1、 学科网（北京）股份有限公司如皋市 2022 届高三第一次调研测试 数学试卷 第 1 页 共 6 页如皋市 2022 届高三第一次调研测试 数学注意事项（请考生在作答前认真阅读）：1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上,并用 2B 铅笔填涂准考证号.2.作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.作答非选择题时,必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上.3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.4.本试卷共
2、6 页,22 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟.一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则 AB（）.A.B.C.D.2.设nS 是公差不为 0 的等差数列na的前 n 项和，且，则512aS（）.A.10B.14C.15D.183.近年餐饮浪费现象严重，触目惊心，令人痛心！“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，某中学制订了“光盘计划”，面向该校师生开展一次问卷调查，目的是了解师生对这一倡议的关注度和支持度，得到参与问卷调查中的 2000 人的得分数据据统计此次问卷调查的得分(X 满分：100 分)服从正
3、态分布2(90,)N，已知，则下列结论正确的是（）.学科网（北京）股份有限公司如皋市 2022 届高三第一次调研测试 数学试卷 第 2 页 共 6 页A.B.C.D.0.684.在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线20axy与圆 C：22230 xyx交于 A，B 两点，若钝角ABC的面积为 3，则实数 a 的值是（）.A.34B.43C.34D.435.已知向量m，n 满足1m ，若，则向量m，n 的夹角为（）.A.6B.3C.6 或D.3 或6.当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输入的任务依然繁重，疫情防控工作形势依然严峻、复杂某地区安排 A，B，C，D 四名同志到三个地区
4、开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，且 A，B 两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为（）.A.24 种B.30 种C.66 种D.72 种7.已知函数，若关于 x 的不等式对任意(0,2)x恒成立，则实数 k 的取值范围（）.A.B.C.D.8.在平面直角坐标系 xOy 中，1F，2F 分别是双曲线 C：22221(0,0)xyabab的左，右焦点，过1F 的直线 l 与双曲线的左，右两支分别交于点 A，B，点 T 在 x 轴上，满足，且2BF经过的内切圆圆心，则双曲线 C 的离心率为（）.A.3B.2C.7D.13二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每
5、小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有项选错得 0 分.学科网（北京）股份有限公司如皋市 2022 届高三第一次调研测试 数学试卷 第 3 页 共 6 页9.若，823b，则下列结论正确的是（）.A.B.C.D.1ab 10.已知函数()yf x是定义在 R 上的可导函数，其导函数记为()yfx，则下列结论正确的是（）.A.若()0f a，a R，则()yf x在 xa处取得极值B.若()yfx是偶函数，则()yf x为奇函数C.若()yf x是周期为(0)a a 的周期函数，则()yfx也是周期为(0)a a 的周期函数D.若()yf x的图象关于直
6、线 xa对称，则()yfx的图象关于点(,0)a中心对称11.在棱长为 3 的正方体1111ABCDA B C D中，点 P 在正方形11ADD A 内(含边界)运动，则下列结论正确的是（）.A.若点 P 在1AD 上运动，则B.若/PB平面11B CD，则点 P 在1A D 上运动C.存在点 P，使得平面 PBD 截该正方体的截面是五边形D.若，则四棱锥 PABCD的体积最大值为 112.已知直线与函数()sin(0)6f xx的图象相交，A，B，C 是从左到右的三个相邻交点，设 ABAC，102，则下列结论正确的是（）.A.将 fx 的图象向右平移6 个单位长度后关于原点对称B.若13，则
7、12t 学科网（北京）股份有限公司如皋市 2022 届高三第一次调研测试 数学试卷 第 4 页 共 6 页C.若 fx 在 0,2上无最值，则 的最大值为 23D.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13.已知复数 z 为纯虚数，若其中 i 为虚数单位)，则实数 a 的值为.14.设20222022ax，则.15.过抛物线 C：24xy的准线 l 上一点 P 作 C 的切线 PA，PB，切点分别为 A，B，设弦 AB 的中点为 Q，则|PQ|的最小值为.16.在三棱锥 PABC中，已知 ABC 是边长为 2 的正三角形，PA 平面 A
8、BC，M，N 分别是 AB，PC 的中点，若异面直线 MN，PB 所成角的余弦值为 34，则 PA 的长为,三棱锥 PABC的外接球表面积为.（本小题第一空 2 分，第二空 3 分）四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知5c，(1)求角 B 的大小；(2)若 ABC 的面积10 3，设 D 是 BC 的中点，求 sinsinBADCAD的值18.已知正项等比数列na的前 n 项和为nS，满足22a，(1)求数列na的通项公式；学科网（北京）股份有限公司如
9、皋市 2022 届高三第一次调研测试 数学试卷 第 5 页 共 6 页(2)记，数列 nb前 n 项和nT，求使不等式成立的 n 的最小值19.如图，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，侧面 PAD 底面 ABCD，M为 PA 的中点，(1)求证：/PC平面 BMD；(2)求二面角的大小20.某公司对 40 名试用员工进行业务水平测试，根据测试成绩评定是否正式录用以及正式录用后的岗位等级，测试分笔试和面试两个环节笔试环节所有 40 名试用员工全部参加；参加面试环节的员工由公司按规则确定公司对 40 名试用员工的笔试得分(笔试得分都在75,100内)进行了统计分析，得
10、到如下的频率分步直方图和2 2列联表(1)请完成上面的2 2列联表，并判断是否有90%的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关；(2)公司决定：在笔试环节中得分低于 85 分的员工直接淘汰，得分不低于 85 分的员工都正式录用笔试得分在95,100内的岗位等级直接定为一级(无需参加面试环节)；笔试得分在90,95)内的岗位等级初定为二级，但有 25的概率通过面试环节将二级晋升为一级；笔试分数在85,90)内的岗位等级初定为三级，但有 35的概率通过面试环节将三级晋升为二级若所有被正式录用且男女合计优(得分不低于 90 分)8良(得分低于 90 分)12合计40 学科网（北京）股份有限
11、公司如皋市 2022 届高三第一次调研测试 数学试卷 第 6 页 共 6 页岗位等级初定为二级和三级的员工都需参加面试已知甲、乙为该公司的两名试用员工，以频率视为概率若甲已被公司正式录用，求甲的最终岗位等级为一级的概率；若乙在笔试环节等级初定为二级，求甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率参考公式：22()()()()()n adbcab cd ac bd，.nabcd 0.150.100.05 0.0100k2.072 2.706 3.841 6.63521.在平面直角坐标系 xOy 中，已知离心率为 12的椭圆 C：22221(0)xyabab的左，右顶点分别是 A，B，过右焦点 F
12、 的动直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，ABM 的面积最大值为 2 3.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设直线 AM 与定直线(2)xt t交于点 T，记直线 TF，AM，BN 的斜率分别是0k，1k，2k，若1k，0k，2k 成等差数列，求实数 t 的值22.已知函数，其中Ra，e 为自然对数的底数，2.718.e(1)若函数 f x 在定义域上有两个零点，求实数 a 的取值范围；(2)当1a 时，求证：学科网（北京）股份有限公司如皋市 2022 届高三第一次调研测试 数学试题解析 第 1 页 共 26 页如皋市 2022 届高三第一次调研测试数学参考答案及解析1.已知集合243
13、0Ax xx，11=142xBx，则()AB A.B.1,3C.1,2D.0,3【答案】D【分析】本题考查了并集集及其运算，一元二次不等式和指数不等式的求解，属于基础题.化简集合 A 和集合 B，根据并集的概念，即可求出结果.【解答】解：由 A 中不等式变形得：(3)(1)0 xx，解得：13x，即(1,3)A，由 B 中不等式变形得：201111()()1()4222x，解得：02x，即0,2B，则0,3),AB 故选.D2.设nS 是公差不为 0 的等差数列na的前 n 项和，且544Sa，则125()SaA.10B.14C.15D.18【答案】C【分析】本题考查等差数列，属于基础题.学科
14、网（北京）股份有限公司如皋市 2022 届高三第一次调研测试 数学试题解析 第 2 页 共 26 页先求得12ad，再利用等差数列的通项公式和求和公式即可求解.【解答】解：由544Sa，得1115104122(0)adadad d则121511266901546Saddaadd3.近年来，餐饮浪费现象严重，触目惊心，令人痛心！“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”某中学制订了“光盘计划”，面向该校师生开展了一次问卷调查，目的是了解师生们对这一倡议的关注度和支持度，得到参与问卷调查中的 2000 人的得分数据据统计此次问卷调查的得分(X 满分：100 分)服从正态分布2(90,)N，已知(8892)0.32
15、PX，(85)P Xm，则下列结论正确的是()A.00.34mB.0.34C.0.340.68mD.0.68【答案】A【分析】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题根据对称性，由(8892)0.32PX可求出(88)P X，进而得出结果【解答】解：随机变量 X 服从正态分布2(90,)N，曲线关于90X 对称，(8892)0.32PX，1 0.32(88)0.342P X，所以0(85)0.34.P Xm故选：.A 学科网（北京）股份有限公司如皋市 2022 届高三第一次调研测试 数学试题解析 第 3 页 共 26 页4.在平面直角坐标系 xOy 中
16、，已知直线20axy与圆 C：22230 xyx交于 A，B 两点，若钝角 ABC 的面积为 3，则实数 a 的值是()A.34B.43C.34D.43【答案】A【分析】本题考查三角形面积公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系及判定，属于中档题.利用三角形面积公式求出BCA，即可求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式，即可求出结果.【解答】解：圆 C：22230 xyx可化为2214xy，所以圆心坐标为1,0C，半径2r，因为钝角 ABC 的面积为 3，所以211sin2 sin322CA CBBCABCA，解得3sin2BCA，因为BCA为钝角，所以120BCA，则30BAC，
17、所以圆心到直线的距离sin301dOA ，即2211aa，解得3.4a 故选.A5.已知向量m，n 满足|1m ，2n，若22m nmn，则向量m，n 的夹角为()A.6B.3C.6 或D.3 或【答案】B 学科网（北京）股份有限公司如皋市 2022 届高三第一次调研测试 数学试题解析 第 4 页 共 26 页【分析】本题主要考查向量的数量积运算与向量夹角之间的关系，属中档题由题意可得222224cos44mnmm nn，设m、n 的夹角为，求得1cos2，结合 的范围，求得 的值【解答】解：已知向量m、n 满足|1m ，|2n，且2|2|m nmn，设 m、n 的夹角为，cos0，可得222
18、224cos44mnmm nn，所以216cos44 1 2 cos4 ，即22coscos10，所以1cos2 或 1(舍去)，又因为0,，所以.3 故选.B6.当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输入的任务依然繁重，疫情防控工作形势依然严峻、复杂某地区安排 A，B，C，D 四名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，且 A，B 两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为()A.24 种B.30 种C.66 种D.72 种【答案】B【分析】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.根据题意，分 2 步进行分析：将 4 人分为 3 组，A，B 两
19、人不安排在同一个地区，将分好的 3 组全排列，安排到三个地区，由分步计数原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析：将 4 人分为 3 组，A，B 两人不安排在同一个地区，有2415C 种分组方法；学科网（北京）股份有限公司如皋市 2022 届高三第一次调研测试 数学试题解析 第 5 页 共 26 页将分好的 3 组全排列，安排到三个地区，有336A 种安排方法，则有5 630种不同的分配方法.7.已知函数 2ln12xf xx，若关于 x 的不等式 1e22xf kfx对任意(0,2)x恒成立，则实数 k 的取值范围()A.1,2e B.212,2eeC.212,2eeD.2
20、2,1e【答案】C【分析】本题考查函数的单调性以及奇偶性的运用，导数中的恒成立问题，属较综合的中档题.由题意，分析得到()()1g xf x 为奇函数且在(2,2)x 时为增函数，不等式变形为1(e)1()102xf kfx ，所以 1122xg kegxgx，利用单调性得到12xkex对任意(0,2)x恒成立，且221222xkex ，分离参数解决恒成立问题，即可得解.【解答】解：已知2()ln12xf xx，(2,2)x，设24()()1lnln122xg xf xxx，则()()gxg x，所以()g x 为奇函数且在(2,2)x 时为增函数，不等式变形为1(e)1()102xf kfx
21、 ，即 102xg kegx，所以 1122xg kegxgx，学科网（北京）股份有限公司如皋市 2022 届高三第一次调研测试 数学试题解析 第 6 页 共 26 页所以12xkex在(0,2)x恒成立，且221222xkex ，由 2xxke，对任意(0,2)x恒成立，设()xxh xe，1()xxh xe，()h x 在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，所以1()h xe，故12ke，即1,2ke；由221222xkex ，可得22xxkee在(2,2)x 恒成立，又22222xeee，故2222.kee综上212,2e ek故选.C8.在平面直角坐标系 xOy 中，1F，2F
22、分别是双曲线 C：22221(0,0)xyabab的左，右焦点，过1F 的直线 l 与双曲线的左，右两支分别交于点 A，B，点 T 在 x 轴上，满足23BTAF，且2BF 经过1BFT的内切圆圆心，则双曲线 C 的离心率为()A.3B.2C.7D.13【答案】C【分析】本题着重考查了双曲线的定义与简单几何性质、等边三角形的判定与性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于较难题由23BTAF及2BF 经过1BFT 的内切圆圆心，推出2ABF 是等边三角形，且 学科网（北京）股份有限公司如皋市 2022 届高三第一次调研测试 数学试题解析 第 7 页 共 26 页224.ABBFAFa在12AF F
23、 中，由余弦定理可求得离心率的值.【解答】解：因为23BTAF，所以2/BTAF，213AFBT，故 A 是线段1BF 的一个靠近点1F 的三等分点，因为2BF 经过1BFT 的内切圆圆心，所以2BF 是1F BT的角平分线，故22AF BABF，2ABAF，所以可设1AFx，则2|2.ABAFx由双曲线的定义，得212AFAFa，即22xxa，解得2xa，所以2|4ABAFa11|236.BFABAFxxxa由双曲线的定义，得12|2BFBFa，即2|4BFa，所以224ABBFAFa，所以2ABF 是等边三角形在12AF F 中，12120F AF，12AFa，24AFa，122F Fc，
24、由余弦定理的推论，得22212121212cos2AFAFF FF AFAFAF22224212 242aacaa，学科网（北京）股份有限公司如皋市 2022 届高三第一次调研测试 数学试题解析 第 8 页 共 26 页解得227ca，所以7ca，7ca，所以双曲线 C 的离心率为7.故选.C9.若2log 3 1a ，823b，则下列结论正确的是()A.2abB.1ab C.112abD.1ab【答案】AC【分析】本题考查了对数的运算，基本不等式，属于中档题.由题意得2log 3 1a ，228log3log 33b，计算出ab，ba的值，即可判断出 A，B；由0a，0b，22283logl
25、oglog 4232ab，ab，利用基本不等式判断 C；利用对数的运算和配方法判断出.D【解答】解：由题意得2log 3 1a ，228log3log 33b，2ab，故 A 正确；2242log 34log 9ba，而2log 93，24log 91ba，故 B 错误；因为0a，0b，2ab，ab，所以111111 222baabababab1 2222b aa b，故 C 正确；学科网（北京）股份有限公司如皋市 2022 届高三第一次调研测试 数学试题解析 第 9 页 共 26 页2222222(log 3 1)(3 log 3)(log 3)4log 3 3(log 3 2)1 1ab
26、，故 D 错误.故选.AC10.已知函数()yf x是定义在 R 上的可导函数，其导函数记为()yfx，则下列结论正确的是()A.若()0f a，a R，则()yf x在 xa处取得极值B.若()yfx是偶函数，则()yf x为奇函数C.若()yf x是周期为(0)a a 的周期函数，则()yfx也是周期为(0)a a 的周期函数D.若()yf x的图象关于直线 xa对称，则()yfx的图象关于点(,0)a中心对称【答案】CD【分析】本题考查导数的运算，函数的极值，函数的周期性与对称性，属于中档题举出反例判断 A，B；利用求导和周期性定义判断;C 利用复合函数求导及对称性判断.D【解答】解：对
27、于 A：例如3()f xx，2()3fxx，(0)0f，0 x 不是函数()f x 的极值，故 A 错误；对于 B：例如3()1f xx，2()3fxx为偶函数，但3()1f xx 不为奇函数，故 B 错误；对于 C：若()yf x是周期为(0)a a 的周期函数，则有()()f xaf x，两边同时求导，得()()()fxa xafx，即()()fxafx，所以()yfx也是周期为(0)a a 的周期函数故 C正确；对于 D：若()f x 关于 xa对称，则有()()f axf ax，两侧求导可得()()f axf ax，则()fx的图象关于点(,0)a对称，所以 D 正确；故选 CD 学科
28、网（北京）股份有限公司如皋市 2022 届高三第一次调研测试 数学试题解析 第 10 页 共 26 页11.在棱长为 3 的正方体1111ABCDA B C D中，点 P 在正方形11ADD A 内(含边界)运动，则下列结论正确的是()A.若点 P 在1AD 上运动，则1PBA DB.若/PB平面11B CD，则点 P 在1A D 上运动C.存在点 P，使得平面 PBD 截该正方体的截面是五边形D.若2PAPD，则四棱锥 PABCD的体积最大值为 1【答案】ABD【分析】本题考查了正方体的结构特征、锥体体积、截面问题、面面平行的判断与性质以及线面垂直的判定与性质，考查了轨迹问题，属于较难题.对
29、于 A，由1A D 平面1ABD 即得；对于 B，由平面1/A BD平面11B CD 即得；对于 C，由平面 截该正方体的截面为三角形或四边形即得；对于 D，建立平面直角坐标系 xDy，由点 P 的轨迹即得.【解答】解：.A 由正方体的结构特征得，11A DAD，1A DAB，又1AD 与 AB 为平面1ABD 内两相交直线，所以1A D 平面1ABD，又 PB 平面1ABD，所以1A DPB，故选项 A正确；B.连接1A B，BD，则11/BDB D，又11B D 平面11B CD，BD 平面11B CD，所以/BD平面11B CD，同理，1/A B平面11B CD，又1A B 与BD 为平
30、面1A BD 内两相交直线，所以平面1/A BD平面11.B CD由平面与平面平行的性质得，点 P 在平面1A BD 内，而平面1A BD 与正方形11ADD A 相交于1A D，所以当/PB平面11B CD 时，点 P 在1A D 上，故选项 B 正确；C.设平面 经过直线 BD，则平面 截该正方体的截面为三角形或四边形，故选项 C 错误；D.在平面11ADD A 内，以点 D 为坐标原点，分别以射线 AD、1DD 的方向为 x 轴、y 轴的正方向，建立平面直角坐标系 xDy，设(,)P x y，0,0 xy，因为(3,0)A，(0,0)D，由2PAPD得，学科网（北京）股份有限公司如皋市
31、2022 届高三第一次调研测试 数学试题解析 第 11 页 共 26 页2222(3)20,0 xyxyxy，整理得2234()0,033xyxy，由于点 P 在正方形11ADD A 内(含边界)，所以0 x 时，P 到 AD 的距离取最大值，将0 x 代入方程得1y ，所以点 P 到底面 ABCD 的距离的最大值为 1，即四棱柱 PABCD的高最大值为 1，所以四棱锥PABCD的体积的最大值为21(3)113，故选项 D 正确.12.已知直线(01)ytt 与函数()sin(0)6f xx的图象相交，A，B，C 是从左到右的三个相邻交点，设 ABAC，102，则下列结论正确的是()A.将()
32、f x 的图象向右平移6 个单位长度后关于原点对称B.若13，则12t C.若()f x 在 0,2上无最值，则 的最大值为 23D.12t 【答案】BCD【分析】本题考查了正弦函数的图象与性质、函数sin()yAx的图象与性质、图象的平移变换以及利用导数研究函数单调性，属于难题.对于 A，由(0)g不一定等于 0 即得；对于 B，设|EFm，求出 m，再结合|EFOD即得；对于 C，由 32即得；对于 D，求得cos()t，构造函数1()cos()h，102，利用导数研究函数()h 的单调性即得.【解答】解：.A 将()f x 的图象向右平移6 个单位长度，得到函数()sin()66g xx
33、的图象，又(0)g不一 学科网（北京）股份有限公司如皋市 2022 届高三第一次调研测试 数学试题解析 第 12 页 共 26 页定等于 0，故不一定关于原点对称，故选项 A 错误；B.如上图，根据|ABBC，不妨取 A、B、C 为图中所示的三点，且 D、E、F 的位置如图所示，设|EFm，因为13，所以|2|BCAB，结合函数()f x 的半个周期为，得出22(2)mm，解得6m，由06x 得6x，故(,0)6D，故|EFOD，故点 A 的纵坐标等于1(0)2f，即12t，故选项 B 正确；C.由62x 得3x，所以 32，即23，故选项 C 正确；D.11(1)(1)BCACABAB，设|
34、EFm，则12(1)(2)mm，解得(1 2)2m，又211|66OE，所以1111(1 2)(73)|6623OFm ，所以点 A 的纵坐标(73)sincos()36t，所以 11cos()t，令1()cos()h，102，则21()sin()h ，易知，()h 在1(0,)2上单调递增，所以1()()402hh ，所以()h 在1(0,)2上单调递减，所以1()()22hh，故选项 D 正确.13.已知复数 z 为纯虚数，若(2)6(i zai其中 i 为虚数单位)，则实数 a 的值为_.【答案】3【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属基础题.由(2)6i z
35、ai，得62aizi，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z，由复数 z 为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案【解答】解：由(2)6i zai，得6(6)(2)2(2)(2)aiaiiziii 学科网（北京）股份有限公司如皋市 2022 届高三第一次调研测试 数学试题解析 第 13 页 共 26 页(26)(12)2612555aaiaai，复数 z 为纯虚数，26051205aa，解得3.a 故答案为 3.14.设20222012(1 2)xaa xa x20222022ax，则31223222aaa 202120222021202222aa _.【答案】1【分析】本题主要考查二项式定理
36、的应用，根据展开式的特点，利用赋值法是解决本题的关键，属于基础题.利用赋值法先令0 x，得01a ，然后再令12x ，即可得到结论【解答】解：因为202223202201232022(1 2).xaa xa xa xax，令0 x 可得01a ，令12x 可得：2022320221202320221.(1 2)022222aaaaa ，故32022120232022012222aaaaa ，所以31223222aaa 2021202220212022122aa故答案为1.15.过抛物线 C：24xy的准线 l 上一点 P 作 C 的切线 PA，PB，切点分别为 A，B，设弦 AB 的中点为 Q
37、，则|PQ|的最小值为_.【答案】2【分析】本题主要考查了抛物线的性质及几何意义和直线与抛物线的位置关系，是中档题.学科网（北京）股份有限公司如皋市 2022 届高三第一次调研测试 数学试题解析 第 14 页 共 26 页由已知及切线的几何意义可得220011|(416)(1)224xPQABx可得|PQ 的最小值.【解答】解：设0(,1)P x，211(,)4xA x，222(,)4xB x，由于 C 的方程为24xy，于是2xy，根据切线的几何意义知，21110142xxxx，2222014.2xxxx整理二式得到1x，2x 为关于 x 的方程20240 xx x的根，所以124x x ，
38、1202xxx，则 PA 与 PB 的斜率之积为2214x x ，故 PAPB，由于 PQ 为Rt APB 斜边 AB 上的中线，因此2222111211|()()2244xxPQABxx22121212()1()4 1216xxxxx x22001(416)(1)24xx2201(4)22x，当且仅当00 x 时等号成立，因此|PQ 最小为2.16.在三棱锥 PABC中，已知 ABC 是边长为 2 的正三角形，PA 平面 ABC，M，N 分别是 AB，PC的中点，若异面直线 MN，PB 所成角的余弦值为 34，则 PA 的长为_，三棱锥 PABC的外接球表面积为_.【答案】2283 学科网（
39、北京）股份有限公司如皋市 2022 届高三第一次调研测试 数学试题解析 第 15 页 共 26 页【分析】本题主要考查异面直线所成角，三棱锥外接圆的表面积，属于中档题.做出异面直线所成角HMN，由已知其余弦值为 34可得 PA；由三棱锥特点可得球心位置，求出球半径可得表面积公式.【解答】解：取 H 为 PA 中点，连接 MH，NH，/MHPB，/NHAC，所以HMN为异面直线 PB，MN 所成的角，取 Q 为 AC 中点，连接 MQ，QN，则/MQBC，/NQPA，1MQ ，设2PAx，PA 平面 ABC，/NQPA，则 NQ 平面 ABC，AB，AC 平面 ABC，PAAB，NQAC在 MN
40、H 中，21MHMNx，1HN，222113cos421xHMNx，解得1x，故2.PA ABC 外接圆半径132 3233O B，过点1O 作1/O DPA，则1O D 平面 ABC，所以三棱锥 PABC的外接球球心 O 在直线1O D 上，设1OOd，则由题意得：POOB，22222 32 3233dd，解得1d，所以三棱锥 PABC的外接球半径222 37133OB，学科网（北京）股份有限公司如皋市 2022 届高三第一次调研测试 数学试题解析 第 16 页 共 26 页故三棱锥 PABC的外接球表面积为7284.3317.在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知5
41、c，2 cos2.bCac(1)求角 B 的大小；(2)若 ABC 的面积10 3，设 D 是 BC 的中点，求 sinsinBADCAD的值【答案】解：(1)2 cos2bCac，结合余弦定理222cos2abcCab，可得222222abcbacab，整理得222acbac，所以2221cos.22acbBac又(0,)B，所以.3B(2)因为 ABC 的面积10 3，所以 1sin10 32 AB BCB，即 15sin10 323BC，解得8.BC 在 ABC 中，据余弦定理可得222222cos582 5 8 cos493ACABBCAB BCB ，故7.AC 又 D 是 BC 的中
42、点，故AABDCDSS，所以 11sinsin22AB ADBADAC ADCAD，故 sin7.sin5BADACCADAB 学科网（北京）股份有限公司如皋市 2022 届高三第一次调研测试 数学试题解析 第 17 页 共 26 页【解析】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，(1)根据已知及余弦定理的计算，求出 B 的值；(2)根据已知及余弦定理，三角形面积公式的计算，求出 sinsinBADCAD的值18.已知正项等比数列na的前 n 项和为nS，满足22a，321.nnnnaSaS(1)求数列na的通项公式；(2)记21nnnba，设数列 nb前 n 项和nT，求使得不等式13
43、4722nnnT成立的 n 的最小值【答案】解：(1)设正项等比数列na的公比为 q，0.q 因为321nnnnaSaS，所以31212nnnnnnaaSSaa，即3122nnnaaa，得220qq，解得2q 或 1(舍).又22a，故11a，所以12.nna(2)因为1211(21)()2nnnnbna，所以012111111()3()5()(21)()2222nnTn ，121111111()3()(23)()(21)()22222nnnTnn ，所以1211111112()2()2()(21)()22222nnnTn 111()1121(21)()3(23)()12212nnnnn，故4
44、66.2nnnT因为134722nnnT，学科网（北京）股份有限公司如皋市 2022 届高三第一次调研测试 数学试题解析 第 18 页 共 26 页所以4613476222nnnn，解得1n，又*nN，故2n，所以 n 的最小值是 2.【解析】本题考查了等比数列的通项公式和错位相减法，是中档题.(1)设正项等比数列na的公比为 q，0q，根据条件化简得出 q，可得数列na的通项公式；(2)因为1211(21)()2nnnnbna，由错位相减求和得出nT，解不等式可得结果.19.如图，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，侧面 PAD 底面 ABCD，M 为 PA的中点
45、，10.PAPD(1)求证：/PC平面 BMD；(2)求二面角 MBDP的大小【答案】(1)证明：连接 AC 交 BD 于 N，连接.MN在正方形 ABCD 中，ACBDN，所以 N 是 AC 的中点.又 M 是 AP 的中点，所以 MN 是 APC 的中位线，/MNPC，因为 MN 面 BMD，PC 面 BMD，所以/PC平面 BMD，(2)解：取 AD 的中点 O，连接 OP，.ON在 PAD 中，PAPD，O 是 AD 的中点，所以OPAD，又面 PAD 底面 ABCD，OP 面 PAD，面 PAD 面 ABCDAD，学科网（北京）股份有限公司如皋市 2022 届高三第一次调研测试 数学
46、试题解析 第 19 页 共 26 页所以OP 面.ABCD在正方形 ABCD 中，O，N 分别是 AD、BD 的中点，所以ONAD，所以 OP，OD，ON 两两相互垂直，分别以 OD，ON，OP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.Oxyz(0,0,6)P，(2,0,0)D，(2,4,0)B，6(1.0,)2M，所以6(3,0,)2DM ，(2,0,6)DP ，(4,4,0).DB 设平面 MBD 的一个法向量1(,)nx y z，则11,nDMnDB，即630,2440,xzxy取1x，得1(1,1,6)n，所以1(1,1,6)n 是平面 MBD 的一个法向量：同
47、理，2(3,3,2)n 是平面 PBD 的一个法向量，所以121212cos,n nn nnn2222221313623211(6)(3)(3)(2)，设二面角 MBDP的大小为，由图可知，1coscosn，232n，且 为锐角，所以30 ，故二面角 MBDP的大小是30.【解析】本题主要考查了线面平行的判定，考查利用向量法求二面角，属于中档题.(1)根据已知及线面平行的判定，可知/PC平面 BMD 是否成立；学科网（北京）股份有限公司如皋市 2022 届高三第一次调研测试 数学试题解析 第 20 页 共 26 页(2)根据已知及空间直角坐标系，空间向量的正交分解及坐标表示，空间向量的加减运算
48、及数乘运算，空间向量的数量积及运算律，二面角的计算，求出二面角 MBDP的大小20.某公司对 40 名试用员工进行业务水平测试，根据测试成绩评定是否正式录用以及正式录用后的岗位等级，测试分笔试和面试两个环节笔试环节所有 40 名试用员工全部参加；参加面试环节的员工由公司按规则确定公司对 40 名试用员工的笔试得分(笔试得分都在75,100内)进行了统计分析，得到如下的频率分步直方图和2 2列联表男女合计优(得分不低于 90 分)8良(得分低于 90 分)12合计40(1)请完成上面的2 2列联表，并判断是否有90%的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关；(2)公司决定：在笔试环节中
49、得分低于 85 分的员工直接淘汰，得分不低于 85 分的员工都正式录用笔试得分在95,100内的岗位等级直接定为一级(无需参加面试环节)；笔试得分在90,95)内的岗位等级初定为二级，但有 25的概率通过面试环节将二级晋升为一级；笔试分数在85,90)内的岗位等级初定为三级，但有 35的概率通过面试环节将三级晋升为二级若所有被正式录用且岗位等级初定为二级和三级的员工都需参加面试已知甲、乙为该公司的两名试用员工，以频率视为概率若甲已被公司正式录用，求甲的最终岗位等级为一级的概率；学科网（北京）股份有限公司如皋市 2022 届高三第一次调研测试 数学试题解析 第 21 页 共 26 页若乙在笔试环
50、节等级初定为二级，求甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率参考公式：22()()()()()n adbcab cd ac bd，.nabcd 20Pk0.150.100.05 0.0100k2.072 2.706 3.841 6.635【答案】(1)2 2列联表：男女合计优(得分不低于 90 分)8412良(得分低于 90 分)161228合计241640假设0H 试用员工的业务水平优良与否与性别无关.2240(12 8 16 4)0.3172.70624 16 12 28，因为2(2.706)0.10P，所以没有90%的把握认为“试用员的业务水平优良与否与性别有关”；(2)记“甲被公司
51、正式录用”为事件 A，“甲最终岗位等级为一级”为事件 B，依题意，3()(0.060.040.02)55P A，29()0.02 50.04 5550P AB ，学科网（北京）股份有限公司如皋市 2022 届高三第一次调研测试 数学试题解析 第 22 页 共 26 页所以9()350(|)3()105P ABP B AP A，故在甲已被公司正式录用的情况下，求甲的最终岗位等级为一级的概率为 3.10记“甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级”为事件 C，所以233339()0.02 50.04 50.04 50.06 55555525P C ，故甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位的概率为 9.
52、25【解析】本题考查了独立性检验、条件概率和相互独立事件同时发生的概率，是中档题.(1)先得出完成上面的2 2列联表，由公式得出2，对照临界值表可得结论；(2)记“甲被公司正式录用”为事件 A，“甲最终岗位等级为一级”为事件 B，依题得出()P A 和()P AB，由条件概率公式可得结果；记“甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级”为事件 C，计算其概率即可.21.在平面直角坐标系 xOy 中，已知离心率为 12的椭圆 C：22221(0)xyabab的左，右顶点分别是 A，B，过右焦点 F 的动直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，ABM 的面积最大值为2 3.(1)求椭圆 C 的标准方
53、程；(2)设直线 AM 与定直线(2)xt t交于点 T，记直线 TF，AM，BN 的斜率分别是0k，1k，2k，若1k，0k，2k 成等差数列，求实数 t 的值【答案】解：(1)设椭圆 C 的半焦距为 c，依题意12ca，又 ABM 的面积最大值为2 3，所以 1 22 32a b，即2 3ab，又222abc，学科网（北京）股份有限公司如皋市 2022 届高三第一次调研测试 数学试题解析 第 23 页 共 26 页联立，得24a，23b，21c ，所以椭圆 C 的标准方程为221.43xy(2)设直线:1l xmy，11(,)M x y，22(,)N xy，联立方程组221,1,43xmy
54、xy整理得22(34)690mymy，所以122634myym，122934y ym，故12123().2my yyy易得直线11:(2)2yAMyxx与直线 xt 相交于11(2)(,)2tyT tx，因为1k，0k，2k 成等差数列，所以0122kkk，即111212(2)22122tyxyytxx，所以2121111221212121(2)(3)32(2)11(2)(1)yxy m ym y yytty xy mymy yy 1221212112339()32223313()222yyyyyyyyyy，进而解得4t，所以实数 t 的值为4.【解析】本题考查了椭圆的概念及标准方程、椭圆的性
55、质及几何意义和直线与椭圆的位置关系，是较难题.(1)依题意12ca，1 22 32a b，结合222abc得出2a 和2b，可得椭圆方程；(2)设直线:1l xmy，与椭圆联立，得出直线 AM，可得 T 坐标，由1k，0k，2k 成等差数列，得0122kkk，计算化简可得 t 的值.学科网（北京）股份有限公司如皋市 2022 届高三第一次调研测试 数学试题解析 第 24 页 共 26 页22.已知函数 lnaf xxx，其中Ra，e 为自然对数的底数，2.718.e(1)若函数()f x 在定义域上有两个零点，求实数 a 的取值范围；(2)当1a 时，求证：esin.xf xxx【答案】解：(
56、1)因为()lnaf xxx，0 x，所以2()xafxx，若0a，则()0fx，()f x 在(0,)上单调递增，此时()f x 在(0,)上至多有一个零点，不符合题意.若0a，令()0fx，得.xax，()fx，()f x 的变化情况如下表：x(0,)aa(,)a()fx-0+()f x极小值要使()f x 在(0,)上有两个零点，须满足()0f a，得10.ae当10ae时，21aa，()0f a，(1)0fa，显然()f x 在(0,)上是一条不间断的曲线，所以存在1(,1)(,)xaa，使得()0f x，；又 212lnf aaa，记 112ln,0g aaaae，则 2221210
57、ag aaaa，()g a 在10,e上单调递减，故 120g agee，即2()0f a，学科网（北京）股份有限公司如皋市 2022 届高三第一次调研测试 数学试题解析 第 25 页 共 26 页所以存在22(,)(0,)xa aa，使得()0.f x 综上所述，当10ae时，()f x 在(0,)上存在两个零点.(2)依题意，要证()sinxef xxx，即证：lnsin10 xxxexx，令()lnsin1xh xxxexx，0.x 当01x时，sin0 xx，10 xe，ln0 xx，故()0.h x 当12x时，sin0 xx，()ln1xh xxxe，令()ln1xu xxxe，(
58、1,2,()1ln,xxu xxe 显然 1xu xex 在(1,2单调递减，1()()|10 xu xu xe ，所以()u x在(1,2单调递减，()(1)10u xue ，所以()u x 在(1,2单调递减，()(1)10u xue ，所以，当(1,2x时，()()0.h xu x当2x 时，1 sin1x，sinx xx x，故()ln1xh xxxex，令()ln1xv xxxex，2x，()2lnxv xxe，显然1 xvex 在(2,)上单调递减，221|02xv xv xe，所以()v x在(2,)上单调递减，2()(2)2ln 20v xve，所以()v x 在(2,)上单调
59、递减，22()(2)2ln 22 150v xvee，所以，当2x 时，()()0.h xv x 综上所述，当0 x 时，()0h x，得证.【解析】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及最值，利用导数研究函数零点，以及不等式的证明，属于难题.(1)求导可得当0a 时()f x 在(0,)上有唯一极大值点 a，且()0f a，再构造辅助函数，求导，证明 学科网（北京）股份有限公司如皋市 2022 届高三第一次调研测试 数学试题解析 第 26 页 共 26 页()0f a 时函数在定义域上有两个零点即可；(2)要证()sinxef xxx，需证：lnsin10 xxxexx，令()lnsin1xh xxxexx，0.x 分01x，12x，2x 三种情况证明()0h x 即可，对于第种情况均需要求二阶导数，研究函数的单调性和最值.
