，连接，交双曲线于M，交圆于N，可得取得最小值，且，则的最小值为故选B12. 已知函数在处的切线的斜率为
9、，若该函数存在两个不同的零点，则取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：的导数为，可得在处的切线的斜率为，由，可得，则，由题意可得，即有，由，可得，设，要证，即证，即为，设，即证，即为，设，导数为，可得在递减，则，可得，则成立则，则则取值范围是故选：C求得的导数，可得切线的斜率，解得a，再由零点的定义和不等式的性质，可得的取值范围本题考查导数的几何意义和不等式的性质，考查方程思想和运算能力，属于难题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知椭圆E：的右焦点为，若点F到直线的距离为，则E的离心率为_【答案】【解析】【分析】本题考查了椭圆的性质，点到直线距离公式的运用
10、，考查了运算求解能力，属于基础题根据点F到直线的距离为，运用点到直线距离公式建立等式，结合得到a与c的关系，即可求解【解答】解：由题意，因为点F到直线的距离为所以，整理得，又，所以，即，所以，所以椭圆E的离心率故答案为14. 已知函数，若在上恒成立，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法以及构造法是解决本题的关键利用参数分类法，转化求函数的最值问题，构造函数，求函数的导数，利用导数法进行求解即可【解答】解：函数，且在上恒成立，在上恒成立，令，有，在上为减函数，当时，故答案为15. 已知p：关于x的不等式对任意的恒成立；q：函数在R上是增函数成
11、立若为真，为假，则实数m的取值范围为_【答案】【解析】【分析】求解本题应注意根据p与q一真一假进行分类讨论本题考查与逻辑联结词有关的参数问题【解答】解：若P为真，则在时恒成立又函数在上是增函数，可得其在上的最小值为，因此只需即可，所以若q为真，则由在R上是增函数，又，可得，解得或若为真，为假，则p与q一真一假若p真q假，则所以；若p假q真，则所以综上，实数m的取值范围是16. 已知函数，在区间上单调递减，则_【答案】2【解析】【分析】本题考查函数的性质，涉及辅助角公式，属于中档题由题意可得，因为，可得Z，又由，即可得出答案【解答】解：在上单调递减，且，Z，Z，又由，得，三、解答题（本大题共7小
12、题，共80.0分）17. 数列的前n项和，求数列的通项公式；设，求的前n项和【答案】解：当时，；当时，当时，也满足上式，故数列的通项公式为，由知，则，两式相减得，【解析】本题考查数列的通项公式及数列的求和，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，为中档题根据题意利用与的关系即可得到结果；由，知，即，进而利用错位相减法即可求得结果18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求角A的大小；若，求的周长L的取值范围【答案】解：由已知得：，再由正弦定理得：，又，则，由化简得，又，法一：由余弦定理：，得，即：，而，当且仅当时等号成立从而，得，又，从而周长；法二：由正弦定理得
13、：，又，从而的周长：，从而：【解析】本题考查平面向量数量积的运算，设计到正、余弦定理，属于中档题由条件可得，再结合正弦定理及三个角之间的关系可得，进而求出A；法一：利用余弦定理再结合基本不等式可得，则可求出周长L的范围法二：根据正弦定理用关于B的三角函数表示出周长，根据B的范围及正弦型函数的值域求得L范围19. 某购物网站为优化营销策略，从某天在该网站进行网购消费且消费金额不超过1000元的网购者中随机抽取100人进行调查，根据调查数据，按消费金额分成，五组，得到的频率分布直方图如图所示已知样本中网购者的平均消费金额是568元同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替求频率分布直方图中的x，y的
14、值；若从消费金额少于400元的网购者中采用分层抽样法随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人的消费金额都在内的概率【答案】解：由频率分布直方图得，因此 又因为样本中网购者的平均消费金额是568元，所以，因此 由解得，由可知消费金额在内的网购者有人，消费金额在内的网购者有人，则从消费金额少于400元的网购者抽取的6人中，消费金额在内的有2人，记为A，B，消费金额在内的有4人，记为a，b，c，d从这6人中随机抽取2人的情况有：AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共15种， 其中这2人的消费金额都在内的情况有：ab，ac，ad，bc，bd
15、，cd，共6种因此所求概率【解析】【试题解析】本题考查了频率分布直方图，众数、中位数、平均数，分层随机抽样和古典概型的计算与应用，考查了学生的计算能力，属于中档题利用频率分布直方图得，再利用频率分布直方图求平均数得，最后解方程组得结论；利用分层随机抽样得消费金额在内的有2人，记为A，B，消费金额在内的有4人，记为a，b，c，d，再古典概型的计算，计算得结论20. 如图所示，在三棱锥中，平面平面ABC，为等边三角形，且，O，M分别为AB，VA的中点求证：平面平面VAB；求三棱锥的体积【答案】证明：，O为AB的中点，又平面平面ABC，平面平面，且平面ABC，平面VAB，平面MOC，平面平面VAB；
16、解：等腰直角三角形ACB中，等边三角形VAB的边长为2，又平面VAB，三棱锥的体积【解析】证明平面VAB，即可证明平面平面VAB；三棱锥的体积由此能求出结果本题考查平面与平面垂直的判定，考查体积的计算，正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键，是中档题21. 已知椭圆的右焦点，离心率为，过F作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N求椭圆的方程；证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值【答案】解：由题意得，椭圆的方程为证明：当直线AB，CD有一条斜率不存在时，直线MN即为直线OF，此时直线MN过点当直线AB，CD的斜率均存在
17、时，设直线AB的方程为，设，则有，联立消去y得，则，即，将上式中的k换成，同理可得，若，解得，直线MN斜率不存在，此时直线MN过点若直线MN的斜率存在，则，则，直线MN为，令，得综上，直线MN过定点由可知直线MN过定点，又直线AB的斜率，故，令在上单调递减，当时，取得最大值，即取得最大值，此时【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，重点是直线过定点问题以及三角形的最值，属较难题根据已知条件求椭圆的标准方程；分类讨论直线的斜率不存在和斜率存在，联立利用韦达定理求点的坐标讨论直线过定点问题；由条件，故，令，利用基本不等式求最值22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程
18、为为参数，在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为求C的普通方程和l的倾斜角；设点，l和C交于A，B两点，求的值【答案】解：由消去参数，得；即C的普通方程为；由，得，将代入得，直线l的斜率角为；由知，点在直线l上，可设直线l的参数方程为为参数，即为参数，代入并化简得，设A，B两点对应的参数分别为，则，【解析】本题主要考查直角坐标方程与参数方程的互化，直线和曲线的位置关系的应用，一元二次方程根与系数的关系的应用，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力直接把曲线的参数方程转化为直角坐标方程，进一步把极坐标方程转化为直角坐标方程，再求出直线的倾斜角；利用定点把直线的直角坐标式转化为参数式，进一步建立一元二次方程根与系数的关系，最后求出结果23. 已知函数，不等式的解集为解不等式；若，求证：【答案】解：因为不等式的解集为，则和是方程的解，即，所以实数a的值为1不等式可化为，则或或，解得或或，所以原不等式的解集为证明：因为，所以，即所以，当且仅当，即，时取等号【解析】利用不等式的解集为，说明和是方程的解，求出a，然后转化不等式为，通过分类讨论转化求解即可化简，得到利用基本不等式证明即可本题考查解绝对值不等式和利用基本不等式证明不等式是中档题