1、第一章数列3等比数列3.2等比数列的前n项和第1课时等比数列前n项和的推导及初步应用课后篇巩固提升必备知识基础练1.等比数列an中,a1=2,a2=1,则S100等于()A.4-2100B.4+2100C.4-2-98D.4-2-100答案C解析公比q=a2a1=12.S100=a1(1-q100)1-q=21-(12)1001-12=4(1-2-100)=4-2-98.故选C.2.在等比数列an中,已知a1=3,an=48,Sn=93,则n的值为()A.4B.5C.6D.7答案B解析显然公比q1,由Sn=a1-anq1-q,得93=3-48q1-q,解得q=2.由an=a1qn-1,得48=
2、32n-1,解得n=5.故选B.3.设Sn为等比数列an的前n项和,8a2+a5=0,则S5S2等于()A.11B.5C.-8D.-11答案D解析设数列an的公比是q,由8a2+a5=0得8a1q+a1q4=0,a10,q0,q=-2,则S5S2=a1(1+25)a1(1-22)=-11.4.等比数列an的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于()A.13B.-13C.19D.-19答案C解析设等比数列an的公比为q,由S3=a2+10a1,得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=19.5.设公比为q(q0)的等比数
3、列an的前n项和为Sn.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则a1等于()A.-2B.-1C.12D.23答案B解析由S2=3a2+2,S4=3a4+2,得a3+a4=3a4-3a2,即q+q2=3q2-3,解得q=-1(舍去)或q=32,将q=32代入S2=3a2+2中得a1+32a1=332a1+2,解得a1=-1,故选B.6.已知数列an满足3an+1+an=0,a2=-43,则an的前10项和等于()A.-6(1-3-10)B.19(1-3-10)C.3(1-3-10)D.3(1+3-10)答案C解析由3an+1+an=0,得an+1an=-13,故数列an是公比q=-13的等比数列
4、.又a2=-43,可得a1=4.所以S10=41-(-13)101-(-13)=3(1-3-10).故选C.7.设等比数列an的前n项和为Sn,若a1=1,S6=4S3,则a4=.答案3解析S6=4S3,q1,a1(1-q6)1-q=4a1(1-q3)1-q,q3=3,a4=a1q3=13=3.8.记Sn为等比数列an的前n项和.设S3=6,S4=a1-3,则公比q=,S4=.答案-125解析由S3=6,S4=a1-3,得a1+a1q+a1q2=6,a1q+a1q2+a1q3=-3,解得q=-12,a1=8,则S4=a1-3=8-3=5.9.已知等差数列an满足a2=0,a6+a8=-10.(
5、1)求数列an的通项公式;(2)求数列an2n-1的前n项和.解(1)设等差数列an的公差为d,由已知条件可得a1+d=0,2a1+12d=-10,解得a1=1,d=-1.故数列an的通项公式为an=2-n,nN+.(2)设数列an2n-1的前n项和为Sn,即Sn=a1+a22+an2n-1,Sn2=a12+a24+an-12n-1+an2n.-得Sn2=a1+a2-a12+an-an-12n-1-an2n=1-12+14+12n-1-2-n2n=1-1-12n-1-2-n2n=n2n.所以Sn=n2n-1,nN+.关键能力提升练10.在等比数列an中,对任意nN+,a1+a2+an=2n-1
6、,则a12+a22+an2等于()A.(2n-1)2B.(2n-1)23C.4n-1D.4n-13答案D解析a1+a2+an=2n-1,a1=21-1=1.a1+a2=1+a2=22-1=3,a2=2,an的公比为2.an2的公比为4,首项为a12=1.a12+a22+an2=a12(1-4n)1-4=4n-13.11.一弹球从100米高处自由落下,每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下,则第10次着地时所经过的路程之和是(结果保留到个位)()A.300米B.299米C.199米D.166米答案A解析小球10次着地共经过的路程为100+100+50+100100128=100+1001-129
7、1-12=300-10028=2993964300(米).12.设数列an的前n项和为Sn,称Tn=S1+S2+Snn为数列a1,a2,a3,an的“理想数”,已知数列a1,a2,a3,a4,a5的理想数为2 014,则数列2,a1,a2,a5的“理想数”为()A.1 673B.1 675C.50353D.50413答案D解析因为数列a1,a2,a5的“理想数”为2014,所以S1+S2+S3+S4+S55=2014,即S1+S2+S3+S4+S5=52014,所以数列2,a1,a2,a5的“理想数”为2+(2+S1)+(2+S2)+(2+S5)6=62+520146=50413.13.(多选
8、题)已知等比数列an的前n项和为Sn,公比q1,nN+,则()A.an一定是递增数列B.an可能是递增数列也可能是递减数列C.a3,a7,a11仍是等比数列D.nN+,Sn0答案BCD解析当a11,an为递减数列,A错误;已知q1,当a10时,an为递增数列,B正确;数列an为等比数列,则a3,a7,a11仍是等比数列,C正确;等比数列an中,q1,则Sn=a1(1-qn)1-q,必有Sn0,D正确.14.(多选题)已知等比数列an的公比为q,前n项和为Sn,且满足a6=8a3,则下列说法正确的是()A.q=2B.S6S3=9C.S3,S6,S9成等比数列D.Sn=2an+a1答案AB解析若a
9、6=8a3,则有q3=a6a3=8,可解得q=2,A正确;由q=2,则S6S3=a1(1-q6)1-qa1(1-q3)1-q=637=9,B正确;由q=2,则S3=a1(1-q3)1-q=7a1,S6=a1(1-q6)1-q=63a1,S9=a1(1-q9)1-q=511a1,S3,S6,S9不是等比数列,C错误;由q=2,则Sn=a1(1-qn)1-q=(2n-1)a1,an=a1qn-1=2n-1a1,Sn=2an+a1不成立,D错误,故选AB.15.已知数列an中的项可以构成数列a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1,此数列是首项为1,公比为2的等比数列,那么an=.答案2n-1(
10、nN+)解析an-an-1=a1qn-1=2n-1(n2),即a2-a1=2,a3-a2=22,an-an-1=2n-1(n2).各式相加得an-a1=2+22+2n-1=2n-2,an=a1+2n-2=2n-1(n2).当n=1时,a1=1,符合an=2n-1,an=2n-1(nN+).16.设数列an的前n项和为Sn,点n,Snn(nN+)均在直线y=x+12上.若bn=3an+12,则数列bn的前n项和Tn=.答案9n+1-98解析依题意得Snn=n+12,即Sn=n2+12n.当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+12n-(n-1)2+12(n-1)=2n-12.当n=1时,a1=S1
11、=32,符合an=2n-12,所以an=2n-12(nN+),则bn=3an+12=32n=9n,由bn+1bn=9n+19n=9,可知bn为公比为9的等比数列,b1=9,故Tn=9(1-9n)1-9=9n+1-98.17.设数列an满足a1+3a2+32a3+3n-1an=n3,nN+.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=nan,求数列bn的前n项和Sn.解(1)a1+3a2+32a3+3n-1an=n3,a1+3a2+32a3+3n-2an-1=n-13(n2),两式相减得3n-1an=n3-n-13=13(n2),an=13n(n2).验证当n=1时,a1=13也满足上式,故an=
12、13n(nN+).(2)bn=nan=n3n,Sn=13+232+333+n3n,3,得3Sn=132+233+334+n3n+1,由-,得-2Sn=3+32+33+3n-n3n+1,即-2Sn=3-3n+11-3-n3n+1,Sn=2n-143n+1+34(nN+).学科素养创新练18.已知数列an的前n项和为Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线y=3x+1上.(1)当实数t为何值时,数列an是等比数列?(2)在(1)的结论下,设bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn是数列cn的前n项和,求Tn.解(1)因为点(Sn,an+1)在直线y=3x+1上,所以an+1=3Sn+1,当n2时,an=3Sn-1+1.于是an+1-an=3(Sn-Sn-1),an+1-an=3an,an+1=4an.又当n=1时,a2=3S1+1,a2=3a1+1=3t+1,所以当t=1时,a2=4a1,此时,数列an是等比数列.(2)由(1),可得an=4n-1,an+1=4n,所以bn=log4an+1=n,cn=4n-1+n,那么Tn=c1+c2+cn=(40+1)+(41+2)+(4n-1+n)=(40+41+4n-1)+(1+2+n)=4n-13+n(n+1)2.
