1、1.2椭圆的简单性质A组1.下面是关于曲线4x2=12-3y2对称性的一些叙述:关于x轴对称;关于y轴对称;关于原点对称;关于直线y=x对称.其中正确叙述的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:曲线方程4x2=12-3y2可化为x23+y24=1,故该曲线为焦点在y轴上的椭圆,由椭圆的性质,知该曲线关于x轴、y轴、原点对称,将曲线方程中的x换成y,y换成x,得y23+x24=1,与原曲线方程不同,故该曲线不关于直线y=x对称.答案:C2.已知椭圆x225+y2m2=1(m0)的左焦点为F1(-4,0),则m=()A.2B.3C.4D.9解析:由已知a2=25,b2=m2,c=4,又由a2=b
2、2+c2,可得m2=9.因为m0,所以m=3.答案:B3.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于12,则椭圆C的方程是()A.x23+y24=1B.x24+y23=1C.x24+y22=1D.x24+y23=1解析:设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则c=1,e=ca=12,所以a=2,b=3,所以椭圆C的方程是x24+y23=1.答案:D4.设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为()A.22B.2-12C.2-2D.2-1解析:由已知|PF2|=2c,|PF1|=22c.由椭圆的定
3、义知|PF1|+|PF2|=2a,即22c+2c=2a,e=ca=12+1=2-1.答案:D5.已知椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,且长轴长是短轴长的2倍,则m=()A.14B.12C.2D.4解析:将椭圆方程化为标准方程为x2+y21m=1.因为焦点在y轴上,所以1m1,所以0mb0)的左、右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C交于A,B两点,F1B与y轴交于点D,若ADF1B,则椭圆C的离心率等于.解析:因为ABx轴,所以点D为F1B的中点,且|AF2|=b2a.又ADF1B,所以|AF1|=|AB|,所以2a-b2a=2b2a,所以b2a2=23,e2=1-b2a2=13,所以e
4、=33.答案:337.已知椭圆的短半轴长为1,离心率0e32,则长轴长的取值范围为.解析:因为0e32,所以0e234.又因为e2=1-b2a2,b=1,所以01-1a234,所以-341a2-10,所以141a21,所以1a24,所以1b0)的离心率是22,点P(0,1)在短轴CD上,且PCPD=-1,则椭圆E的方程为.解析:由已知,点C,D的坐标分别为(0,-b),(0,b).又P点的坐标为(0,1),且PCPD=-1,于是1-b2=-1,ca=22,a2=b2+c2,解得a=2,b=2,所以椭圆E方程为x24+y22=1.答案:x24+y22=19.导学号01844012如图所示,F1,
5、F2分别为椭圆的左、右焦点,M为椭圆上一点,且MF2F1F2,MF1F2=30.试求椭圆的离心率.解设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a,b,c,因为MF2F1F2,所以MF1F2为直角三角形.又MF1F2=30,所以|MF1|=2|MF2|,|F1F2|=32|MF1|.而由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=2a,因此|MF1|=4a3,|MF2|=2a3,所以2c=324a3,即ca=33,即椭圆的离心率是33.B组1.椭圆的焦点在x轴上,长、短半轴之和为10,焦距为45,则椭圆的标准方程为()A.x236+y216=1B.x216+y236=1C.x26+y24=1D.y26+x24=
6、1解析:由题意得c=25,a+b=10,b2=(10-a)2=a2-c2=a2-20,解得a2=36,b2=16,故椭圆方程为x236+y216=1.答案:A2.过椭圆x24+y23=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为()A.8,6B.4,3C.2,3D.4,23解析:椭圆过焦点的弦中最长的是长轴,最短的为垂直于长轴的弦(通径)是2b2a,最长的弦为2a=4,最短的弦为2b2a=232=3,故选B.答案:B3.(2014大纲全国高考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A,B两点.若AF1B的周长为43,则C的方程为()A.x
7、23+y22=1B.x23+y2=1C.x212+y28=1D.x212+y24=1解析:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为33,ca=33.又过F2的直线l交椭圆于A,B两点,AF1B的周长为43,4a=43,a=3.b=2,椭圆方程为x23+y22=1,选A.答案:A4.已知椭圆C:x22+y2=1的两焦点为F1,F2,点P(x0,y0)满足0x022+y021,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.解析:由于0x022+y021,所以点P(x0,y0)在椭圆x22+y2=1内部,且不能与原点重合.根据椭圆的定义和几何性质知,|PF1|+|PF2|2a=22,且|PF1|+|PF2
8、|的最小值为点P落在线段F1F2上,此时|PF1|+|PF2|=2.故|PF1|+|PF2|的取值范围是2,22).答案:2,22)5.导学号01844013如图所示,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标,其纵坐标等于短半轴长的23,求椭圆的离心率.解设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a,b,c,则焦点为F1(-c,0),F2(c,0),M点的坐标为c,23b,则MF1F2为直角三角形.在RtMF1F2中,|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2,即4c2+49b2=|MF1|2.而|MF1|+|MF2|=4c2+49b2+23b=2a,整理得3c2=3
9、a2-2ab.又因为c2=a2-b2,所以3b=2a,所以b2a2=49,所以e2=c2a2=a2-b2a2=1-b2a2=59,所以e=53.6.导学号01844014在直线l:x-y+9=0上任取一点P,过点P以椭圆x212+y23=1的焦点为焦点作椭圆.(1)P点在何处时,所求椭圆的长轴最短?(2)求长轴最短时的椭圆方程.解|PF1|+|PF2|=2a.要使椭圆长轴最短,就是P到F1,F2两点的距离之和最小,因而问题转化为在直线l上求一点P,使|PF1|+|PF2|为最小.(1)如图,连接PF1,PF2,F1(-3,0),F2(3,0),作点F2关于直线l:y=x+9的对称点F2,则F2(-9,12),那么F1F2与直线l的交点即为所求的点P.易知F1F2的方程为2x+y+6=0.与直线y=x+9联立,得P(-5,4).(2)由(1)知2a=65,a=35,b2=a2-c2=36,此时,椭圆的方程为x245+y236=1.