1、1对数的概念一般地，如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0，且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR)(2)对数的性质 N ；logaaN N (a0且a1)(3)对数的换底公式logab(a0，且a1；c0，且c1；b0)3对数函数的图象与性质y=logaxa10a1时，y0;当0x1时，y1时，y0;当0x0(6)在(0，)上是增函数(7)在(0，)上是减函数4.反函数指数函数ya
2、x与对数函数ylogax互为反函数，它们的图象关于直线 yx 对称【知识拓展】1换底公式的两个重要结论(1)logab；其中a0且a1，b0且b1，m，nR.2对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数故0cd1a0，则loga(MN)logaMlogaN.()(2)logaxlogayloga(xy)()(3)函数ylog2x及都是对数函数()(4)对数函数ylogax(a0且a1)在(0，)上是增函数()(5)函数yln与yln(1x)ln(1x)的定义域相同()(6)对数函数ylogax(a0且a1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1
3、)，函数图象只在第一、四象限()1(教材改编)(log29)(log34)等于()A. B. C2 D4答案D解析(log29)(log34)2log232log324.2函数f(x)lg(|x|1)的大致图象是()答案B解析由函数f(x)lg(|x|1)的定义域为(，1)(1，)，值域为R.又当x1时，函数单调递增，所以只有选项B正确3已知则()Aabc BbacCacb Dcab答案C解析log3log331且3.4，log3log33.4log23.4.log43.61，log43.6log3log43.6.由于y5x为增函数，即故acb.4(2016成都模拟)函数y的定义域为 答案(，
4、1解析由log0.5(4x3)0且4x30，得x1.5(教材改编)若loga0且a1)，则实数a的取值范围是 答案(1，)解析当0a1时，logalogaa1，0a1时，loga1.实数a的取值范围是(1，)题型一对数的运算例1(1)已知loga2m，loga3n，则a2mn .(2)计算： .答案(1)12(2)1解析(1)loga2m，loga3n，am2，an3，a2mn(am)2an22312.(2)原式1.思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍
5、数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算(1)若alog43，则2a2a .(2)(2016济南模拟)2(lg)2lg lg 5 .答案(1)(2)1解析(1)alog43log223log23log2，.(2)原式2(lg 2)2lg 2lg 5lg 2(lg 2lg 5)1lg 2lg 21lg 21.题型二对数函数的图象及应用例2(1)已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，a1)的图象如图，则下列结论成立的是()Aa1，c1 Ba1,0c1C0a1 D0a1,0c1(2)(2017合肥月考)当0x时，4xlogax，则a的取值范围是()A(0，)
6、 B(，1)C(1，) D(，2)答案(1)D(2)B解析(1)由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，0a1，图象与x轴的交点在区间(0,1)之间，该函数的图象是由函数ylogax的图象向左平移不到1个单位后得到的，0c1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数在(0，上的图象，可知f()g()，即2，所以a的取值范围为(，1)思维升华(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解(1)若函数ylogax(a0且a1)的图象
7、如图所示，则下列函数图象正确的是()(2)(2016新疆乌鲁木齐一诊)设f(x)|ln(x1)|，已知f(a)f(b)(a0 Bab1C2ab0 D2ab1答案(1)B(2)A解析(1)由题意ylogax(a0且a1)的图象过(3,1)点，可解得a3.选项A中，y3x()x，显然图象错误；选项B中，yx3，由幂函数图象性质可知正确；选项C中，y(x)3x3，显然与所画图象不符；选项D中，ylog3(x)的图象与ylog3x的图象关于y轴对称，显然不符，故选B.(2)作出函数f(x)|ln(x1)|的图象如图所示，由f(a)f(b)，得ln(a1)ln(b1)，即abab0.0abab0，显然1
8、a0，ab40，ab0，故选A.题型三对数函数的性质及应用命题点1比较对数值的大小例3(2015天津)已知定义在R上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数，记af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为()Aabc BacbCcab Dcba答案C解析由f(x)2|xm|1是偶函数可知m0，所以f(x)2|x|1.所以cf(0)2|0|10，所以cab.命题点2解对数不等式例4(1)若logaf(a)，则实数a的取值范围是()A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，)D(，1)(0,1)答案(1)(0，)(1，)(2)C解析(1)
9、当a1时，函数ylogax在定义域内为增函数，所以logalogaa总成立当0a1时，函数ylogax在定义域内是减函数，由logalogaa，得a，故0a1或1a0且a1，设t(x)3ax，则t(x)3ax为减函数，x0,2时，t(x)的最小值为32a，当x0,2时，f(x)恒有意义，即x0,2时，3ax0恒成立32a0.a0且a1，a的取值范围为(0,1).(2)t(x)3ax，a0，函数t(x)为减函数f(x)在区间1,2上为减函数，ylogat为增函数，a1，x1,2时，t(x)的最小值为32a，f(x)的最大值为f(1)loga(3a)，即故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间
10、1,2上为减函数，并且最大值为1.思维升华(1)对数值大小比较的主要方法化同底数后利用函数的单调性；化同真数后利用图象比较；借用中间量(0或1等)进行估值比较(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题(1)设函数f(x)则满足f(x)2的x的取值范围是()A1,2 B0,2C1，) D0，)(2)若f(x)lg(x22ax1a)在区间(，1上递减，则a的取值范围为()A1,2) B1,2C1，) D2，)答案(1)D(2)A解析(1)当x1时，21x2，解得x0，所以0x1；当x1时，1log2x2，解得x
11、，所以x1.综上可知x0.(2)令函数g(x)x22ax1a(xa)21aa2，对称轴为xa，要使函数在(，1上递减，则有即解得1ab0,0c1，则()Alogaclogbc BlogcalogcbCaccb(2)(2016河南八市质检)若a20.3，blog3，clog4cos 100，则()Abca BbacCabc Dcab(3)若实数a，b，c满足loga2logb2logc2，则下列关系中不可能成立的是()Aabc BbacCcba Dacb解析(1)对A：logac，logbc，因为0c1，所以lg cb0，所以lg alg b，但不能确定lg a、lg b的正负，所以它们的大小不
12、能确定，所以A错；对B：logca，logcb，而lg alg b，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以B正确；对C：由yxc在第一象限内是增函数，即可得到acbc，所以C错；对D：由ycx在R上为减函数，得ca201,0log1log3log1，log4cos 100bc，故选C.(3)由loga2logb2logc2的大小关系，可知a，b，c有如下四种可能：1cba；0a1cb；0ba1c；0cba0，解得x2且x3；由求交集得函数的定义域为(2,3)(3,4故选C.2设alog37，b21.1，c0.83.1，则()Abac BcabCcba Dacb答案B解析alog37，1a2.c
13、0.83.1，0c1.即ca0，a1)在区间(， )内恒有f(x)0，则f(x)的单调递增区间为()A(0，) B(2，)C(1，) D(，)答案A解析令Mx2x，当x(，)时，M(1，)，f(x)0，所以a1，所以函数ylogaM为增函数，又M(x)2，因此M的单调递增区间为(，)又x2x0，所以x0或x0，则实数a的取值范围是 答案(，1)解析当0a0，即0a1，解得a，故a1时，函数f(x)在区间，上是增函数，所以loga(1a)0，即1a1，解得a0时，f(x)lg lg lg(x)，令t(x)x，x0，则t(x)1，可知当x(0,1)时，t(x)0，t(x)单调递增，即在x1处取得最
14、小值为2.由偶函数的图象关于y轴对称及复合函数的单调性可知错误，正确，正确，故答案为.11已知函数f(x)ln，若f(a)f(b)0，且0ab1，则ab的取值范围是 答案解析由题意可知lnln0，即ln0，从而1，化简得ab1，故aba(1a)a2a2，又0ab1，0a，故02kg(x)恒成立，求实数k的取值范围解(1)h(x)(42log2x)log2x2(log2x1)22，因为x1,4，所以log2x0,2，故函数h(x)的值域为0,2(2)由f(x2)f()kg(x)，得(34log2x)(3log2x)klog2x，令tlog2x，因为x1,4，所以tlog2x0,2，所以(34t)(3t)kt对一切t0,2恒成立，当t0时，kR；当t(0,2时，k恒成立，即kln 恒成立，求实数m的取值范围解(1)由0，解得x1，函数f(x)的定义域为(，1)(1，)，当x(，1)(1，)时，f(x)ln ln ln()1ln f(x)，f(x)ln 是奇函数(2)由于x2,6时，f(x)ln ln 恒成立，0，x2,6，0m(x1)(7x)在x2,6上恒成立令g(x)(x1)(7x)(x3)216，x2,6，由二次函数的性质可知，x2,3时函数g(x)单调递增，x3,6时函数g(x)单调递减，即x2,6时，g(x)ming(6)7，0m7.