1、辽宁省开原市第二高级中学2021届高三数学第三次模拟考试试题（满分150分 时间120分钟）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1复数（i为虚数单位），则z等于（ ）ABCD2设是定义在上的奇函数，当时，则（ ）ABCD 3平面的法向量，平面的法向量，则下列命题正确的是（ ）A、平行B、垂直C、重合D、不垂直4南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得两个截面的面
2、积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为、，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为、，则命题：“、相等”是命题“、总相等”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）A B C D6已知是锐角，若，则（ ）ABCD7设为单位向量，且，则的最小值为（ ）A2B2C1D18已知函数，若，则有（ ）ABCD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中,有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9满足，且
3、的集合M可能是（ ）ABCD10已知m，n，l是三条不同的直线，是两个不同的平面，以下说法错误的是( ）A若，则B若，则C若，则D若，则11已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A函数的图象关于点对称B函数的图象关于直线对称C函数在单调递减D该图象向右平移个单位可得的图象12国家统计局公布的全国夏粮生产数据显示,2020年全国夏粮总产量达14281万吨,创历史新高.粮食储藏工作关系着军需民食，也关系着国家安全和社会稳定.某粮食加工企业设计了一种容积为63 000立方米的粮食储藏容器，如图1所示，已知该容器分上下两部分，其中上部分是底面半径和高都为 (10)米的圆锥，下部分是底面半径
4、为米、高为米的圆柱体，如图2所示.经测算，圆锥的侧面每平方米的建造费用为元，圆柱的侧面、底面每平方米的建造费用为元，设每个容器的制造总费用为元，则下面说法正确的是（ ） 图1 图2A B的最大值为C当时， D当时，有最小值，最小值为 第II卷（非选择题）三、填空题: 本题共4小题，每小题5分，共20分.13曲线在处的切线方程是_.14若，则_.15已知ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_.16如图，开原二高中要将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，那么当_时，矩形花坛的面积最小，最小值为_(本题第一空2分，第二空3分. )四、解答题:
5、本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在中，角、的对边分别是、，若.（1）求角；（2）若的面积为，求的周长.18给出以下三个条件：，成等差数列；对于，点均在函数的图象上，其中为常数；请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解设是一个公比为的等比数列，且它的首项，_（1）求数列的通项公式；（2）令，证明数列的前项和19已知长方体，为棱的中点，为线段的中点（1）求证：平面（2）求直线与平面所成角的正弦值20如图，在多面体中，平面，平面平面，是边长为2的等边三角形，（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值21已知数列的各项均为正数，对任意，它的前项和满足，
6、并且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求.22已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点、，求的取值范围.开原二高中高三第三次模拟考试数学试卷答案一、单选题1复数（i为虚数单位），则z等于（ ）ABCD 【答案】C2设是定义在上的奇函数，当时，则（ ）ABCD 【答案】D3.平面的法向量，平面的法向量，则下列命题正确的是（ ）A、平行B、垂直C、重合D、不垂直 【答案】B4南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，
7、如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为、，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为、，则命题：“、相等”是命题“、总相等”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】B5已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】函数，若，可得，解得或，则实数的取值范围是，故选A.6已知是锐角，若，则（ ）ABCD【答案】B【详解】，因为为锐角，所以，所以故选：B7设为单位向量，且，则的最小值为（ ）A2B2C1D1【答案】D【详解】由题意可知，所以，所以，所以，取等
8、号时同向，所以的最小值为，故选：D.8已知函数，若，则有（ ）ABCD【答案】C【详解】解：因为，当时，所以单调递增，且，当时，在上单调递增，且，所以函数在上单调递增，又由，得，所以.故选：C.二、多选题9满足，且的集合M可能是（ ）ABCD【答案】AC【详解】，集合一定含有元素，一定不含有，或故选：AC10已知m，n，l是三条不同的直线，是两个不同的平面，以下说法错误的是（ ）A若，则 B若，则C若，则 D若，则【答案】ABC【详解】解：对于，若，则，错误，添加条件与相交才正确；对于，若，则或，故错误；对于，若，则或或与相交，故错误；对于，若，则，正确故选：11已知函数的部分图象如图所示，下
9、列说法正确的是（ ）A函数的图象关于点对称B函数的图象关于直线对称C函数在单调递减D该图象向右平移个单位可得的图象【答案】BD【解析】【详解】由函数的图象可得，周期，所以，当时，函数取得最大值，即，所以，则，又，得，故函数.故A不正确；对于B，当时，即直线是函数的一条对称轴，故B正确；对于C，令，解得，则函数的单调递减区间为，故C错误；对于D，将的图象向右平移个单位后，得到的图象，即D正确.12.国家统计局公布的全国夏粮生产数据显示,2020年全国夏粮总产量达14281万吨,创历史新高.粮食储藏工作关系着军需民食，也关系着国家安全和社会稳定.某粮食加工企业设计了一种容积为63 000立方米的粮
10、食储藏容器，如图1所示，已知该容器分上下两部分，其中上部分是底面半径和高都为 (10)米的圆锥，下部分是底面半径为米、高为米的圆柱体，如图2所示.经测算，圆锥的侧面每平方米的建造费用为元，圆柱的侧面、底面每平方米的建造费用为元，设每个容器的制造总费用为元，则下面说法正确的是（ ） A B的最大值为C当时， D当时，有最小值，最小值为 【答案】B C D三、填空题13曲线在处的切线方程是_.【答案】14若，则_.【答案】1【详解】又，.15已知ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_.【答案】【解析】根据题意设三角形的三边长分别设为为，所对的角为最大角，设为，则根据余弦定理得，故
11、答案为.16如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点 ，已知，那么当_时，矩形花坛的面积最小，最小值为_【答案】 【详解】令，由题意可知，则，即，即，当且仅当，即时，取等号，故当时，矩形花坛的面积最小，最小值为.四、解答题17在中，角、的对边分别是、，若.（1）求角；（2）若的面积为，求的周长.【答案】（1）由正弦定理得：，是的内角，.（2）的面积为，由（1）知，由余弦定理得：，得：，的周长为.18给出以下三个条件：，成等差数列；对于，点均在函数的图象上，其中为常数；请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解设是一个公比为的等比数列，且它的首项，（
12、1）求数列的通项公式；（2）令，证明数列的前项和【详解】（1）选进行作答因为，成等差数列，所以解得（舍或以选进行作答由题意得因为，所以所以，当时，符合上式，所以；若选作答由，解得或又因为，所以所以（2），所以因为，所以，所以，得证19已知长方体，为棱的中点，为线段的中点（1）求证：平面（2）求直线与平面所成角的正弦值【详解】解：（1）如图：取的中点G，连接GF，GB，则，又，则四边形为平行四边形，又面，面，平面；（2）如果建立空间直角坐标系,则，则，设面的法向量为，则，即，令，可得，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值.20如图，在多面体中，平面，平面平面，是边长为2的等边三
13、角形，（）证明：平面平面；（）求二面角的余弦值【详解】证明：（）取的中点，连结，平面，平面平面，平面平面，平面，平面，又，四边形是平行四边形，是等边三角形，又平面，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，平面平面（）由（）得平面，又，分别以，所在直线为，轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则，取，得，设平面的一个法向量为，则，取，得，设二面角的平面角为，由题意为钝角，则二面角的余弦值为21已知数列的各项均为正数，对任意，它的前项和满足，并且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求.【详解】（1）对任意，有，当时，有，解得或.当时，有.-并整理得.而数列的各项均为正数，.当时，此时成立；当时，此时，不成立，舍去.，.（2）.22已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点、，求的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为，令.当，即时，则对任意的恒成立，此时函数在上单调递增；当时，对任意的恒成立，此时函数在上单调递增；当时，有两个正根，分别为，当或时，；当时，.此时函数在，上单调递增，在上单调递减.综上可得：当时，函数的单调递增区间是，无递减区间；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是；（2）由（1）可知、是关于的二次方程的两根，由韦达定理可得，令，则，设，当时，当时，.所以，函数在单调递增，在单调递减，因此，的取值范围是.
