1、45.2用二分法求方程的近似解教材要点要点用二分法求方程的近似解1二分法对于在区间a，b上的函数yf（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法2给定精确度，用二分法求函数yf（x）零点x0的近似值的一般步骤第一步：确定零点x0的初始区间a，b，验证f（a）f（b）0.第二步：求区间（a，b）的中点c.第三步：计算f（c），并进一步确定零点所在的区间（1）若f（c）0（此时x0c），则c就是函数的零点；（2）若f（a）f（c）0，则令bc（此时零点x0（a，c）；（3）若f（c）f（b）0，则令ac（此时零点x0（c，b）.第四
2、步：判断是否达到精确度，即若|ab|，则得到零点近似值a（或b），否则重复第二步至第四步状元随笔二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点基础自测1.思考辨析（正确的画“”，错误的画“”）（1）用二分法可求所有函数零点的近似值（）（2）用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位（）（3）用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用（）（4）用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取中点”的方法，运用“逼近”思想逐步缩小零点所在的区间（）2以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二
3、分法求函数零点近似值的是（）3用二分法求函数f（x）的一个正实数零点时，经计算f（0.64）0，f（0.72）0，f（0.68）0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为（）A0.9 B0.7C0.5 D0.44已知函数yf（x）在区间（2，4）上连续，验证f（2）f（4）0，取区间（2，4）的中点x12+423，计算得f（2）f（x1）0，则此时零点所在的区间为题型1二分法的概念应用例1（1）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（）（2）用二分法求方程2x3x70在区间1，3内的根，取区间的中点为x02，那么下一个有根的区间是方法归纳二分法的适用条件判断一
4、个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用跟踪训练1（多选）下列函数中，能用二分法求函数零点的有（）Af（x）3x1 Bf（x）x22x1Cf（x）log4x Df（x）ex2题型2用二分法求函数零点的近似值例2用二分法求函数f（x）x3x1在区间1，1.5内的一个零点（精确度0.01）方法归纳（1）用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则需依据图象估计零点所在的初始区间m，n（一般采用估计值的方法完成）.取区间端点的平均数c，计算f（c），确定有解区间是m，c还是c，
5、n，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值（2）二分法求函数零点步骤的记忆口诀定区间，找中点，中值计算两边看同号丢，异号算，零点落在异号间重复做，何时止，精确度来把关口跟踪训练2根据下表，用二分法求函数f（x）x33x1在区间（1，2）上的零点的近似值（精确度为0.1）是（）f（1）1f（2）3f（1.5）0.125f（1.75）1109 375f（1.625）0416 015 63f（1.562 5）0127 197 27A.1.75 B1.625C0.127 197 26 D1.562 5题型3用二分法求方程的近似解例3用二分法求2xx4在
6、区间（1，2）内的近似解（精确度0.2）.参考数据：x1.125 1.251.3751.51.6251.751.8752x2.182.382.592.833.083.363.67方法归纳用二分法求方程的近似解的方法对于求形如f（x）g（x）的方程的近似解，可以通过移项转化成求函数F（x）f（x）g（x）的零点的近似值，然后按照用二分法求函数零点的近似值的步骤求解跟踪训练3用二分法求函数f（x）3xx4的一个零点，其参考数据如下：x1.6001.587 51.575 01.562 51.556 21.550 0f（x）的近似值0.2000.1330.0670.0030.0290.060据此数据，
7、可得方程3xx40的一个近似解（精确度为0.01）可取精确度理解不正确致误例4用二分法求方程x250的一个近似解（精确度为0.1）解析：令f（x）x25，因为f（2.2）0.160，f（2.4）0.760，所以f（2.2）f（2.4）0，所以函数f（x）在区间（2.2，2.4）内有零点，设为x0.取区间（2.2，2.4）的中点x12.3，f（2.3）0.290，因为f（2.2）f（2.3）0，所以x0（2.2，2.3）.再取区间（2.2，2.3）的中点x22.25，f（2.25）0.062 50，因为f（2.2）f（2.25）0，所以x0（2.2，2.25）.因为|2.252.2|0.050.
8、1，所以原方程的一个近似正解可取为2.25.易错警示易错原因纠错心得误认为精确度是|f（a）f（b）|，导致错误利用二分法求方程的近似解时，要随时检验区间（a，b）的长度与精确度的关系，一旦有|ab|，应立即停止计算，该区间中的任一值都是方程的近似解课堂十分钟1用二分法求如图所示函数f（x）的零点时，不可能求出的零点是（）Ax1 Bx2Cx3 Dx42用二分法求函数f（x）2x3的零点时，初始区间可选为（）A（1，0） B（0，1）C（1，2） D（2，3）3在用二分法求方程3x3x80在（1，2）内近似根的过程中，已经得到f（1）0，f（1.5）0，f（1.25）0，则方程的根落在区间（）A
9、（1，1.25） B（1.25，1.5）C（1.5，2） D不能确定4用二分法求函数yf（x）在区间2，4上的近似零点（精确度为0.01），验证f（2）f（4）0，取区间2，4的中点x12+423，计算得f（2）f（x1）0，则此时零点x0所在的区间是.5以下是用二分法求方程x33x50的一个近似解（精确度为0.1）的不完整的过程，请补充完整，并写出结论设函数f（x）x33x5，其图象在（，）上是连续不断的一条曲线先求值，f（0），f（1），f（2），f（3）所以f（x）在区间内存在零点x0.填表：区间中点mf（m）的符号区间长度45.2用二分法求方程的近似解新知初探课前预习要点1图象连续不断
10、且f(a)f(b)0一分为二零点基础自测1(1)(2)(3)(4)2答案：C3答案：B4答案：(2，3)题型探究课堂解透例1解析：(1)利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号在B中，不满足f(a)f(b)0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点故选B.(2)设f(x)2x3x7，f(1)23720，f(3)100，f(2)30，f(x)零点所在的区间为(1，2)，所以方程2x3x70有根的区间是(1，2).答案：(1)B(2)(1，2)跟踪训练1解析：f(x)x22x1(x1)2，f(1)0，当x0；当x1时，f(x)0，在零点两侧函数值同号，不
11、能用二分法求零点，其余选项中在函数的零点两侧函数值异号，故选ACD.答案：ACD例2解析：经计算f(1)0，f(1.5)0，所以函数在1，1.5内存在零点x0.取(1，1.5)的中点x11.25，经计算f(1.25)0，因为f(1.5)f(1.25)0，所以x0(1.25，1.5)，如此继续下去，如下表：因为|1.328 1251.320 312 5|0.007 812 50.01，所以函数f(x)x3x1精确度为0.01的一个近似零点可取为1.328 125.跟踪训练2解析：因为f(1.5)0.1250.f(1.562 5)0.127 197 270，f(x)在(1，2)上是连续的，且|1.
12、562 51.5|0.062 50.1，所以区间1.5，1.562 5中的任何一个值可作为函数f(x)在区间(1，2)上零点的近似值故选D答案：D例3解析：令f(x)2xx4，则f(1)2140，f(2)22240.区间区间中点值xnf(xn)的值及符号(1，2)x11.5f(x1)0.330(1，1.5)x21.25f(x2)0.370(1.25，1.5)x31.375f(x3)0.0350(1.375，1.5)|1.3751.5|0.1250.2，2xx4在(1，2)内的近似解可取为1.375.跟踪训练3解析：由题中图表可知f(x)3xx4的零点在1.556 2和1.562 5之间，方程3
13、xx40的近似解在1.556 2和1.562 5之间，由题意知近似解要精确到0.01，所以方程3xx30的近似解为1.56.答案：1.56课堂十分钟1答案：C2答案：C3答案：B4答案：(2，3)5解析：f(0)5，f(1)1，f(2)9，f(3)31，f(x)在区间(1，2)内存在零点x0，填表为区间中点mf(m)的符号区间长度(1，2)1.51(1，1.5)1.250.5(1，1.25)1.1250.25(1.125，1.25)1.187 50.125(1.125，1.187 5)1.156 250.062 5因为|1.187 51.125|0.062 50.1，所以原方程的近似解可取为1.187 5.