1、面积的最值问题1如图三角形ABC，BC12，AD是BC边上的高AD10P，N分别是AB，AC边上的点，Q，M是BC上的点，连接PQ，MN，PN交AD于E求（1）若四边形PQMN是矩形，且PQ：PN1：2求PQ、PN的长；（2）若四边形PQMN是矩形，求当矩形PQMN面积最大时，求最大面积和PQ、PN的长【解析】解：（1）设PQy，则PN2y，四边形PQMN是矩形，PNBC，APNABC，ADBC，ADPN，即，解得y，PQ，PN（2）设AEx四边形PQMN是矩形，PNBC，APNABC，ADBC，ADPN，PNx，PQDE10x，S矩形PQMNx（10x）（x5）2+30，当x5时，S的最大值
2、为30，当AE5时，矩形PQMN的面积最大，最大面积是30，此时PQ5，PN62如图，四边形的两条对角线、互相垂直，当、的长是多少时，四边形的面积最大？【解析】解：设AC=x，四边形ABCD面积为S，则BD=10-x，则：，当x=5时，S最大=，所以当AC=BD=5时，四边形ABCD的面积最大3已知，如图，矩形ABCD中，AD6，DC7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，AD上，AH2，连接CF（1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长；（2）当DG6时，求FCG的面积；（3）求FCG的面积的最小值【解析】解：（1）四边形EFGH为正方形，HG=HE，EAH=
3、D=90，DHG+AHE=90，DHG+DGH=90，DGH=AHE，AHEDGH（AAS），DG=AH=2；（2）过F作FMDC，交DC延长线于M，连接GE，ABCD，AEG=MGE，HEGF，HEG=FGE，AEH=MGF，在AHE和MFG中，A=M=90，HE=FG，AHEMFG（AAS），FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，因此SFCG=FMGC=2（7-6）=1；（3）设DG=x，则由（2）得，SFCG=7-x，在AHE中，AEAB=7，HE253，x2+1653，x，SFCG的最小值为7-，此时DG=，当DG=时，FCG的面积最小为（7-）
4、4如图，已知点P是AOB内一点，过点P的直线MN分别交射线OA，OB于点M，N，将直线MN绕点P旋转，MON的形状与面积都随之变化（1）请在图1中用尺规作出MON，使得MON是以OM为斜边的直角三角形；（2）如图2，在OP的延长线上截取PCOP，过点C作CMOB交射线OA于点M，连接MP并延长交OB于点N求证：OP平分MON的面积；（3）小亮发现：在直线MN旋转过程中，（2）中所作的MON的面积最小请利用图2帮助小亮说明理由【解析】（1）在OB下方取一点K，以P为圆心，PK长为半径画弧，与OB交于C、D两点，分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于E点，作直线PE，分别与OA、OB交
5、于点M、N，故OMN就是所求作的三角形；（2）CMOB，CPON，在PCM和PON中，PCMPON（ASA），PMPN，OP平分MON的面积；（3）过点P作另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PFPE，与MC交于于G，CMOB，GMPFNP，在PGM和PFM中，PGMPFN（ASA），SPGMSPFNS四边形MOFGSMONS四边形MOFGSEOF，SMONSEOF，当点P是MN的中点时SMON最小5如图，现有一张矩形纸片，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接（1）求证：；（2）当，重合时，求的值；（3）若的面积为，求的取值
6、范围【解析】（1）证明：如图1中， 四边形ABCD是矩形，PMCN，PMN=MNC，MNC=PNM，PMN=PNM，PM=PN（2）解：点P与点A重合时，如图2中，设BN=x，则AN=NC=6-x，在RtABN中，AB2+BN2=AN2，即22+x2=（6-x）2，解得x=，CN=6-=，（3）解：当MN过点D时，如图3所示，此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为菱形CMPN=，当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为，6某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计这个图案由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形，设小正方形的边长m，直角
7、三角形较短边长n，且n2m4，大正方形的面积为S（1）求S关于m的函数关系式（2）若小正方形边长不大于3，当大正方形面积最大时，求m的值【解析】解：（1）小正方形的边长m，直角三角形较短边长n，直角三角形较长边长为m+n，由勾股定理得：S（m+n）2+n2，n2m4，S（m+2m4）2+（2m4）2，13m240m+32，n2m40，m2，S关于m的函数关系式为S13m240m+32（m2）；（2）S13m240m+32（2m3），S13(m-)2+m时，S随x的增大而增大，m3时，S取最大m37如图：已知矩形ABCD中，AB=cm，BC=3cm，点O在边AD上，且AO=1cm.将矩形ABCD
8、绕点O逆时针旋转角()，得到矩形ABCD(1)求证：ACOB；(2)如图1, 当B落在AC上时，求AA；(3)如图2，求旋转过程中CCD的面积的最大值.【解析】解：(1)RtOAB中， AOB60RtACD中， CAD30OMA180603090即ACOB (2)RtOAM中，RtOAB中，OBOB2，RtO BM中，BM，BMOBOM， RtBBM中， ， (3)如图，过C点作CH于CD点H，连结OC，则CHOCOD只有当D在CO的延长线上时，CH才最大.又CD长一定，故此时CCD的面积的最大.而 CCD的最大面积为8问题提出（1）如图，在中，为上一点，则面积的最大值是 （2）如图，已知矩形
9、的周长为，求矩形面积的最大值实际应用（3）如图，现有一块四边形的木板余料，经测量且木匠师傅从这块余料中裁出了顶点在边上且面积最大的矩形求该矩形的面积【解析】解：（1）过点A作AEBC，如图所示：，D为BC上一点，要使ABC的面积最大，则需满足AD=AE，BC=6，AD=4，ABC的面积最大为：；故答案为12；（2）四边形ABCD是矩形，AB=DC，AD=BC，矩形ABCD的周长是12，设AB=x，则有AD=6-x，矩形ABCD的面积为S，则有：，此函数为二次函数，由，二次函数的开口向下，当x=3时，矩形ABCD的面积有最大值为：；（3）如图所示：四边形PQMN是矩形，QM=PN，PQ=MN，Q
10、MN=PNM=90，B=C=60，QMB=PNC=90，BMQCNP，BM=NC，设BM=NC=x，则有MN=PQ=80-2x，此函数关系为二次函数，由可得开口向下，当x=20时，矩形PQMN的面积有最大，即9如图，已知，是线段上的两点，以为中心顺时针旋转点，以为中心逆时针旋转点，使，两点重合成一点，构成，设（1）求的取值范围；（2）求面积的最大值【解析】解：（1），由旋转的性质，得，由三角形的三边关系，得解不等式得，解不等式得，的取值范围是（2）如图，过点作于点，设，由勾股定理，得，两边平方并整理，得，两边平方整理，得的面积为，当时，面积最大值的平方为，面积的最大值为10如图，已知AB为半圆
11、O的直径，P为半圆上的一个动点（不含端点），以OP、OB为一组邻边作POBQ，连接OQ、AP，设OQ、AP的中点分别为M、N，连接PM、ON（1）试判断四边形OMPN的形状，并说明理由（2）若点P从点B出发，以每秒15的速度，绕点O在半圆上逆时针方向运动，设运动时间为ts试求：当t为何值时，四边形OMPN的面积取得最大值？并判断此时直线PQ与半圆O的位置关系（需说明理由）；是否存在这样的t，使得点Q落在半圆O内？若存在，请直接写出t的取值范围；若不存在，请说明理由【解析】（1）四边形OMPN为矩形，理由如下：四边形POBQ为平行四边形，PQOB，PQ=OB又OB=OA，PQ=AO又PQOA，四
12、边形PQOA为平行四边形，PAQO，PA=QO又M、N分别为OQ、AP的中点，OM=OQ，PN=AP，OM=PN，四边形OMPN为平行四边形OP=OA，N是AP的中点，ONAP，即ONP=90，四边形OMPN为矩形；（2）四边形OMPN为矩形，S矩形OMPN=ONNP=ONAP，即S矩形OMPN=SAOPAOP的底AO为定值，当P旋转运动90（运动至最高点）时，AOP的AO边上的高取得最大值，此时AOP的面积取得最大值，t=9015=6秒，当t=6秒时，四边形OMPN面积最大此时，PQ与半圆O相切理由如下：此时POB=90，PQ/OB，OPQ=90，PQ与半圆O相切；当点Q在半圆O上时，四边形
13、POBQ为平行四边形，且OB=OP，四边形POBQ为菱形，OB=BQ=OQ=OP=PQ，POQ=BOQ=60，即：BOP=120，此时，t=12015=8秒，当点P与点A重合时，t=18015=12秒，综上所述：当8t12时，点Q在半圆O内11如图，在ABC中，C90，AB10，BC8点D，E分别是边AC，BC上的动点，连接DE设CDx（x0），BEy，y与x之间的函数关系如图所示（1）求出图中线段PQ所在直线的函数表达式；（2）将DCE沿DE翻折，得DME点M是否可以落在ABC的某条角平分线上？如果可以，求出相应x的值；如果不可以，说明理由；直接写出DME与ABC重叠部分面积的最大值及相应x
14、的值【解析】解：（1）设线段PQ所在直线的函数表达式为ykx+b，将P（3，4）和Q（6，0）代入得，解得，线段PQ所在直线的函数表达式为；（2）如图1，连接CM并延长CM交AB于点F，C90，AB10，BC8，AC6，由（1）得BE，CE，DCEACB，DCEACB，DECABC，DE/AB，点C和点M关于直线DE对称，CMDE，CFAB，6810CF，CF,C90，CDx，CE，DE，CM，MF，过点M作MGAC于点M，过点M作MHBC于点H，则四边形GCHM为矩形，GCM+BCFBCF+ABC90，GCMABC，MGCACB90，CGMBCA，即，MG，CG，MH，（）若点M落在ACB的
15、平分线上，则有MGMH，即，解得x0（不合题意舍去），（）若点M落在BAC的平分线上，则有MGMF，即，解得x，（）若点M落在ABC的平分线上，则有MHMF，即，解得x综合以上可得，当x或x时，点M落在ABC的某条角平分线上当0x3时，点M不在三角形外，DME与ABC重叠部分面积为DME的面积，当x3时，S的最大值为当3x6时，点M在三角形外，如图2，由知CM2CQ，MTCMCF，PK/DE，MPKMDE， ， ，即：，当x4时，DME与ABC重叠部分面积的最大值为8综合可得，当x4时，DME与ABC重叠部分面积的最大值为812 问题提出（1）如图，已知线段AB，请以AB为斜边，在图中画出一个
16、直角三角形；（2）如图，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，ADl且AD=3，BAC=60，求ABC面积的最小值；问题解决（3）如图，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，A=45，B=D=90，CB=CD=6m，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CECF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值?若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由【解析】解：（1）如图，RtACB即为所求（2）如图，作ABC的外接圆O，连接OA，OB，OC，过点O作OEBC于点E，则BOC=2BAC，OA=OB=OC，BE=CE=BC，BAC=60，BOC=12
17、0，OBC=OCB=30，设OA=OB=OC=r，则OE=r，BC=2BE=r，AO+OEAD，AD=3，r+r3，解得r2，BC=r，SABC=BCAD3=，ABC面积的最小值为（3）存在；如图，分别延长AB、DC交于点M，则ADM、CBM均为等腰直角三角形，CB=CD=6m，BM=6m，CM=m，AD=DM=（6+）m，S四边形ABCD=SADM-SCBM=DM2-BC2=（6+）2-62=（36+）m2将CBE绕点C顺时针旋转135得到CDE，则A、D、E三点共线S四边形AECF=S四边形ABCD（SCBE+SCDF）=S四边形ABCDSCEFS四边形ABCD为定值，当SCEF取得最小值时，S四边形AECF取得最大值ECF=135-90=45，以EF为斜边作等腰RtOEF，则CEF的外接圆是以点O为圆心，OF长为半径的圆，设CEF的外接圆半径为rm，EF=rm，又OC+ODCD，r+r6，r12-，当点O在CD上时，EF最短，此时EF=r=（-12）m，SCEF最小=（-12）6=（-36）m2，S四边形AECF最大=S四边形ABCD-SCEF最小=36+-（-36）=72m2