1、专题12 击破类比、探究类综合题利器之全等知识模型一、A字形（手拉手）及其旋转模型二、K字型及其旋转【例1】.在菱形 ABCD 中，ABC=60，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边APE，点 E 的位置随着点 P 的位置变化而变化（1）探索发现如图1，当点E在菱形ABCD 内部或边上时，连接CE填空：BP与CE的数量关系是 ，CE 与 AD 的位置关系是（2）归纳证明当点E在菱形 ABCD 外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）（3）拓展应用如图4，当点P在线段 BD 的延长线上时，连接BE，若AB=，
2、BE=，请直接写出四边形 ADPE 的面积 图1 图2 图3 图4【答案】（1）BP=CE，CEAD；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）连接AC，延长CE至AD，四边形ABCD是菱形，ABC=60，BAD=120，BAC=60，CAD=60，ABC是等边三角形，AB=AC，APE是等边三角形，AP=AE，PAE=60，BAP=CAE，BAPCAE，BP=CE，ABC=60，ABP=30，BAPCAE，ABP=ACE=30，CAD=60，ACE+CAD=90，即CDAD.（2）结论仍然成立，理由如下：（以图2为例）连接AC，设CE与AD交于点H，四边形ABCD是菱形，ABC=60，ABC和A
3、CD是等边三角形，ABD=CBD=30，AB=AC，BAC=60，APE是等边三角形，AP=AE，PAE=60，BAP=CAE，BAPCAE，BP=CE，ACE=ABP=30，CAH=60，AHC=90，即CEAD；（3）连接AC交BD于O，连接CE，由（2）知，CEBC，AB=，BE=，在RtBCF中，由勾股定理得：CE=8，由BAPCAE，得：BP=CE，BD=6，DP=BPBD=2，AO=，在RtAOP中，由勾股定理得：AP=，S=SADP+SAPE=8.【变式1-1】.在ABC中，ABC为锐角，点M为射线AB上一动点，连接CM，以点C为直角顶点，以CM为直角边在CM右侧作等腰直角三角形
4、CMN，连接NB（1）如图1，图2，若ABC为等腰直角三角形，问题初现：当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，则线段BN，AM之间的位置关系是_，数量关系是_；深入探究:当点M在线段AB的延长线上时，判断线段BN，AM之间的位置关系和数量关系，并说明理由；类比拓展:（2）如图3，ACB90，若当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，MPCM交线段BN于点P，且CBA=45，BC=，当BM=_时，BP的最大值为_图1图2图3【答案】（1）BNAM，BN=AM；（2）见解析，（3）2， 1.【解析】解：（1）由AC=BC，ACM=BCN，CM=CN，可证ACMBCN，BN=AM，A=CBN=
5、45，ABN=90，即BNAM.（2）BNAM，BN=AM；理由如下：ABC是等腰直角三角形，AC=BC，A=ABC=45，ACB=90，同理，NCM=90，NC=MC,ACM=BCN，ACMBCN，BN=AM，A=CBN=45，ABN=90，即BNAM.(3)过C作CGBC交BA的延长线于G，过C作CHAB于H，如图所示，易证GCMBCN，由（2）知，BNAB，CHMMBP，,即,设BM=x，则BP=，当BM=2时，BP取最小值，最小值为1.【例2】.在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动.（1）如图1，当点E在边CD上自D向C移动，同时点F在
6、边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出ACE为等腰三角形时CE：CD的值；（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图若AD=2，试求出线段CP的最大值【答案】见解析.【解析】解：（1）AE=DF，AEDF，理由如下：四边形ABCD是正方形，AD=DC，ADE=DCF=90，由
7、题意知：DE=CF，ADEDCF，AE=DF，DAE=FDC，ADE=90，ADP+CDF=90，ADP+DAE=90，APD=18090=90，AEDF；（2）（1）中的结论还成立，CE：CD=或2，理由如下：如图，当AC=CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC=CE=a，则CE：CD=a：a=；如图，当AE=AC时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC=AE=a，四边形ABCD是正方形，ADC=90，即ADCE，DE=CD=a，CE：CD=2a：a=2；故，CE：CD=或2；（3）点P在运动中APD=90，点P的路径是以AD为直径的圆，如图，设AD的中点为Q，连接
8、CQ并延长交圆Q于点P，此时CP的长度最大，在RtQDC中，由勾股定理得：QC=，CP=QC+QP=+1，即线段CP的最大值是+1【变式2-1】.如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF连接DE，过点E作EGDE，使EG=DE，连接FG，FC（1）请判断：FG与CE的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；（3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断图1 图2 图3【答案】（1）FG=C
9、E，FGCE；（2）（3）见解析【解析】解：（1）FG=CE，FGCE；BF=CE，BC=CD，FBC=DCE=90，BCFCDE，DEC=CFB，CFB+FCB=90，DEC +FCB=90，即CFDE，DEEG，EGCF，EG=DE=CF，四边形FCEG是平行四边形，FG=CE，FGCE；（2）BF=CE，BC=CD，FBC=DCE=90，BCFCDE，DEC=CFB，CF=DE，CFB+FCB=90，DEC +FCB=90，即CFDE，DEEG，EGCF，EG=DE=CF，四边形FCEG是平行四边形，FG=CE，FGCE；（3）成立由上可证：CBFDCE，得：BCF=CDE，CF=DE，
10、EG=DE，CF=EG，DEEGDEC+CEG=90CDE+DEC=90CDE=CEG，BCF=CEG，CFEG，四边形CEGF平行四边形，FGCE，FG=CE1.我们定义：如图1，在ABC中，把AB绕点A顺时针旋转（0180）得到AB，把AC绕点A逆时针旋转得到AC，连接BC，当+=180时，我们称ABC是ABC的“旋补三角形”，ABC边BC上的中线AD是ABC的旋补中线，点A叫旋补中心.特例感知：（1）在图2，图3中，ABC是ABC的“旋补三角形”，ABC边BC上的中线AD是ABC的旋补中线，如图2，当ABC是等边三角形时，AD与BC的数量关系是如图3，当BAC=90，BC=8时，则AD的
11、长为猜想论证：（2）如图1，当ABC是任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明.【分析】（1）由ABC是等边三角形，得AB=BC=AC=AB=AC，BAC=60，BAC+BAC=180，得B=C=30，即BC=2AD；可利用“直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半”，证得：BC=2AD，AD=4；（2）BC=2AD，利用倍长中线构造全等三角形，延长AD至M使DM=AD，连接BM，CM，证得ABCBAM，得BC=AM，BC=2AD.【解析】解：（1）ABC是等边三角形，AB=BC=AC=AB=AC，BAC=60，DB=DC，ADBC，BAC+BAC=180，BAC=120，B=C=30
12、，BC=2AD，即：答案为BC=2AD.BAC=90，BAC+BAC=180，BAC=BAC=90AB=AB，AC=AC，BACBAC，BC=BC，BD=DC，BC=2AD，BC=8，AD=4；（2）结论：BC=2AD，理由如下：如图，延长长AD至M使DM=AD，连接BM，CM，AD=DM，BD=DC，四边形ACMB是平行四边形，AC=BM=AC，BAC+BAC=180，ABM+BAC=180，BAC=ABM，AB=AB，BACABM，BC=AM，即BC=2AD.2.已知如图1所示，在ABC中，ACB=90，AC=BC，点D在AB上，DEAB交BC于E，点F是AE的中点，（1）写出线段FD与线
13、段FC的关系并证明；（2）如图2所示，将BDE绕点B逆时针旋转（090），其它条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化，写出结论并证明；（3）将BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC=4，BE=2，直接写出线段BF的范围.【答案】见解析.【解析】解：（1）FD=FC，FDFC，理由如下：由题意知：ADE=ACE=90，AF=EF，DF=AF=EF=CF，FAD=FDA，FAC=FCA，DFE=FDA+FAD=2FAD，EFC=2FAC，CA=CB，ACB=90，BAC=B=45，DFC=EFD+EFC=2（FAD+FAC）=90，FD=FC，FDFC.（2）结论不变，理由如下：延长AC至M使得
14、CM=AC，延长ED至N，使DN=DE，连接BN、BM、EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O，如图所示，BCAM，AC=CM，AB=BM，同理得：BE=BN，ABM=EBN，NBA=EBM，ABNMBE，AN=EM，BAN=BME，AF=FE，AC=CM，CF=EM，CFEM，同理，FD=AN，FDAN，FD=FC，BME+BOM=90，BOM=AOH，BAN+AOH=90，AHO=90，即ANMH，FDFC.（3）由题意知，当点E落在线段AB上时，BF的长最大，如图所示， 此时BF=3，当点E落在AB的延长线上时，BF的长最小，如图所示，此时，BF=，BF3.3.特殊：（1）如图 1，
15、在等腰直角三角形 ABC 中，ACB=90作 CM平分ACB 交 AB 于点 M，点 D 为射线 CM 上一点，以点 C 为旋转中心将线段 CD 逆时针旋转 90得到线段 CE，连接 DE 交射线 CB 于点 F，连接 BD， BE填空：线段 BD，BE 的数量关系为 ；线段 BC，DE 的位置关系为 一般：（2）如图 2，在等腰三角形 ABC 中，ACB=，作 CM 平分ACB 交AB 于点 M，点 D 为ABC 外部射线 CM 上一点，以点 C 为旋转中心将线段CD 逆时针旋转 度得到线段 CE，连接 DE，BD，BE请判断（1）中的结论是否成立，请说明理由特殊：（3）如图 3，在等边三角
16、形 ABC 中，作 BM 平分ABC 交 AC 于点 M，点 D 为射线 BM 上一点，以点 B 为旋转中心将线段 BD 逆时针旋转 60得到线段 BE，连接 DE 交射线 BA 于点 F，连接 AD，AE若 AB=4，当ADM 与AFD 全等时，请直接写出 DE 的值图1 图2 图3【答案】（1）BD=BE，BCDE；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）由题意知：ACM=BCM=45，由旋转知，DCE=90，CD=CE，ECB=DCB=45，BC=BC，BCDBCE，BD=BE，CD=CE，BC是线段DE的垂直平分线，BCDE，（2）成立，理由如下，CM平分ACB，ACB=，ACM=BCM
17、=，由旋转知，DCE=，CD=CE，BCD=BCE=又BC=BC，BCDBCE，BD=BE，CD=CE，BC是线段DE的垂直平分线，BCDE.（3）如图3，可证得：ABE=ABD =30，ABDE，由ADMADF，得：FAD=MAD=30，AF=BF=2，DE=2DF，在RtADF中，DF=AFtanDAF=，即DE=.如下图所示，同理，得FBD=30，AB=AD=4，ADF=ADM=30，DE=2DF=4，综上所述，DE的长为：，4.4.观察猜想（1）如图，在RtABC中，BAC90，ABAC3，点D与点A重合，点E在边BC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90得到线段DF，连接BF，
18、BE与BF的位置关系是 ，BE+BF ；探究证明（2）在（1）中，如果将点D沿AB方向移动，使AD1，其余条件不变，如图，判断BE与BF的位置关系，并求BE+BF的值，请写出你的理由或计算过程；拓展延伸（3）如图，在ABC中，ABAC，BACa，点D在边BA的延长线上，BDn，连接DE，将线段DE绕着点D顺时针旋转，旋转角EDFa，连接BF，则BE+BF的值是多少？请用含有n，a的式子直接写出结论图1 图2 图3【答案】（1）BFBE；BC；（2）（3）见解析. 【解析】解：（1）EAFBAC90，EAFBAEBACBAE,BAFCAE，AFAE，ABAC，BAFCAE，ABFC，BFCE，A
19、BAC，BAC90，ABCC45，FBEABF+ABC90，BCBE+ECBE+BF，故答案为: BFBE，BC（2）过D作DHAC交BC于H， DHAC，BDHA90，DBH是等腰直角三角形，由（1）可证得：BFBE，BF+BEBH，ABAC3，AD1，BDDH2，BH2，BF+BEBH2；（3）过D作DHAC交BC的延长线于H，作DMBC于M ACDH，ACHH，BDHBAC，ABAC，ABCACBDBHH，DBDH，EDFBDH，BDFHDE，DFDE，DBDH，BDFHDE，BFEH，BF+BEEH+BEBH，DBDH，DMBH，BMMH，BDMHDM，BMMHBDsinBF+BEBH
20、2nsin5.在ABC中，ACBC，ACB，点D为直线BC上一动点，过点D作DFAC交AB于点F，将AD绕点D顺时针旋转得到ED，连接BE（1）特例猜想如图1，当90时，试猜想：AF与BE的数量关系是 ；ABE ；（2）拓展探究如图（2），当090时，请判断AF与BE的数量关系及ABE的度数，并说明理由（3）解决问题如图（3），在ABC中，ACBC，AB8，ACB，点D在射线BC上，将AD绕点D顺时针旋转得到ED，连接BE，当BD3CD时，请直接写出BE的长度图1 图2 图3【答案】（1）AFBF，90；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）设AB交DE于OACB90，ACBC，ABC45，D
21、FAC，FDBC90，DFBDBF45，DFDB，ADEFDB90，ADFEDB，DADE，ADFEDB，AFBE，DAFE，AODEOB，ABEADO90，所以答案为AFBF，90（2）结论：AFBE，ABE理由如下：DFACACBFDB，CABDFB，ACBC，ABCCAB，ABCDFB，DBDF，ADFADEFDE，EDBFDBFDE，即ADFEDB，ADDE，ADFEDB，AFBE，AFDEBDAFDABC+FDB，DBEABD+ABE，ABEFDB（3）分两种情况讨论：当点D在线段BC上时，由（2）可知：BEAF，DFAC，AB8，AF2，BEAF2，当点D在BC的延长线上时，ACD
22、F，AB8，AF4，即BE=4，综上所述，BE的长度为2或46.问题发现如图1，ABC是等边三角形，点D是边AD上的一点，过点D作DEAC交AC于E，则线段BD与CE有何数量关系？拓展探究如图2，将ADE绕点A逆时针旋转角（0360），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明问题解决如果ABC的边长等于2，AD2，直接写出当ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时BD的长图1 图2 备用图【答案】见解析【解析】解：（1）如图1，BDCE，理由是：ABC是等边三角形，ABAC，DEBC，ADE是等边三角形，即AD=AE，BDCE；（2）结论仍然成立，由图1得：ADAE，由旋转性
23、质得：BADCAE，AB=AC，BADCAE，BDCE；（3）分两种情况讨论，如图所示，过D作DGAB，垂足为G，AFDE，AD=AE，DAFEAF30，BAD30，由AD2，得：DG1，AG，由AB2，得：BG，由勾股定理得：BD2如图，由（2）中证明可知：BADCAE，BDCE，ADAE，DEAC，ADE60EAFFAD30，EFFDAD1，AF，CFAC+CF3，在RtEFC中，由勾股定理得：EC2，BDEC2，综上所述，BD的长为2或27.（1）问题发现：如图1，在四边形ABCD中，ABDC，E是BC的中点，若AE是BAD的平分线，则AB，AD，DC之间的数量关系为 （2）问题探究：如
24、图2，在四边形ABCD中，ABDC，E是BC的中点，点F是DC的延长线上一点，若AE是BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论（3）问题解决：如图3，ABCD，点E在线段BC上，且BE：EC3：4点F在线段AE上，且EFDEAB，直接写出AB，DF，CD之间的数量关系图1 图2 图3【答案】（1）ADAB+CD；（2）（3）见解析【解析】解：（1）结论：ADAB+CD理由：ABCF，CFEEAB，CEEB，CEFAEB，CEFBEA ，ABCFAF平分DAB，DAFEAB，EABCFE，DAFDFA，ADDF，DFDC+CFCD+AB，ADAB+CD（2）结论：AB
25、AF+CF理由：延长AE、DC交于G，ABDG，GEAB，CEEB，CEGBEA，CEGBEA，ABCG，GEAB，AE平分FAB，FAGEAB，GEAB，FAGG，FAFG，CGCF+FGCF+AF，ABAF+CF（3）结论：AB（CD+DF）延长AE、CD交于GCGAB，GA，ABCG，DFEA，DFGG，DFDG，CD+DFCD+DGCG，AB（CD+DF）8.如图1，在RtABC中，BAC90，ABAC，点D，E分别在边AB，AC上，ADAE，连接DC，BE，点P为DC的中点，（1）【观察猜想】图1中，线段AP与BE的数量关系是 ，位置关系是 （2）【探究证明】把ADE绕点A逆时针旋转
26、到图2的位置，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，否请说明理由；（3）【拓展延伸】把ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD4，AB10，请直接写出线段AP长度的最大值和最小值图1 图2【答案】（1）APBE，PABE；（2）（3）见解析【解析】解：（1）设PA交BE于点O ADAE，ACAB，DACEAB，DACEAB，BECD，ACDABE，DAC90，DPPC，PACDPCPD，PABE，CPAE，CAP+BAO90，ABO+BAO90，AOB90，PABE，（2）结论成立理由：延长AP至M，使PMPA，连接MC，延长PA交BE于OPAPM，PDPC，APDCPM，APDMPC，ADC
27、M，ADPMCP，ADCM，DAC+ACM180，BACEAD90，EABACM，ABAC，AECM，EABMCA，BEBM，CAMABE，PAAM，PABE，CAM+BAO90，ABE+BAO90，AOB90，PABE（3）AC10，CM4，104AM10+4，6AM14，AM2AP，3PA7PA的最大值为7，最小值为39.如图1，在ABC与ADE中，AB=AC，AD=AE，A是公共角.（1）BD与CE的数量关系是： ；（2）把图1的ABC绕点A旋转一定的角度，得到如图2所示的图形.求证：BDCE；BD与CE所在直线的夹角与DAE的数量关系是什么？说明理由.（3）若AD=10，AB=6，把图
28、1中的ABC绕点A顺时针旋转度(0360)直接写出BD长度的取值范围.图1 图2【答案】（1）=；（2）（3）见解析.【解析】解：AD=AE，AB=BC，ADAB=AEAC，即BD=CE；（2）DAE=BAC，DAE+BAE=BAC+BAE.即BAD=CAE.在ABD和ACE中，ABDACE（SAS）BD=CE.BD与CE所在直线的夹角与DAE的度数相等.延长DB交CE于点F.ABDACE，ADB=AECAOD=EOF，180-ADB-AOD =180-AEC-EOF，即DAE=DFE 当B在线段AD上时，BD最小，最小值为106=4；当B在线段DA延长线上时，BD最大，最大值为10+6=16
29、，即4BD16.10.【问题探索】（1）如图1，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，点D，E分别在AC、BC边上，DC=CE，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN. 探索BE与MN的数量关系. 聪明的小华推理发现PM、PN的关系为，最后推理得到BE与MN的数量关系为.【深入探究】（2）将DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；【答案】见解析.【解析】解：（1）PM=PN，PMPM；BE=MN；AM=ME，AP=PB，PMBE，PM=BE，同理：PNAD，PN=AD
30、，AC=BC，CD=CE，AD=BE，PM=PN，ACB=90，ACBC，PMBC，PNAC，PMPN，PMN的等腰直角三角形，MN=PM，MN=BE，BE=MN.（2）结论仍然成立连接AD、延长BE交AD于点HABC和CDE是等腰直角三角形，CD=CE，CA=CB，ACB=DCE=90，ACD=ECB，ECBDCA，BE=AD，DAC=EBC，AHB=180-（HAB+ABH）=180-（45+HAC+ABH）=180-（45+HBC+ABH）=90，BHAD，M、N、P分别为AE、BD、AB的中点，PMBE，PM=BE，PNAD，PN=AD，PM=PN，MPN=90，BE=2PM=2MN=MN
