1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业 四十一空间点、直线、平面之间的位置关系(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列命题中,真命题的个数为()如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点,那么这两个平面重合;两条直线可以确定一个平面;空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内;若M,M,=l,则Ml.A.1B.2C.3D.4【解析】选B.根据公理2,可判断是真命题;两条异面直线不能确定一个平面,故是假命题;在空间,相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角),故是假命题;根据平面的
2、性质可知是真命题.综上,真命题的个数为2.2.(2014广东高考)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4满足l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是()A.l1l4B.l1l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定【解析】选D.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,记l1=DD1,l2=DC,l3=DA,若l4=AA1,满足l1l2,l2l3,l3l4,此时l1l4,可以排除选项A和C.若l4=DC1,也满足条件,可以排除选项B.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是()
3、A.相交B.异面C.平行D.垂直【解析】选A.由BCAD,ADA1D1知,BCA1D1,从而四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1BCD1,又EF平面A1C,EFD1C=F,则A1B与EF相交.4.对于任意的直线l与平面,在平面内必有直线m,使m与l()A.平行B.相交C.垂直D.互为异面直线【解析】选C.不论l,l还是l与相交,内都有直线m,使得ml.【误区警示】解答本题时,易因对直线l和平面的位置关系考虑不全面而误选A或D.5.(2016广州模拟)如图是三棱锥D-ABC的三视图,点O在三个视图中都是所在边的中点,则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于()A.B.C.D.【解题提示】将三视
4、图还原成几何体,利用几何体的平行关系或特殊点,确定异面直线所成的角.【解析】选A.由题意得如图所示的直观图,从A出发的三条线段AB,AC,AD两两垂直且AB=AC=2,AD=1,O是BC中点,取AC中点E,连接DE,DO,OE,则OE=1,又可知AE=1,由于OEAB,故DOE即为所求两异面直线所成的角或其补角.在直角三角形DAE中,DE=,由于O是中点,在直角三角形ABC中可以求得AO=,在直角三角形DAO中可以求得DO=.在三角形DOE中,由余弦定理得cosDOE=,故所求余弦值为.【加固训练】(2014大纲版全国卷)已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦
5、值为()A.B.C.D.【解析】选B.利用平移法求两条异面直线所成的角.画出正四面体ABCD的直观图,如图所示.设其棱长为2,取AD的中点F,连接EF,CF,设EF的中点为O,连接CO,则EFBD,则FEC就是异面直线CE与BD所成的角(或其补角).由题知ABC为等边三角形,则CEAB,易得CE=,同理可得CF=,故CE=CF.因为OE=OF,所以COEF.又EO=EF=BD=,所以cosFEC=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:若ab,bc,则ac;若ab,bc,则ac;若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;若a平面,b平面,则a,b
6、一定是异面直线.上述命题中正确的命题是(只填序号).【解析】由公理4知正确;当ab,bc时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故不正确;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故不正确;a,b,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故不正确.答案:7.(2016泰安模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别为BB1,CC1的中点,那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为.【解析】如图,连接DF,因为DF与AE平行,所以DFD1即为异面直线AE与D1F所成角的平面角,设正方体的棱长为2,则FD1=FD=,由余弦定理得cosDFD1=.答案:【加固训练】如
7、图,已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为.【解题提示】取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD,则可得直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角,利用圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,可得C1D=AD,从而可得结论.【解析】取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD,则因为C是圆柱下底面弧AB的中点,所以ADBC,所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角,因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,所以C1D圆柱下底面,所以C1DAD,因为圆柱的轴截面ABB
8、1A1是正方形,所以C1D=AD,所以直线AC1与AD所成角的正切值为,所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.答案:8.(2016淄博模拟)如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,GH与EF平行;BD与MN为异面直线;GH与MN成60角;DE与MN垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是.【解析】如图,把平面展开图还原成正四面体,知GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN成60角,DE与MN垂直,故正确.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知空间四边形ABCD中,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边B
9、C,CD的中点.(1)求证:BC与AD是异面直线.(2)求证:EG与FH相交.【证明】(1)假设BC与AD共面,不妨设它们所共平面为,则B,C,A,D.所以四边形ABCD为平面图形,这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾,所以BC与AD是异面直线.(2)如图,连接AC,BD,则EFAC,HGAC,因此EFHG;同理EHFG,则四边形EFGH为平行四边形.又EG,FH是EFGH的对角线,所以EG与FH相交.10.如图,在三棱锥P-ABC中,PA底面ABC,D是PC的中点.已知BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.求:(1)三棱锥P-ABC的体积.(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.【解析】(
10、1)SABC=22=2,三棱锥P-ABC的体积为V=SABCPA=22=.(2)如图,取PB的中点E,连接DE,AE,则EDBC,所以ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角).在ADE中,DE=2,AE=,AD=2,cosADE=,即异面直线BC与AD所成角的余弦值为.(20分钟40分)1.(5分)如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是()【解析】选D.在A图中分别连接PS,QR,易证PSQR,所以P,Q,R,S共面;在C图中分别连接PQ,RS,易证PQRS,所以P,Q,R,S共面;如图所示,在B图中过P,Q,R,S可作一正六边形,故四点共面;D
11、图中PS与QR为异面直线,所以P,Q,R,S四点不共面.2.(5分)如图所示,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是()A.A,M,O三点共线B.A,M,O,A1不共面C.A,M,C,O不共面D.B,B1,O,M共面【解析】选A.连接A1C1,AC,则A1C1AC,所以A1,C1,A,C四点共面,所以A1C平面ACC1A1.因为MA1C,所以M平面ACC1A1.又M平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理A,O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线.3.(5分)(20
12、16潍坊模拟)已知三棱锥A-BCD中,AB=CD,且直线AB与CD所成的角为60,点M,N分别是BC,AD的中点,则直线AB和MN所成的角为.【解析】如图,取AC的中点P,连接PM,PN,则PMAB,且PM=AB,PNCD,且PN=CD,所以MPN为AB与CD所成的角(或其补角).则MPN=60或MPN=120.若MPN=60,因为PMAB,所以PMN是AB与MN所成的角(或其补角).又因为AB=CD,所以PM=PN,则PMN是等边三角形,所以PMN=60,即AB与MN所成的角为60.若MPN=120,则易知PMN是等腰三角形,所以PMN=30,即AB与MN所成的角为30.综上,直线AB和MN
13、所成的角为60或30.答案:60或304.(12分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,ACBD=P,A1C1EF=Q.求证:(1)D,B,F,E四点共面.(2)若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线.【证明】(1)如图所示,因为EF是D1B1C1的中位线,所以EFB1D1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1D1BD,所以EFBD.所以EF,BD确定一个平面.即D,B,F,E四点共面.(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设平面A1ACC1确定的平面为,又设平面BDEF为,因为QA1C1,所以Q.又因为QEF,所以Q,则Q是与
14、的公共点,同理,P点也是与的公共点,所以=PQ.又因为A1C=R,所以RA1C,则R且R,则RPQ,故P,Q,R三点共线.5.(13分)(2016青岛模拟)直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为等腰直角三角形,BAC=90,AB=AC=2,AA1=2,E,F分别是BC,AA1的中点.求:(1)异面直线EF和A1B所成的角.(2)三棱锥A-EFC的体积.【解析】(1)如图,取AB的中点D,连接DE,DF,则DFA1B,所以DFE(或其补角)即为所求.由题意知,DF=,DE=1,AE=,由DEAB,DEAA1得DE平面ABB1A1,所以DEDF,即EDF为直角三角形,所以tanDFE=,所以DFE=
15、30,即异面直线EF和A1B所成的角为30.(2)VA-EFC=VF-AEC=SAECFA=.【加固训练】(2014湖南高考)如图所示,已知二面角-MN-的大小为60,菱形ABCD在平面内,A,B两点在棱MN上,BAD=60,E是AB的中点,DO平面,垂足为O.(1)证明:AB平面ODE.(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值.【解题提示】(1)利用线面垂直的判定定理证明.(2)根据二面角的平面角的定义及线线角的定义求解.【解析】(1)如图,因为DO平面,AB平面,所以DOAB,连接BD,由题设知,ABD是正三角形,又E是AB的中点,所以DEAB,又DODE=D,故AB平面ODE.(2)因为BCAD,所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角,即ADO是BC与OD所成的角(或其补角).由(1)知,AB平面ODE,所以ABOE,又DEAB,于是DEO是二面角-MN-的平面角,从而DEO=60,不妨设AB=2,则AD=2,易知DE=,在RtDOE中,DO=DEsin60=,连接AO,在RtAOD中,cosADO=,故异面直线BC与OD所成角的余弦值为.关闭Word文档返回原板块