1、江西省南昌市第二中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 由，故选2.下列角终边位于第二象限的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】终边位于第一象限，终边位于第二象限，选B.3.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】若两个函数是同一个函数，则函数的定义域以及函数的对应关系都得相同，故只要逐一判断每个选项中定义域和对应关系是否都相同即可【详
2、解】对于A选项，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为x|x0，不是同一函数对于B选项，由于f（x）的定义域为R，定义域为x|x-1，不是同一函数；对于C选项，f（x）和 g（x）的定义域均为R，对应关系相同，是同一函数对于D选项，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域均为0,+）不是同一函数故选：C【点睛】本题主要考查了函数三要素的判断，只有三要素都相同，两函数才为同一函数，属基础题4.下列函数在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由函数的奇偶性和单调性的判断方法，分别对选项加以判断，即可得到在其定义域内，既是奇函数又是减函数的函数【
3、详解】对于A函数是奇函数，但在（，0），（0，+）均为减函数，故A错；对于B函数定义域为（0，+），是非奇非偶函数，故B错；对于C定义域为R，且有f（x）f（x），为奇函数，且f（x）3x20，即f（x）为减函数，故C对；对于D定义域为R，但f（0）-10，故不是奇函数，故D错故选：C【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义加以判断，同时注意函数的定义域，属于基础题和易错题5.终边在直线上的角的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出终边在上的度数，即可得到结论【详解】在0，2内终边在直线上的角为和，则终边在直线yx上的角的集合为|2k或2k，kZ，
4、即|k，kZ，故选：B【点睛】本题主要考查终边相同角的表示，熟记特殊角是关键，比较基础6.已知函数（且）的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】令对数的真数等于0，求得x、y的值，可得图象经过的定点坐标再根据在幂函数yf（x）的图象上，求出函数f（x）的解析式，从而求出的值【详解】已知a0且a1，对于函数，令x11，求得x2，y，可得它的图象恒过定点P（2，4），点P在幂函数yf（x）xn 的图象上，2n，n，f（x）则f（2）,故故选：B【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，求函数值，属于基础题7.已知函数是定义在的偶函数,则（
5、 ）A. 5B. C. 0D. 2019【答案】A【解析】【分析】根据函数f（x）ax2+bx+a2b是定义在a3，2a上的偶函数，即可求出a，b，从而得出f（x）的解析式，进而求出f（a）+f（b）的值【详解】f（x）ax2+bx+a2b是定义在a3，2a上的偶函数；a1，b0；f（x）x2+2；f（a）+f（b）f（1）+f（0）3+25故选：A【点睛】本题考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，已知函数求值的方法8.函数图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分析函数的奇偶性和图像变化趋势，利用排除法可得答案【详解】函数f（x）满足f（x）f（x），即函数为偶函
6、数，图象关于原点对称，故排除A,B；当 ，故排除C，故选：D【点睛】本题考查的知识点是函数的图象，函数的奇偶性和函数的零点，难度中档9.已知，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为，所以；因为，所以，所以选C10.已知函数在区间上单调递减,则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意根据复合函数的单调性，结合对数函数的性质，可得tx2ax+4a0区间2，+）上恒成立，且是增函数，故有，由此解得a的范围【详解】函数在区间2，+）上是减函数，又是减函数，tx2ax+4a0区间2，+）上恒成立，且是增函数，解得2a4，故选：A【点睛】本题主要考查复合
7、函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题11.若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过，则可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意判断的零点在（，）上；再由各个函数的零点可知答案【详解】g（）20，g（）0；且连续且单增，故的零点在（，）上；f（x）ex1的零点为0，f（x）（x1）2的零点为1； f（x）ln（x）的零点为；都不合题意，故选：A【点睛】本题考查了函数的零点的应用，准确判断零点所在区间是关键，属于基础题12.设函数，则下列命题中正确的个数是（ ）当时，函数在上有最小值；当时，函数在是单调增函数；若，则；方程可能有三个实数根.A. 1B. 2C
8、. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】当b0时，把函数f（x）|x|x-bx+c分x0和x0两种情况讨论，转化为二次函数判单调性，求最值即可；当b0时，判断f（x）在和是单调增函数加以判断；推导f（x）+ f（-x）2c即可求解；对b，c取特值求方程f（x）0有三个实数根，故可判断【详解】当b0时，f（x）|x|x-bx+c，知函数f（x）在上是单调减函数,在， 上是单调增函数,故函数在上无最小值；故错误；当b0时，由知函数f（x）在和是单调增函数,且函数在处连续，则在是单调增函数；故正确；f（x）+ f（-x）2c,故若，则；故正确令b3，c2，则f（x）|x|x3x+20，解得x1，2，
9、 故正确故正确的为故选：C【点睛】此题考查了分段函数的单调性、对称性和最值问题，对于含有绝对值的一类问题，通常采取去绝对值的方法解决，体现了分类讨论的数学思想；函数的对称性问题一般转化为函数的奇偶性加以分析，再根据函数图象的平移解决，体现了转化、运动的数学思想；对于存在性的命题研究，一般通过特殊值法来解决是好题，属中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知扇形的圆心角为，扇形的周长为，则扇形的面积为_.【答案】4【解析】【分析】设扇形的半径为r，弧长为l，根据扇形周长和弧长公式列式，解之得r2，l4，再由扇形面积公式可得扇形的面积S【详解】设扇形的半径为r，弧长为l，则
10、解得r2，l4由扇形面积公式可得扇形面积Slr244故答案为：4【点睛】本题给出扇形的周长和圆心角的大小，求扇形的面积，着重考查了扇形的面积公式和弧长公式等知识，属于基础题14.函数的零点个数为_.【答案】2【解析】【分析】分别画出两函数图像即可求解【详解】的零点个数即的交点个数；在同一个坐标系画出两函数图像得：故有两个交点，即的零点个数为2故答案为：2【点睛】本题考查指数与对数函数的图像，考查方程与函数零点问题，考查数形结合思想，是中档题15.函数的值域为，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由函数f（x）log2（x2ax+2a）的值域为R，可得tx2ax+2a能够取到大于0的所
11、有数，再由判别式0求得a的取值范围【详解】函数f（x）log2（x2ax+2a）的值域为R，tx2ax+2a能够取到大于0的所有数，则（a）28a0，解得a0或a8，实数a的取值范围是（，08，+）故答案为：（，08，+）点睛】本题考查函数的值域，考查数学转化思想方法，是中档题16.函数是定义域为的偶函数，当时，若关于的方程，有且仅有5个不同实数根，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】做出f（x）的函数图象，令f（x）t，根据图象得出方程f（x）t的解的情况，得出t的范围，从而得出a的范围【详解】作出f（x）的函数图象如图所示：令f（x）t，显然，当t0时，方程f（x）t有三个解，当
12、0t时，方程f（x）t有四个解，当t或-1t0时，方程f（x）t有两解，当t-1或t时，方程f（x）t无解关于x的方程f（x）2+af（x）+b0，a，bR有且仅有5个不同实数根，关于t的方程t2+at+b0，tR有两解，且一解为t1=0，另一解或t1=0，另一解-10，b0，t2+at0的两解分别为t10，t2a，或 -a0解得或a1故答案为：【点睛】本题考查了函数零点的个数与函数图象的关系，考查偶函数的性质，注意分类讨论的合理运用，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.计算：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）
13、利用分数指数幂运算及根式求解即可（2）利用对数运算求解【详解】（1）原式；（2）原式.【点睛】本题考查指数幂及对数运算，是基础题18.已知函数，其中均为实数.（1）若函数的图象经过点，求函数的值域；（2）如果函数的定义域和值域都是,求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意先求得a、b的值，可得函数的解析式，利用指数函数的性质求得函数的值域（2）根据函数f（x）的定义域和值域都是1，0，求得a、b的值，可得a+b的值【详解】（1）函数的图象经过点所以,所以,因为，即，所以故的值域为；（2）当a1时，函数f(x)axb在1，0上为增函数，由题意得,无解当0a1时，函数f(x)a
14、xb在1，0上为减函数，由题意得,解得,所以ab.【点睛】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，指数函数的单调性与特殊点，属于基础题19.已知函数的定义域为.（1）设，求的取值范围；（2）求的最大值与最小值及相应的的值.【答案】（1）；（2），当时，有最小值，当时，有最大值.【解析】【分析】（1）利用对数的单调性，若tlog2x，求t的取值范围；（2）利用对数的运算法则化简，结合配方法，即可得出结论【详解】（1）由题意可得，即的取值范围为；（2），令，则，其中，所以，当，即时，有最小值，当，即时，有最大值.【点睛】本题考查对数函数的性质，考查对数的运算法则，配方法的运用，属于中档题20.已知
15、集合，.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（）根据函数定义域为R,即可求集合A；（2）若AB，得到集合B的取值情况，分离参数，转化为有解问题求实数m的取值范围【详解】（1）因为函数定义域为R，所以在R上恒成立.当时，不在R上恒成立，故舍去；当时，则有，解得，综上所述，实数的取值范围为；（2）易得，若，所以上有解，有解，当即时，所以，所以实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查集合的基本应用，考查不等式有解，分离参数是常用方法，是基础题21.已知是定义在区间上的奇函数，且，若，时，有.（1）判断函数在上是增函数，还是减函数，并证明你的结论
16、；（2）若对所有，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）是增函数，证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在1，1上是的增函数；（2）利用函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式m25mt-5进行转化，结合二次函数性质即可求实数m的取值范围【详解】（1）函数在1，1上是增函数.设是定义在1，1上的奇函数，.又，由题设有，即，所以函数在1，1上是增函数. （2）由（1）知，对任意恒成立， 只需对恒成立，即对恒成立， 设，则，解得或， 的取值范围是【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，将不等式转化为函数问题是解决本题的关键综合性较强，运算量较大22.对于函
17、数，如果存在实数，使得，那么称为与的生成函数（1）当，时，是否存在奇函数，偶函数，使得为与的生成函数？若存在，请求出与的解析式，若不存在，请说明理由；（2）设函数，生成函数，若函数有唯一的零点，求实数的取值范围.【答案】（1）存在，；（2）.【解析】【分析】（1）根据定义，列出的方程组求解即可；（2）有唯一解，等价为（或），有唯一解，分离参数a结合函数图像求解即可【详解】（1）依题意可知， 将代替得，因为是奇函数，是偶函数，所以，由、可得，；（2）依题意可得，令，可得，即（或），令（或），结合图象可知，当时，的图象与直线只有一个交点，所以，实数的取值范围为.【点睛】本题考查了新定义函数的理解和有解的转换注意数形结合的应用，是中档题
