1、课时质量评价(四十七)A组全考点巩固练1古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，椭圆C的面积为2，且短轴长为2，则椭圆C的标准方程为()Ay21 B1C1 D1B解析：由题意可得解得因为椭圆C的焦点在x轴上，所以椭圆C的标准方程为12已知椭圆mx24y21的离心率为，则实数m等于()A2 B2或 C2或6 D2或8D解析：显然m0且m4，当0m4时，椭圆长轴在x轴上，则，解得m2；当m4时，椭圆长轴在y轴上，则，解得m83已知椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上若|PF1|6，
2、则PF1F2的余弦值为()A B C DA解析：因为1，|PF1|6，|PF1|PF2|2a16，所以|PF2|10而|F1F2|210，故cosPF1F24已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是()A1 B1 C1 D1D解析：设动圆的圆心M(x，y)，半径为r因为圆M与圆C1：(x4)2y2169内切，与圆C2：(x4)2y29外切，所以|MC1|13r，|MC2|3r|MC1|MC2|16|C1C2|8，由椭圆的定义，知点M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为16的椭圆，则a8，c4，所以b2
3、824248，所以动圆的圆心M的轨迹方程为15已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点若AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为()A1 By21C1 D1A解析：若AF1B的周长为4，由椭圆的定义可知，4a4，所以a因为e，所以c1，所以b22，所以椭圆C的方程为1故选A6(多选题)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，O为坐标原点，直线yx过F2交C于A，B两点若AF1B的周长为8，则()A椭圆焦距为B椭圆方程为y21C弦长DSOABBC解析：因为AF1B的周长为8，所以4a8，得a2因为yx过右焦点F2，所以c，所以b2a2c24
4、31，所以椭圆焦距为2，故A错误；所以椭圆方程为y21，故B正确；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得5x28x80，(8)24580，由根与系数的关系得x1x2，x1x2，故C正确；原点到直线yx的距离为d，所以SOABd，故D错误 7已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为22又离心率为，则椭圆E的方程为_1解析：因为椭圆上一点到焦点的最小距离为ac，所以ac22，离心率e，所以，解得a2，c2，则b2a2c24，所以椭圆E的方程为18已知点P(0,1)，椭圆y2m(m1)上两点A，B满足2，则当m_时，点B横坐标的绝对值最大5解析：设A(x1，y1)，B(
5、x2，y2)，则(x1,1y1)，(x2，y21)由2，得即因为点A，B在椭圆上，所以解得y2m，所以xm(32y2)2m2m(m5)244，所以当m5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为29已知两定点A(1,0)和B(1,0)，动点P(x，y)在直线l：yx3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，求椭圆C的离心率的最大值解：不妨设椭圆方程为1(a1)，与直线l的方程联立消去y得(2a21)x26a2x10a2a40由题意易知36a44(2a21)(10a2a4)0，解得a，所以e，所以e的最大值为B组新高考培优练10(2021新高考八省联考)椭圆1(m0)的焦点为F1，F2，上顶点为A若F
6、1AF2，则m()A1BCD2C解析：在椭圆1(m0)中，a，bm，c1，如下图所示：因为椭圆1(m0)的上顶点为点A，焦点为F1，F2，所以|AF1|AF2|a因为F1AF2，所以F1AF2为等边三角形，则|AF1|F1F2|，即a2c2，因此，m故选C11已知A1，A2分别为椭圆C：1(ab0)的左、右顶点，P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点若直线PA1，PA2的斜率的乘积为，则椭圆C的离心率为()A B C DD解析：设P(x0，y0)，则，化简得1，则，e故选D12(2021广东汕头模拟)已知椭圆1(ab0)的离心率为，直线ykx与该椭圆交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂
7、足恰为椭圆的两个焦点，则k等于()A B C D2A解析：联立(b2a2k2)x2a2b2，则x，由题意知c， 因为e，所以a2c，bc，代入可得c2k13如图，用与底面成45角的平面截圆柱得一截口曲线，即椭圆，则该椭圆的离心率为()A B C DA解析：设圆柱的底面圆的直径为d，则椭圆的短轴长为d因为截面与底面成45角，所以椭圆的长轴长为d，所以椭圆的半焦距为，则e14(多选题)设椭圆C：y21的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是()A|PF1|PF2|2B离心率eCPF1F2面积的最大值为D以线段F1F2为直径的圆与直线xy0相切AD解析：由椭圆C：y21可知，
8、a，b1，c1，所以左、右焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，根据椭圆的定义|PF1|PF2|2a2，故A正确；离心率e，故B错误；所以PF1F2面积的最大值为2cbbc1，故C错误；由原点(0,0)到直线xy0的距离d1c，所以以线段F1F2为直径的圆与直线xy0相切，故D正确故选AD15已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F(1,0)，其关于直线ybx的对称点Q在椭圆上，则离心率e_，SFOQ_解析：设点Q(x，y)，则由点Q与椭圆的右焦点F(1,0)关于直线ybx对称得解得代入椭圆C的方程得1，结合a2b21，解得则椭圆的离心率e，SFOQ|OF|116过椭圆C：1(ab0)的右焦点作x
9、轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是_0e解析：由题设知，直线l：1，即bxcybc0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将xc代入椭圆C的方程，得y，即圆的半径r又圆与直线l有公共点，所以，化简得2cb，平方整理得a25c2，所以e又0e1，所以0e17(2022江苏质检)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，焦距为2(1)求C的方程；(2)若斜率为的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P，Q均在第一象限)，O为坐标原点证明：直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列(1)解：由题意可得解得又b2a2c21，所以椭圆C的方程为y21(2)证明：设直线l的方程为yxm，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由消去y，得x22mx2(m21)0，则4m28(m21)4(2m2)0，且x1x22m0，x1x22(m21)0，故y1y2x1x2m(x1x2)m2，kOPkOQk，即直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列