1、安徽省“皖江名校”2020届高三数学下学期最后一卷试题 理（含解析）本试卷共4页，23题（含选考题）全卷满分150分，考试时间120分钟考生注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效3非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷，草稿纸和答题卡
2、上的非答题区域均无效5考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 是虚数单位，在复平面内，复数对应点与复数对应的点关于虚轴对称，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据复数的几何意义和对称关系，求出，再由复数的除法运算法则，即可求解.【详解】由题意知：，故故选：C.【点睛】本题考查复数的代数运算以及几何意义，属于基础题.2. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出的补集后可得.【详解】因为集合，所以，故，故选：A【点睛】本题考查集合的补集与交集
3、，此类问题依据定义计算即可，本题属于基础题3. 已知，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由于正切函数在上不是单调函数，所以当时，无法比较的大小，而在内是增函数，所以可以比较的大小【详解】解：在内是增函数，故选：B【点睛】此题考查了利用函数的单调性比较大小，熟记基本函数的单调性是解此题的关键，属于基础题.4. 数列的前项和，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题先通过判断数列是等差数列，再根据项数差值和公差直接求解即可.【详解】，数列是公差为4的等差数列，故选：C.【点睛】本题考查等差数列的判断和等差数列的基础运算，是基础题.5. 函数的图
4、象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的解析式求出函数定义域，利用定义法判断函数的奇偶性，以及根据函数的变化趋势，利用特殊值法进行排除，即可得出正确答案.【详解】解：由题可知，故排除A；，为奇函数，故排除D；，故排除B.故选：C.【点睛】本题考查函数图象的识别，关键是利用定义法判断函数的奇偶性和观察函数的变化趋势，利用特殊值法进行排除，属于基础题.6. 已知变量，的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据下：1617181950344131由上表可得线性回归方程，则（ ）A. B. C. 109D. 【答案】D【解析】【分析】由已知求得与的值，代入线性回归
5、方程求得，再由，得，结合，得，则，由此求得值【详解】解：，代入，得，则，由，得，令，则，则故选：D 【点睛】本题考查回归方程的求法，考查数学转化思想方法，考查计算能力，属于中档题7. 不共线向量，满足，且，则与的夹角为（ ）A 30B. 60C. 120D. 150【答案】D【解析】【分析】由，得出夹角，进而求出与的夹角，利用几何意义构造三角形，解三角形【详解】由已知得：，如图，令，则，又，故与的夹角故选：D.【点睛】本题考查利用向量的线性运算的几何意义及向量数量积运算求夹角，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意借助图形的直观性.8. 在中，是锐角三角形，则是的（ ）A. 充要条件B.
6、充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据题意，分别判断充分性和必要性，由因为是锐角三角形，得，进而得出，推出，可证出充分性成立；取，时，满足，但是直角三角形，可证出必要性不成立，即可得出答案.【详解】解：充分性：因为是锐角三角形，则，则，即，故充分性成立；必要性：当，时，但是直角三角形，故必要性不成立，是的充分不必要条件.故选：B.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，还涉及三角函数的应用，考查分析推理能力.9. 中国古代十进制算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍如图，是利用算筹表示数19的一种方法例如：
7、3可表示为“”，26可表示为“=”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用19这9个数字表示两位数中，能被3整除的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意把6根算筹所能表示的两位数列举出来后，计算哪些能被3整除即可得概率【详解】1根算筹只能表示1,2根根算筹可以表示2和6,3根算筹可以表示3和7,4根算筹可以表示4和8,5根算筹可以表示5和9，因此6根算筹表示的两位数有15,19,51,91,24,28,64,68,42,82,46,86,37,33,73,77共16个，其中15,51,24,42,33共5个可以被3整除，所以所求概率为故选：D【点睛
8、】本题考查古典概型，考查中国古代数学文化，解题关键是用列举法写出6根算筹所能表示的两位数10. 如下图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据程序框图知，运用错位相减法可得选项.【详解】据题意，两式错位相减，故选：A.【点睛】本题考查程序框图，注意理解程序框图的执行条件和意义，属于基础题.11. 圆台上底面和下底面圆的周长分别为和，母线长为，三视图如图所示圆台表面上的点M在主视图上的对应点为A，圆台表面上的点N在侧视图上的对应点为B，则在此圆台的侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ）A. B. 1C. D. 【答案】B【解析】【分析】根
9、据三视图可得原几何体如图所示（圆台），侧面展开后可得最短路径的长度.【详解】如图，三视图对应的几何体为圆台，因为圆台上底面和下底面圆的周长分别为和，故圆台上底面和下底面圆的半径分别为，设展开后的扇形的半径为，则，故，故该扇形的圆心角为，如图所示，侧面展开后在扇形所在圆弧的的等分点处（靠近），故，该圆台侧面展开图中三角形OMN，因为，所以从M到N的路径中，最短路径的长度为1，故选：B【点睛】本题考查三视图以及与圆台有关的表面最短路径的计算，注意利用圆台的侧面展开图来求最短路径，本题属于中档题12. 双曲线的左，右焦点分别为，若双曲线C的渐近线上存在点M满足，则双曲线C的实轴长的最小值为（ ）A.
10、 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，由，由距离公式化简得出点M在圆上，当双曲线C的渐近线与圆相切时，b取得最大值，由相似三角形的性质得出，结合，得出的最小值.【详解】设，由可得，整理得即点M在以为圆心，为半径的圆上又点到双曲线C的渐近线的距离为b当双曲线C的渐近线与圆相切时，b取得最大值此时，解得，故故选：B【点睛】本题主要考查了求双曲线中的最值问题，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知实数，满足，则目标函数取得最小值时，的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由约束条件画出可行域，可知目标直线在轴的纵截距最小时，取得最小值，当目标直线与直线重合时
11、，取得最小值时，即可得出的取值范围.【详解】解：由于实数，满足，画出可行域如图所示，其中目标函数，即，当目标直线在轴的纵截距最小时，取得最小值，由图可知，目标直线与直线平行，所以当目标直线与直线重合时，取得最小值时，则的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查简单线性规划中目标函数的最值问题，关键是画出可行域，利用目标函数的几何意义进行求值，考查数形结合思想.14. 的展开式中常数项是_.【答案】【解析】【分析】由二项展开式的性质，列出常数项的表达式，即可求解.【详解】由二项式的展开式的计算方法和性质，可得展开式的常数项为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项
12、展开式的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.15. 已知单调递增数列满足，则_【答案】【解析】【分析】根据题意，求得，由于数列是递增数列，可知，且，由，可得出，再根据定义法证明出数列是首项为0，公差为1的等差数列，利用等差数列的通项公式求出，即可得出.【详解】解：，即，所以，由于数列是递增数列，则，且，由于，则，即，而数列是递增数列，则，数列是首项为0，公差为1的等差数列，.故答案为：.【点睛】本题考查根据数列的递推关系求数列的通项公式，考查利用定义法证明等差数列和等差数列的通项公式，考查运算能力.16. 设函数的图象关于直线和均对称，下述四个结论：；4是f（x）的一个周期；存在，
13、使为奇函数；的值可能为0，1其中正确的结论是_（把所有正确结论的序号均填上）【答案】【解析】【分析】对于，由于图像关于对称，所以或，故错误；对于，由题意可知2是是半周期的整数倍，从而可判断，对于，由于，所以不可能为奇函数；对于，由，从而可判断【详解】的图象关于直线对称或，错误，2是半周期的整数倍，于是4是的一个周期，正确，对于任意，不存在，使为奇函数，错误，或，由可知，所以，于是的可能取值是0，1，正确故答案为：【点睛】此题考查了正弦型函数的图像和性质，属于中档题.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考
14、生根据要求作答（）必考题：共60分17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知（1）求C；（2）D是线段AB上靠近A点的三等分点，且，求的面积【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）本小题直接利用正弦定理的边化角公式化简求角即可.（2）本小题先设，再在中利用正弦定理求角，最后根据面积公式求解即可.【详解】（1）由正弦定理，可得，则有，（2）令，由题意，在中，则，得，即，的面积为【点睛】本题考查正弦定理，三角形面积公式，中档题.18. 如图1，在直角梯形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，若沿着EF折叠使得如图2所示，连结BC（1）求证：平面平面ABFE；（2）求二面角C-
15、BF-D的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）本小题先根据勾股定理判断线线垂直，再证明线面垂直，最后证明面面垂直.（2）本小题根据题意建立空间直角坐标系，再求二面角两个面的法向量，最后根据夹角公式求解即可.【详解】（1），分别为，的中点，平面平面平面平面（2）由（1）知，两两垂直，如图建立空间直角坐标系，令则，设平面的法向量为，则，即，令，则，平面的一个法向量为设平面的法向量为，则，即，令，则，平面的一个法向量为二面角锐二面角设为，【点睛】本题考查通过线线垂直证明面面垂直和借空间向量求二面角的余弦值，是较难题.19. 已知椭圆，分别为椭圆C的左，右焦点，过且与x轴不重
16、合的直线l交C于P，Q两点，的周长为8，面积的最大值为2（1）求C的方程；（2）点，证明：内切圆的圆心在x轴上【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义可得，根据面积的最大值为2，可得，结合，可得，从而可得椭圆的方程；（2）设直线的方程为，代入，消去整理得：，设，根据韦达定理和斜率公式可得，由此可证结论正确.【详解】（1）的周长为8，面积的最大值为2，即，又，故椭圆的方程为（2）由（1）得，设直线的方程为，代入，消去整理得：，设，则，记直线，的斜率分别为，则，因此内切圆的圆心在轴上【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查
17、了斜率公式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.20. 石榴（Punicagranatum）原名“安石榴”，果实酸甜各异，是温带、亚热带稀有水果之一自古就有“九州之奇树，天下之名果”、“多籽丽人”的美称石榴原产伊朗中亚地区，秦汉时期，通过“丝绸之路”引入我国，已有两千多年的栽培历史，我国南北各地均有小流域的栽培，共有100多个品种金秋十月，怀远石榴成熟不同品种的石榴价格及某石榴销售点根据以往各种石榴日销量的统计如下表：种类软籽硬籽红玛瑙白花玉石籽红花玉石籽红玛瑙白花玉石籽红花玉石籽售价（单位：元/kg）151818161820日销量（单位：kg）50807080120100此销售点对去年同一
18、时间的20天，每天到该销售点要求订购石榴数量统计如下表：重量范围（单位：kg）01001013003016006019009011500重量（单位：kg）502004508001250天数（单位：天）151031以上数据已做近似处理，将频率视为概率（1）计算此石榴销售点未来4天内至少有1天石榴销售重量在101600kg之间的概率；（2）估计该销售点销售每千克石榴的价格的平均值（精确到元）；根据以往的经验，该销售点只有销售额的三分之一作为销售点员工的工资和销售点的利润，其余的费用是其它各项消费目前该销售点有员工5人，每人每天销售石榴不超过300kg，日工资280元该销售点正在考虑每日利润的数学期
19、望决定是否将员工裁减1人，若你是决策者，是否裁减工作人员1人【答案】（1）；（2）18元；该销售点应该裁减工作人员1人【解析】【分析】（1）由统计表知石榴销售量在之间的天数为15，频率视为概率，估计概率为，未来4天中，石榴销售重量在之间的天数服从二项分布，由二项分布概率公式可见解（2）根据石榴日销量的统计表数据利用加权平均数算法得解；列出销售点每日销售量情况并分别计算不裁员和裁员1人的平均每日利润的期望值，比较大小得出是否裁员1人.【详解】（1）由题意，可得石榴销售量在之间的天数为15，频率，故可估计概率为，显然未来4天中，石榴销售重量在之间的天数服从二项分布，即，故所求概率为（2）样本中估计
20、该销售点销售每千克石榴的价格的平均值为（元）故估计该销售点销售每千克石榴的价格的平均值为18元该石榴销售点应该裁员1人，理由如下：根据题意及（2），销售量每增加1kg，代办点快递收入增加18（元），若不裁员，则每日销售量的上限为1500kg，销售点每日销售量情况如下：重量范围（单位：kg）重量（单位：kg）502004508001250天数（单位：天）151031频率故销售点平均每日利润的期望值为（元）；若裁员1人，则每日销售量的上限为1200kg，销售点每日销售量情况如下：重量范围（单位：kg）重量（单位：kg）50200450800天数（单位：天）15104频率故销售点平均每日利润的期望值
21、为（元）；，故该销售点应该裁减工作人员1人【点睛】本题考查二项分布的概率及利用数学期望值解决实际问题.服从二项分布解题的一般思路是：根据题意设出随机变量分析出随机变量服从二项分布找到参数 写出二项分布的分布列将值代入求解概率列分布列，求期望.21. 已知函数.（1）当时，讨论极值点的个数；（2）若a，b分别为的最大零点和最小零点，当时，证明：.【答案】（1）两个（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，由，确定单调性后再得极值点个数（2）先证明时，函数没有两个零点，从而，设，且是两个极值点，得，计算，证明，可缩小范围，得，从而证得命题成立【详解】（1）则，单调递减，单调递增，当时，使得
22、，时单调递增，时单调递减，有两个极值点.综上：时，有两个极值点：（2）证明：由（1）可知：当时，恒成立，且的解为有限个，所以在R上单调递增，又因为所以有且只有一个零点，所以：若函数有不止一个零点，则当时，由（1）可知：，时单调递增，时单调递减，因为，所以，且，当时，令在上单调递增，又因为为连续函数，在上单调递增，又因为为连续函数，所以：，即，又因为，所以，所以.【点睛】本题考查导数与极值，考查用导数研究函数的零点，由导数确定函数的单调性解题中适当缩小零点的范围是解题的关键（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题做答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22.
23、数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）（1）以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；（2）求证：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过4【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用，可得曲线C的极坐标方程；（2）就、分类讨论，再利用二倍角的正弦公式结合正弦函数的性质可得.也可以利用直角坐标方程结合基本不等式可得，从而可证任意一点到原点的距离都不超过4.【详解】（1），代入方程，得，即：；（2）法一：极坐标方程：当时，因为，故即当时，同理可证曲线上任意一点到原点的距离都不超过4法二：直角坐标方程：由得，解得，曲线上任意一点到原点的距离都
24、不超过4【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，还考查了三角函数的性质、二倍角的正弦公式、基本不等式等，注意根据函数的特征选择合适的证明方法，本题属于中档题.【选修4-5：不等式选讲】23. 已知函数，（1）当时，求不等式的解集；（2）设，记的最小值，的最大值为，求（表示，中的较大值，表示，中的较小值）【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将函数中的绝对值去掉，然后再分段求解即可；（2）根据题意作出两个函数的图像，根据题意可判断出图像实线部分为的图像，虚线部分为的图像，从而可以找到所对应的区间，从而求出的值.【详解】解：（1）当时，当时，由得，解得，不符合题意，舍去当时，由得，所以，当时，由得，解得，不合题意，舍去，所以不等式的解集为；（2）如图，作出函数的图像，则图像实线部分为的图像，虚线部分为的图像，当时，令，则，整理得，因为，所以，所以，当时，令，则，所以，因为，所以，所以，综上，所以【点睛】此题考查求解绝对值不等式和解不等式，利用了数形结合的思想，考查了转化能力和计算能力，属于中档题.