1、专题8解析几何第2讲综合大题部分1. (2017高考全国卷)已知椭圆C：1(ab0)，四点P1(1,1)，P2(0,1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点解析：(1)由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上因此解得故椭圆C的方程为y21.(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：xt，由题设知t0，且|t|0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.而k1
2、k2.由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)(m1)0.解得k.当且仅当m1时，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l过定点(2，1)2(2017高考全国卷)已知抛物线C：y22x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，2)，求直线l与圆M的方程解析：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xmy2，由可得y22my40，则y1y24.又x1，x2，故x1x24.因此OA的斜率与OB的斜率之积为1，所以OAOB，故坐标原点O在圆M上(2)由(1)可得y1y2
3、2m，x1x2m(y1y2)42m24，故圆心M的坐标为(m22，m)，圆M的半径r.由于圆M过点P(4，2)，因此0，故(x14)(x24)(y12)(y22)0，即x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200.由(1)可知y1y24，x1x24，所以2m2m10，解得m1或m.当m1时，直线l的方程为xy20，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x3)2(y1)210.当m时，直线l的方程为2xy40，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为22.3(2017高考全国卷)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y21上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足 .(1)求点P
4、的轨迹方程；(2)设点Q在直线x3上，且1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解析：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)由 得x0x，y0y.因为M(x0，y0)在C上，所以1.因此点P的轨迹方程为x2y22.(2)证明：由题意知F(1,0)设Q(3，t)，P(m，n)，则(3，t)，(1m，n)，33mtn，(m，n)，(3m，tn)由1得3mm2tnn21，又由(1)知m2n22，故33mtn0.所以0，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.1. 已知动圆M恒过点(0,1)，且与直线
5、y1相切(1)求圆心M的轨迹方程；(2)动直线l过点P(0，2)，且与点M的轨迹交于A，B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点解析：(1)由题意得点M与点(0,1)的距离始终等于点M与直线y1的距离，由抛物线定义知圆心M的轨迹为以点(0,1)为焦点，直线y1为准线的抛物线，则1，p2.圆心M的轨迹方程为x24y.(2)证明：由题意知直线l的斜率存在，设直线l：ykx2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(x2，y2)，由得x24kx80，x1x24k，x1x28.kAC，直线AC的方程为yy1(xx1)即yy1(xx1)xx，x1x28，yxx2，则直线AC恒过点(0,
6、2)2已知椭圆E：1(ab0)，过点(0,1)且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l：yxm与椭圆E交于A，C两点，以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x轴的交点为N，问B，N两点间的距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由解析：(1)由题意可知，椭圆的焦点在x轴上，椭圆过点(0,1)，则b1.由椭圆的离心率e ，解得a2，所以椭圆E的标准方程为y21.(2)设A(x1，y1)，C(x2，y2)，线段AC的中点为M(x0，y0)由整理得x22mx2m220.由(2m)24(2m22)84m20，解得mb0)，则2a|CE|CF|22，所以a，所以b2a2c21，故椭圆的标准方程为y21.(2)易知直线l的斜率不为0，故可设直线l的方程为xky1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，(k22)y22ky10.由根与系数的关系，得y1y2，y1y2，因为，所以且0，将的平方除以，得2，所以2，由2，1，得2，所以20，即0，解得k2，即0k2.因为(x12，y1)，(x22，y2)，所以(x1x24，y1y2)，又y1y2，x1x24k(y1y2)2.故|2(x1x24)2(y1y2)216.令t，因为0k2，所以，即t，则|21628t8t28(t)2，因为t，所以|24，所以|2，即|的取值范围为2，