1、08届数学(第 二 轮)专 题 训 练第五讲: 导数与函数(一)学校 学号 班级 姓名 知能目标1. 了解导数的概念, 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义.2. 熟记基本导数公式, 掌握两个函数的四则运算的求导法则和复合函数的求导法则, 会求某些简单函数的导数.3. 会用导数求多项式函数的单调区间, 极值及闭区间上的最值. 会利用导数求最值的方法解决一些实际问题.综合脉络1. 知识网络2. 考点综述(1) 导数为新教材第十三章新增加的内容, 该章的重点是掌握根据导数定义求简单函数的导数的方法. 一方面, 根据导数定义求导可进一步理解导数的概念; 另一方面, 许多法则都是由导数定义导出
2、的. 掌握利用导数判别可导函数极值的方法, 是该章的又一重点. 主要涉及的是可导函数的单调性, 极值和最大 (小) 值的判定.(2) 导数概念比较抽象, 定义方法学生不太熟悉, 因此对导数概念的理解是学习中的一个难点; 求一些实际问题的最大值与最小值是另一个难点. 这里的关键是能根据实际问题, 建立适当的函数关系.(3) 用导数方法研究一些函数的性质及解决实际问题是第十三章的热点问题. 近几年来的新高考试题可以看出第十三章内容有以下变化趋势: 导数是必考内容并且试题分数比重在逐年增加, 选择题, 填空题, 解答题都有可能出现, 分值介于12分18分之间;选择题, 填空题主要考查第十三章的基本公
3、式和基本方法的应用, 如求函数的导数, 切线的斜率, 函数的单调区间, 极值, 最值; 解答题一般为导数的应用, 主要考查利用导数判断函数的单调性, 在应用题中用导数求函数的最大值和最小值.(一) 典型例题讲解:例1. (1) 函数的图象过原点且它的导函数的图象是如图所示的一条直线, 则的图象的顶点在 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限(2) 如果函数(为常数) 在区间内单调递增, 并且的根都在区间内, 那么的范围是 . 例2. 已知函数与的图象都过点P且在点P处有相同的切线. (1) 求实数的值;(2) 设函数, 求的单调区间, 并指出在该区间上的单调性.
4、例3设a为实数,函数 (1) 求的极值.(2) 当a在什么范围内取值时, 曲线轴仅有一个交点. (二) 专题测试与练习:一. 选择题1. 函数是减函数的区间为 ( )A. B. C. D. 2. 函数, 已知在时取得极值, 则 ( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 53. 在函数的图象上, 其切线的倾斜角小于的点中, 坐标为整数的点的个数是 ( )A. 3B. 2C. 1D. 04. 函数的图象与直线相切, 则 ( )A. B. C. D. 15. 已知函数(m为常数) 图象上点A处的切线与直线 的夹角为, 则点A的横坐标为 ( )A. 0 B. 1 C. 0或 D. 1或6. 已知: 为
5、常数)在上有最大值是3, 那么在上的最小值是 ( )A. B. C. D. 二. 填空题7. 曲线在点处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为 . 8. 曲线在点处的切线方程是 . 9. 曲线的所有切线中, 斜率最小的切线的方程是 .10.函数的单调递减区间为 , 极大值为 ,极小值为 . 三. 解答题11. 已知函数 (1) 求的单调递减区间;(2) 若在区间上的最大值为20, 求它在该区间上的最小值. 12. 已知, 若函数的一个极值点落在轴上, 求的值.13. 已知函数的图象过点P, 且在点M处的切线方程为.(1) 求函数的解析式; (2) 求函数的单调区间.14. 已知是函数的一个极
6、值点, 其中(1) 求m与n的关系式; (2) 求的单调区间;(3) 当时, 函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m, 求m的取值范围.导数与函数(一)解答(一) 典型例题例1. 解：(1) A ; (2) .例2. 解：(1) 由题意得: (2) 由(1)得由得:或的递增区间是; 的递减区间是.例3. 解：(1) , 若, 则, 当x变化时, , 变化情况如下表: 的极大值是, 极小值是.(2) 函数.由此可知, 取足够大的正数时, 有, 取足够小的负数时有,所以曲线y与x轴至少有一个交点, 结合的单调性可知:当的极大值, 即时, 它的极小值也小于0,因此曲线y与x轴仅有一个交点, 它在上
7、.当的极小值即时, 它的极大值也大于0, 因此曲线与x轴仅有一个交点, 它在上.当时, 曲线y与x轴仅有一个交点.(二) 专题测试与练习一. 选择题题号123456答案DBDBCD6.（提示: 二. 填空题7. ; 8. ; 9. 10. 5 , 9. (提示: , 当时,的最小值为,所以当时, 所求切线过点且斜率为3, 所以切线方程为三. 解答题11. 解: (1) 令或所以函数的单调递减区间为, .(2) 因为 所以. 因为在上, 所以在上单调递增, 又由于在上单调递减, 因此和分别是在区间上的最大值和最小值, 于是有. 故因此, 即函数在区间上的最小值为.12. 解: , 设的极值点为（, 则所以 所以所以,所以13. 解: (1) 由的图象经过P,知, 所以.即由在处的切线方程是, 知,故所求的解析式是 (2) 令即解得 当当故在内是增函数, 在内是减函数, 在内是增函数.14. 解: (1) 因为是函数的一个极值点, 所以, 即所以(2) 由(1)知, 当时, 有当x变化时，与的变化如下表:故有上表知, 当时, 在单调递减, 在单调递增, 在上单调递减.(3) 由已知得, 即又所以, 即设 其函数开口向上, 由题意知式恒成立, 所以, 即m的取值范围为.