1、32 函数的基本性质32.1 单调性与最大(小)值最新课程标准1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性2理解单调性的作用和实际意义学科核心素养1.理解函数单调性的定义及相关概念，理解函数最大(小)值的定义(数学抽象)2能用单调性的定义证明函数的单调性(逻辑推理)3会利用函数的单调性求函数的最大(小)值(数学运算)第 1 课时 函数的单调性教材要点要点一 增函数与减函数的定义状元随笔 定义中的 x1，x2 有以下 3 个特征(1)任意性，即“任意取 x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定 x1x2；(3)属于同一个单调区间要点二 单调性与单调
2、区间如果函数 yf(x)在区间 D 上是单调递增或单调递减，那么就说函数 yf(x)在这一区间上具有(严格的)_，区间 D 叫做 yf(x)的_状元随笔 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“”连接，而应该用“和”连接如函数 y1x在(，0)和(0，)上单调递减，却不能表述为：函数 y1x在(，0)(0，+)上单调递减基础自测1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)若定义在 R 上的函数 f(x)，有 f(1)f(3)，则函数 f(x)在 R 上为增函数()(2)函数 yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()(3)函数 y1x的单调递减区间是(，0)(
3、0，+).()(4)函数 y1x在定义域(，0)(0，+)上单调递减()2函数 y2x23x 的单调递减区间是()A0，)B(，0)C(，34D34，+)3(多选)如果函数 f(x)在a，b上是增函数，对于任意 x1，x2a，b(x1x2)，则下列结论中正确的是()Af(x1)f(x2)x1x20B(x1x2)f(x1)f(x2)0Cf(a)f(x1)f(x2)f(b)Df(x1)f(x2)4函数 y(2m1)xb 在 R 上是减函数，则_ 题型 1 利用图象求函数的单调区间例 1 已知函数 f(x)x24|x|3，xR.(1)将函数写成分段函数的形式；(2)画出函数的图象；(3)根据图象写出
4、它的单调区间方法归纳(1)求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间(2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接跟踪训练 1(1)已知函数 yf(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为()A(3，1)(1，4)B(5，3)(1，1)C(3，1)，(1，4)D(5，3)，(1，1)(2)函数 yx22|x|3 的单调递增区间是_，递减区间是_题型 2 函数的单调性判断与证明例 2 用定义证明函数 f(x)xk
5、x(k0)在(0，)上的单调性状元随笔 此题中函数 f(x)是一种特殊函数(对勾函数)，用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于 x1x2k(k0)与 0 的大小关系是不明确的，因此要分类讨论方法归纳利用定义证明函数单调性的步骤注：作差变形是解题关键跟踪训练 2 已知函数 f(x)xx2+4，判断并用定义证明 f(x)在(0，)上的单调性题型 3 函数单调性的应用角度 1 比较大小例 3 已知函数 yf(x)在0，)上是减函数，则()Af(34)f(a2a1)Bf(34)f(a2a1)Cf(34)f(a2a1)Df(34)f(a2a1)状元随笔 利用单调性比较函数值或自变量的大小时，要注意将对
6、应的自变量转化到同一个单调区间上角度 2 解不等式例 4 f(x)是定义在(2，2)上的减函数，若 f(m1)f(2m1)，则实数 m 的取值范围是()Am0 B0m32C1m3 D12m32状元随笔 利用单调性解不等式，就是根据单调性去掉函数的对应法则，构造不等式(不等式组)求解，注意函数的定义域，所有自变量都必须在函数的定义域内角度 3 利用函数的单调性求参数的取值范围例 5 若 f(x)x24mx 与 g(x)2mx+1在区间2，4上都是减函数，则 m 的取值范围是()A(，0)(0，1 B.(1，0)(0，1C(0，)D(0，1方法归纳“函数的单调区间为 I”与“函数在区间 I 上单调
7、”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是 I，指的是函数递减的最大范围为区间 I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义跟踪训练 3(1)已知函数 f(x)x2bxc 图象的对称轴为直线 x2，则下列关系式正确的是()Af(1)f(1)f(2)Bf(1)f(2)f(1)Cf(2)f(1)f(1)Df(1)f(1)f(2)(2)函数 yf(x)在 R 上为增函数，且 f(2m)f(m9)，则实数 m 的取值范围是()A(，3)B(0，)C(3，)D(，3)(3，+)(3)已知函数 f(x)|2xa|的单
8、调递增区间是3，)，则 a 的值为_易错辨析 忽视函数的定义例 6 已知函数 f(x)x2 ax 5(x 1)，ax(x1)，是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是()A3a0 Ba2Ca0 D3a2解析：函数 f(x)x2 ax 5(x 1)，ax(x1)，是 R 上的增函数，则 f(x)x2ax5(x1)单调递增，故它的对称轴a21，即 a2，此时 f(x)ax(x1)也单调递增，所以 a0，要保证在 R 上是增函数只需在 x1 处满足12a15a1，即 a3.综上所述，3a2.答案：D易错警示课堂十分钟 1(多选)如图所示的是定义在区间5，5上的函数 yf(x)的图象，则下列关于函数
9、f(x)的说法正确的是()A函数在区间5，3上单调递增B函数在区间1，4上单调递增C函数在区间3，1 4，5上单调递减D函数在区间5，5上没有单调性2函数 y1x1的单调减区间是()A(，1)，(1，)B(，1)(1，+)CxR|x1 DR3函数 f(x)x1x在()A(，1)(1，+)上是增函数B(，1)(1，+)上是减函数C(，1)和(1，)上是增函数D(，1)和(1，)上是减函数4设关于 x 的函数 y(k2)x1 是 R 上的增函数，则实数 k 的取值范围是_5已知 f(x)是定义在1，1上的增函数，且 f(x2)f(1x)，求 x 的取值范围 32 函数的基本性质32.1 单调性与最
10、大(小)值 第 1 课时 函数的单调性新知初探课前预习要点一f(x1)f(x2)增函数 减函数要点二单调性 单调区间基础自测 1答案：(1)(2)(3)(4)2答案：D3答案：AB4答案：m12题型探究课堂解透例 1 解析：(1)f(x)x24|x|3x2 4x+3，x 0，x2+4x+3，x 0.(2)如图(3)由图象可知单调递增区间为2，0)，2，)，单调递减区间为(，2)，0，2)跟踪训练 1 解析：(1)在某个区间上，若函数 yf(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(3，1)，(1，4)(2)yx22|x|3x2+2x+3，x 0，x
11、2 2x+3，x 0.画出函数图象如图，由图可知函数 yx22|x|3 的单调递增区间是：(，1，(0，1.递减区间是：1，0，1，)答案：(1)C(2)(，1，(0，1 1，0，1，)例 2 证明：设 x1，x2(0，)，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)(x1+kx1)(x2+kx2)(x1x2)(kx1 kx2)(x1x2)kx2x1x1x2(x1x2)kx1x2x1x2(x1x2)x1x2kx1x2，因为 0 x1x2，所以 x1x20.当 x1，x2(0，k时，x1x2k0，此时函数 f(x)为减函数；当 x1，x2(k，)时，x1x2k0f(x1)f(x2)0)在区间(0，k上
12、为减函数，在区间(k，)上为增函数跟踪训练 2 解析：f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，)上单调递减证明如下：x1，x2(0，)，且 x1x2，有 f(x1)f(x2)1+12 4 2+22 41(+22 4)2(+12 4)(+12 4)(+22 4)(21)(124)(+12 4)(+22 4)，因为 0 x10，(+12 4)(224)0.当 x2 时，12 4 0，(21)(124)(+12 4)(+22 4)0，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，此时 f(x)单调递减当 0 x2 时，12 4 0，(21)(124)(+12 4)(+22 4)0，f(x1)f(
13、x2)0，即 f(x1)f(x2)，此时 f(x)单调递增所以，f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，)上单调递减例 3 解析：a2a1(a 12)234 34.又函数 yf(x)在0，)是减函数，f(a2a1)f(34).故选 C.答案：C例 4 解析：由题意知2 m 1 2，2 2m 1 2，m 1 2m 1，解得 0m0，解得 m0.综上可得 m 的取值范围是(0，1.故选 D.答案：D跟踪训练 3 解析：(1)因为该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 x2，所以 f(x)在(，2上单调递减，因为 211，所以 f(2)f(1)f(m9)，所以 2mm9，即 m3.故选 C.(3)f(x)|2xa|2x a，x a22x+a，x a2，所以 f(x)|2xa|的单调递减区间是(，a2)，单调递增区间是a2，+)，若函数 f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a23，解得 a6.答案：(1)C(2)C(3)6课堂十分钟 1答案：ABD2答案：A3答案：C4答案：(2，)5解析：f(x)是定义在1，1上的增函数，且 f(x2)f(1x)，1 x 2 1，1 1 x 1，x 2 1 x，解得 1x32，所以 x 的取值范围为 1x32.
