1、函数的奇偶性1.函数的奇偶性奇偶性偶函数奇函数条件对于f(x)定义域内的任意一个x结论f(x)f(x)f(x)f(x)图象特点关于y轴对称关于原点对称(1)奇、偶函数定义域的特点由于f(x)和f(x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称(2)奇、偶函数的对应关系的特点奇函数有f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)；偶函数有f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)(3)函数奇偶性的三个关注点若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)0，xD，其中定义域D是关于原点对称的非
2、空集合；函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数(4)奇、偶函数图象对称性的应用若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数题型一 奇偶性的判断【例1】（全国高一专题练习）判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）； 【题型专练】1（江苏高一期末）（多选）下列说法正确的是（ ）A若定义在上的函数满足，则是偶函数B若定义在上的函数满足，则不是偶函数C若定义在上的函数满足，则在上是增函数D若定义在上的函数满足，则在上不是减函数2（全国高一课时练习）判断下列函数的奇偶性：（1）； （2）（3）； （4）. 题型二 利用奇偶
3、性求值【例2】（1）（吉林长春外国语学校高一开学考试）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，则等于（ ）ABCD（2）（云南弥勒市一中高一月考）已知，其中 为常数，若，则（）A10B2C10D2（3）（辽宁高一期末）已知函数，若，则_【题型专练】1（安徽高一期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，则的值为（ ）A-2B-6C2D62（上海市川沙中学高一期末）若函数为偶函数，则_.3（内蒙古赤峰学院附属中学高一期末）若函数在上是奇函数，则的解析式为_4（浙江高一期末）已知是定义在 上的奇函数，且当时，则_题型三 利用奇偶性求解析式【例3】（1）（辽宁高一月考）为定义在上的奇函数，当时，则时，（ ）
4、AB CD（2）（新疆乌市八中高一月考）已知)是R上的奇函数，且当时，则的解析式_【题型专练】1（宁夏大学附属中学高一期中）已知是定义在R上的奇函数，时，则在，上的表达式是（ ）ABCD2（上海华师大二附中高一月考）已知是定义在上的奇函数，若时，则时， _.3（湖南省长沙县第九中学高一期末）已知函数是定义在R上的奇函数，当0时，则函数的解析式为_4（上海高一期末）已知函数是定义域为R的偶函数，当时，则当时_题型四 奇偶性与单调性的综合运用【例4】（1）（江西）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）AB CD（2）（吉林高一期末）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，的大小关系是（
5、）A BC D（3）（揭阳第一中学高一期末）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，则，的大小关系为（ ）ABCD【题型专练】1（浙江高一期末）下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（ ）ABCD2（2021年广东）已知偶函数 在区间上单调递增，则下列关系式成立的是（ ）A BCD3（2021年广西） 是定义在上的偶函数，且，则下列各式一定成立的是（ ）AB CD4（辽宁高一期末）奇函数在 内单调递减且，则不等式的解集为（ ）A BCD5（福建高一期末）若定义在的奇函数在单调递减，则不等式的解集为（ ）ABCD题型五 抽象函数的性质【例5】（河北高一期中）已知函数对于任意实数 总有,当时, .(1
6、)求在上的最大值和最小值.(2)若有成立,求的取值范围. 【题型专练】1（北京）已知函数对任意，总有，且当时， ，()求证：函数是奇函数；()利用函数的单调性定义证明，在上的单调递减；()若不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围. 2（全国高一）已知函数在 上单调递增，对于任意，都有（1）求；（2）判断奇偶性并证明；（3）解不等式 3（吉林省）已知函数 的定义域是(，0)(0，)，对定义域内的任意x1，x2都有，且当x 1时， 0.（1）求证：是偶函数；（2）求证：在(0，)上是增函数；（3）试比较的大小.函数的奇偶性1.函数的奇偶性奇偶性偶函数奇函数条件对于f(x)定义域内的任意一个x结论
7、f(x)f(x)f(x)f(x)图象特点关于y轴对称关于原点对称(1)奇、偶函数定义域的特点由于f(x)和f(x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称(2)奇、偶函数的对应关系的特点奇函数有f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)；偶函数有f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)(3)函数奇偶性的三个关注点若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)0，xD，其中定义域D是关于原点对称的非空集合；函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数(4)奇、偶函数
8、图象对称性的应用若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数题型一 奇偶性的判断【例1】（全国高一专题练习）判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）；解：（1）有意义，则，即，解得，所以函数的定义域为，不关于原点对称，因此函数是非奇非偶函数；（2）当时，；当时，.所以函数为奇函数；（3）由题意可得，所以且，所以函数的定义域为关于原点对称，又，所以函数为偶函数；【题型专练】1（江苏高一期末）（多选）下列说法正确的是（ ）A若定义在上的函数满足，则是偶函数B若定义在上的函数满足，则不是偶函数C若定义在上的函数满足，则在上是增函数D若定义在上
9、的函数满足，则在上不是减函数【答案】BD【解析】对于A选项，取函数，则，函数的定义域为，此时，函数为奇函数，A选项错误；对于B选项，若函数为定义在上的偶函数，对任意的，必有，因为，所以，不是偶函数，B选项正确；对于C选项，取函数，则，但函数在上不单调，C选项错误；对于D选项，假设函数是定义在上的减函数，则，这与题设矛盾，假设不成立，所以，函数在上不是减函数，D选项正确.故选：BD.2（全国高一课时练习）判断下列函数的奇偶性：（1）； （2）（3）； （4）.【解析】（1）函数的定义域为，所以，函数为偶函数；（2）函数的定义域为，则且，所以，函数为非奇非偶函数.（3）定义域为R，为偶函数.（4）
10、定义域为R，为奇函数.题型二 利用奇偶性求值【例2】（1）（吉林长春外国语学校高一开学考试）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，则等于（ ）ABCD（2）（云南弥勒市一中高一月考）已知，其中为常数，若，则（）A10B2C10D2（3）（辽宁高一期末）已知函数，若，则_【答案】（1）D（2）A（3）【解析】（1）故选：D（2）因为，所以，若，则故选: A（3）令，故故答案为：【题型专练】1（安徽高一期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，则的值为（ ）A-2B-6C2D6【答案】B【解析】是定义在上的奇函数，则，解得，当时，所以.故选：B2（上海市川沙中学高一期末）若函数为偶函数，则_.【答案】
11、2【解析】因为函数为偶函数，所以m-2=0，解得m=2.也可用，解出m=2.故答案为：23（内蒙古赤峰学院附属中学高一期末）若函数在上是奇函数，则的解析式为_【答案】【解析】在上是奇函数，又，即，4（浙江高一期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，则_【答案】【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，解得，因为当时，所以，故答案为：-2题型三 利用奇偶性求解析式【例3】（1）（辽宁高一月考）为定义在上的奇函数，当时，则时，（ ）ABCD（2）（新疆乌市八中高一月考）已知)是R上的奇函数，且当时，则的解析式_【答案】（1）A（2）【解析】（1）设，则，因为函数为定义在上的奇函数，且时，可得，即当时，.
12、故选：A.（2）由题得，设，则，又是奇函数，故答案为： 【题型专练】1（宁夏大学附属中学高一期中）已知是定义在R上的奇函数，时，则在，上的表达式是（ ）ABCD【答案】A【解析】因为时，设，则，所以，又因为是定义在R上的奇函数，所以，故选： A.2（上海华师大二附中高一月考）已知是定义在上的奇函数，若时，则时，_.【答案】【解析】当时，则，又因为是定义在上的奇函数，所以，故答案为：.3（湖南省长沙县第九中学高一期末）已知函数是定义在R上的奇函数，当0时，则函数的解析式为_【答案】【解析】设，所以，因为函数是定义在R上的奇函数，所以，所以.所以函数的解析式为.故答案为：4（上海高一期末）已知函数
13、是定义域为R的偶函数，当时，则当时_【答案】【解析】设，则，由时，所以，又函数为偶函数，即，所以.故答案为：题型四 奇偶性与单调性的综合运用【例4】（1）（江西）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）ABCD（2）（吉林高一期末）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，的大小关系是（ ）A BC D（3）（揭阳第一中学高一期末）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，则，的大小关系为（ ）ABCD【答案】（1）C（2）A（3）A【解析】（1）对于A：的定义域为R，关于原点对称，因为，所以为奇函数，故A错误；对于B：的定义域为，关于原点对称，因为，所以为奇函数，故B错误；对于C：的定义域为
14、R，关于原点对称，因为，所以为偶函数；当时，为增函数，故C正确；对于D：的定义域为R，关于原点对称，但是，而，所以，所以为非奇非偶函数，故D错误.故选：C（2）因为函数是偶函数，所以因为时，是增函数，所以，所以.故选：A（3）当时，则，所以，函数为上的增函数，由于函数是偶函数，可得，因此，.故选：A.【题型专练】1（浙江高一期末）下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（ ）ABCD【答案】D【解析】因为，是奇函数，是偶函数，故排除ABC，的定义域为，故既不是奇函数也不是偶函数，故选：D2（2021年广东）已知偶函数在区间上单调递增，则下列关系式成立的是（ ）ABCD【答案】B【解析】因为为偶函
15、数，所以，又因为且在上单调递增，所以，所以，故选：B.3（2021年广西）是定义在上的偶函数，且，则下列各式一定成立的是（ ）ABCD【答案】A【解析】由是定义在上的偶函数，所以， 由，则，其它的不能确定，故选：A4（辽宁高一期末）奇函数在内单调递减且，则不等式的解集为（ ）A BCD【答案】A【解析】因为函数在上单调递减，所以当时，当，又因为是奇函数，图象关于原点对称，所以在上单调递减，所以当时，当时，大致图象如下，由得或，解得，或，或，故选：A.5（福建高一期末）若定义在的奇函数在单调递减，则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】B【解析】是奇函数，在上递减，则在上递减，在上是减函数，又由是
16、奇函数，则不等式可化为，故选：B题型五 抽象函数的性质【例5】（河北高一期中）已知函数对于任意实数总有,当时, .(1)求在上的最大值和最小值.(2)若有成立,求的取值范围.【答案】（1）在上的最大值和最小值分别为和（2）【解析】(1)任取且,则,由时,得,由,得,所以在上是减函数；令可得,令可得,令得,解得,令可得,由单调性可得在上的最大值和最小值分别为和.(2)令可得,等价于,由函数的单调性可得,解得.即的取值范围是【题型专练】1（北京）已知函数对任意，总有，且当时， ，()求证：函数是奇函数；()利用函数的单调性定义证明，在上的单调递减；()若不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围.【
17、答案】() 见解析；（）见解析；（）【解析】()令，得，所以，令，得，即，所以，所以函数是上的奇函数.()任取,且，则，因为当时， ，而，即，所以，所以，所以在上的单调递减.()由()知是上的奇函数，所以，所以，所以，所以不等式可化为，即，所以，由()知，在上的单调递减，所以，故问题转化为对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立，令，故问题可转化为对任意的恒成立，令，其对称轴为， 所以，所以.2（全国高一）已知函数在上单调递增，对于任意，都有（1）求；（2）判断奇偶性并证明；（3）解不等式【答案】（1）；（2）为奇函数，证明见解析；（3）或【解析】（1）任意，都有，可令，则，即；（2）为奇函数，证明如下：定义城为，可令，则，即，则为奇函数；（3），即为，由于任意，都有，则， 即，即，由函数在上单调递增，可得，解得或，则不等式的解集为或3（吉林省）已知函数的定义域是(，0)(0，)，对定义域内的任意x1，x2都有，且当x 1时， 0.（1）求证：是偶函数；（2）求证：在(0，)上是增函数；（3）试比较的大小.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）.【解析】（1）证明：函数的定义域是(，0)(0，)令x1x21，得，又，又，即有是偶函数（2）证明：设0 x1 1时， 0知：即有在(0，)上是增函数（3）由（1）知是偶函数，则有由(2)知在(0，)上是增函数，则有.