1、湖南省长沙市长郡中学2020届高三数学第五次月考试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先将全集U用列举法列举出来，在求阴影部分表示的集合可得答案.【详解】解：可得阴影部分所表示的集合为，集合，则.故选：B.【点睛】本题考查集合的交、补运算及学生的识图能力，是基础题.2.已知，则“”是“”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】“a1”“”，“
2、”“a1或a0”，由此能求出结果【详解】aR，则“a1”“”，“”“a1或a0”，“a1”是“”的充分非必要条件故选A【点睛】充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假并注意和图示相结合，例如“”为真，则是的充分条件2等价法：利用与非非，与非非，与非非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件3.2019年是中国成立70周年，也是全面建成小康社会的关键之年.为了迎祖国70周年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动.下面的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况，
3、则下列说法正确的是（ ）A. 甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数B. 甲组选手得分的中位数大于乙组选手的中位数C. 甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数D. 甲组选手得分的方差大于乙组选手的的方差【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图分别找出中位数，求出平均数，方差，即可判断.【详解】由茎叶图可得：甲组选手得分的平均数：甲，乙组选手得分的平均数：乙，两个平均数相等，所以A选项错误；甲组选手得分的中位数为83，乙组选手得分的中位数为84，所以B、C错误；甲组选手得分的方差：甲，乙组选手得分的方差：乙，所以甲组选手得分的方差大于乙组选手的的方差.故选：D【点睛】此题考查根据茎叶图的数字特征
4、，求平均数，中位数，方差.4.（2017新课标全国I理科）记为等差数列的前项和若，则的公差为A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】设公差为，联立解得，故选C.点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.5.函数f(x)在（-，+）单调递减，且为奇函数，若f(1)=-1，则满足-1_f(x-2）1的x的取值范围是（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，由函数的奇偶性的性质可得，利用函数得单调性即可得解.【详解】根据题意，f(x)为奇函数，若f(1)=-1，则，f(x)在（-，+）单调递减，且故：故选：D【点睛】本题考查了利用
5、函数的奇偶性、单调性解不等式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.6.在中，为边上的中线，为的中点，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得 ，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.7.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序
6、，若输入的值为20，则输出的值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值.详解：结合流程图运行程序如下：首先初始化数据：，结果为整数，执行，此时不满足；，结果不为整数，执行，此时不满足；，结果为整数，执行，此时满足；跳出循环，输出.本题选择B选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题(3)按照题目的要求完成解答并验证8.如图所示的四个正方体中，正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号为（ ）A. B. C
7、. D. 【答案】D【解析】【分析】逐个判断后可得正确的选项.【详解】由题意结合正方体的性质：如图，平面ABC平面MNP，则平面，正确；如图，平面ABC平面MNP，则平面，正确；如图，平面ABC平面MNP，则平面，正确；如图，平面AB平面MNP=A，则错误；故选：D.【点睛】本题考查线面平行的判断，可以根据面面平行得到线面平行，本题属于中档题.9.函数的图象大致为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用特殊值求出函数的值，利用函数的导数判断函数的单调性，即可得到函数的图象【详解】解析：当时，故排除选项B；，故排除D；，令，得或，则当变化时，的变化情况如下表：00单调递减极小值单调
8、递增单调递增又因为，故在的切线为轴，故排除选项A，所以选C.【点睛】本题考查函数图象的判断，一般通过函数的定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性、特殊点以及变化趋势判断10.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于的结论错误的是（ ）A. 的最小正周期为B. 的图象关于点对称C. 的图象关于直线对称D. 在区间上单调递增【答案】C【解析】【分析】按照函数平移后的规律将的函数解析式写出，一一判断各个选项可得答案.【详解】解：，从而对于A：，的最小正周期为，故A正确；对于B：，的图象关于点对称，故B正确；对于C：，不是取最值，故的图象不关于直线对称，故C错误；对于D：当时，由正弦函
9、数性质可得在区间上单调递增，故D正确.故选：C.【点睛】本题主要考查正弦型函数的图像与性质及函数的平移，根据已知条件得出平移后的函数解析式式解题的关键.11.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）A. 0B. 1C. 0或1D. 0或【答案】C【解析】【分析】设直线与曲线的切点为，与的切点为，可得切点的斜率，注意运用两点的斜率，解方程可得切点和斜率，进而得到切线方程，可得的值.【详解】解：设直线与曲线的切点为，与的切点为.故，且，消去得到，故或，故或故切线为或，或者，故选：C.【点睛】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，相对不难，注意运算的准确性.12.已知，是圆上两点，点在抛
10、物线上，当取得最大值时，（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出圆C的圆心与半径，可得当，是圆的切线时，取得最大值，即，是圆的切点，利用距离公式及函数的导数求解最值，然后转化求解即可.【详解】解：依题意可得，当，是圆切线时，取得最大值，即，是圆的切点，设，.圆，圆心，半径为1，从而，令，则.当时，即函数在上为减函数；当时，即函数在上为增函数.，即.，此时最大.故选：A.【点睛】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合及导数在函数单调性中的应用，考查学生利用数形结合的思想解决问题的能力.二、填空题：本大题共4小题.每小题5分，共20分.13.在复平面内，复数所对应的点位于第_象限.【答
11、案】三【解析】【分析】化简复数为的形式，然后判断复数的对应点所在象限.详解】解：，所对应的点在第三象限，故答案为：三.【点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算及复数的几何意义，相对不难.14.已知双曲线的离心率为则它的一条渐近线被圆所截得的弦长等于_.【答案】4【解析】【分析】根据双曲线的离心率先求出双曲线的渐近线方程，先求出圆心到直线的距离，再由几何法求出弦长即可.【详解】因为双曲线的离心率为，即，所以，所以，故双曲线的渐近线方程为，即，又圆的圆心为，半径为，所以圆心到任一条渐近线的距离为，因此，弦长为.故答案为4【点睛】本题主要考查圆的弦长，熟记双曲线的简单性质，以及几何法求弦长的公式即可
12、，属于常考题型.15.已知等腰ABC的面积为4，AD是底边BC上的高，沿AD将ABC折成一个直二面角，则三棱锥A一BCD的外接球的表面积的最小值为_【答案】.【解析】【分析】由题意可知DA，DB，DC两两互相垂直，然后把三棱锥补形为长方体求解【详解】设，则由面积可得ab=4；由已知，平面，将三棱锥补形为一个长方体，则三棱锥的外接球就是该长方体的外接球，且该长方体的长宽高分别为、，则球的直径，则球的表面积为，因，故.故答案为.【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，训练了“分割补形法”，考查了基本不等式求最值的方法，是中档题16.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家的学
13、习兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下列数学问题的答案：已知数列1、1、2、1、2、4、8、1、2、4、8、16、，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，以此类推，求满足如下条件的最小整数且该数列的前项和为2的整数幂，那么该软件的激活码是_【答案】【解析】【分析】由题意先将此数列分组，再求得前组的项之和为及项数，由题意可知为2的整数幂，只需将消去即可，再分别讨论即可得解.【详解】解：由题意可知，将1、1、2、1、2、4、8、1、2、4、8、16、，可分为，根据等比数列前项和公式，求得每组和分别为， ，每组含有的项数为：，总共的项数为，所有组的项之和为
14、，由题意可知：为2的整数幂，只需将消去即可，则，解得，总共有项，不满足， ，解得，总共有项，不满足，解得，总共有项，不满足，解得，总共有项，满足，即该软件的激活码是，故答案.【点睛】本题考查了等比数列前项和公式及分组求和法，重点考查了对数据的分析处理能力，属综合性较强的题型.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公
15、式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.试题解析：（1）由已知可得（2）又，的周长为考点：正余弦定理解三角形.18.在如图所示的五面体中,四边形为菱形,且为中点. (1)求证:平面;(2)若平面平面,求到平面的距离.【答案】(1)见解析(2) 【解析】【详解】(1)取中点,连接,因为分别为的中点,所以,且,因为四边形为菱形,所以平面平面,所以平面.因为平面平面平面,所以.又,所以.所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，且平面,所以平面.(2)由(1)得平面,所以到平面的距离等于到平面的距离.取的中点,连接,因为四边形为菱形,且,所以,因为平面平面,平
16、面平面,所以平面,因为,所以,所以,设到平面的距离为,又因为,所以由得,解得.即到平面的距离为19.某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为M，当M85时，产品为一级品；当75M85时，产品为二级品；当70M75时，产品为三级品.现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表B配方的频数分布表（1）从A配方生产的产品中按等级分层抽样抽取5件产品，再从这5件产品中任取3件，求恰好取到1件二级品的频率；（2）若这种新产品的利润率y与质量指标M满足如下条件：其中t，请分
17、别计算两种配方生产的产品的平均利润率，如果从长期来看，你认为投资哪种配方的产品平均利润率较大？【答案】（1）；（2）投资B配方的产品平均利润率较大【解析】【分析】（1）本题为古典概率，计算从这5件产品中任取3件总的方法数，恰好取到1件二级品的方法数，即得解；（2）分别计算，作差法比较即可.【详解】（1）由题意知，按分层抽样抽取的5件产品中有2件为二级品，记为a,b，有3件为一级品，记为x,y,z从这5件产品中任取3件共有10种取法： 其中恰好取到1件二级品共有6种取法，所以恰好取到一件二级品的概率为：（2）由题意，A配方生产的产品平均利润率B配方生产的产品平均利润率所以因为，所以所以投资B配方
18、的产品平均利润率较大.【点睛】本题考查了统计和概率综合，考查了学生数据处理，综合分析，数学运算的能力，属于中档题.20.已知函数，（）记，试判断函数的极值点的情况；（）若有且仅有两个整数解，求实数的取值范围【答案】（）见解析；（）【解析】【分析】（）求导后可知的符号由的符号决定；根据的单调性，结合存在性定理可知存在唯一的，使得，从而得到得单调性，根据极值与单调性的关系可确定极值点；（）将所求不等式化为；当和时，根据（）的结论可验证出都有无穷多个整数解，不合题意；当时，若，由时，可知无整数解，不合题意；若，可知，解不等式组求得结果.【详解】（）由得：设，则在上单调递增又，存在唯一的，使得，即当时
19、，；当时，在上单调递减；在上单调递增为的极小值点，无极大值点（）由得：，即当时，恒成立，有无穷多个整数解，不合题意当时， 当时，由（）知：有无穷多个整数解，即有无穷多个整数解，不合题意当时，i.当时，又两个整数解为：，解得：ii.当时，当时，由（）知： 无整数解，不合题意综上所述：【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解极值点个数、根据整数解个数求解参数范围的问题；与整数解有关的范围问题的求解关键是能够确定自变量为整数时函数的值域，进而根据整数解个数确定临界整数所对应的函数值的范围，从而得到不等关系.21.已知直线过椭圆的右焦点，抛物线的焦点为椭圆的上顶点，且交椭圆于两点，点
20、在直线上的射影依次为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线交轴于点，且，当变化时，证明：为定值；（3）当变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.【答案】（1）；（2）见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）由题设条件求出椭圆的右焦点与上顶点坐标，即可得出、的值，再求出的值即可求得椭圆的方程；（2）设，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得出与，再根据及，从而可表示出，化简即可得证；（3）当时，易得与相交于点，可猜想：变化时，与相交于点，再证明猜想成立即可.试题解析：（1）过椭圆的右焦点，右焦点，即，又的焦点为椭圆的上顶点，即，椭圆的方程；（2）由得，设，则，
21、综上所述，当变化时，的值为定值；（3）当时，直线轴，则为矩形，易知与是相交于点，猜想与相交于点，证明如下：，即三点共线.同理可得三点共线，则猜想成立，即当变化时，与相交于定点.点睛：（1）解题时注意圆锥曲线定义的两种应用，一是利用定义求曲线方程，二是根据曲线的定义求曲线上的点满足的条件，并进一步解题；（2）求定值问题常见的方法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值22.在直角坐标系.xOy中，曲线C1的参数方程为（ 为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=4sin.（1）求曲线C1的普
22、通方程和C2的直角坐标方程；（2）已知曲线C3的极坐标方程为，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|=4，求的值.【答案】（1），,；（2）【解析】【分析】（1）由曲线C1的参数方程消去参数求出曲线的普通方程；曲线C2的极坐标方程左右同乘，即可求出直角坐标方程；（2）曲线C1化为极坐标方程，设，从而计算即得解.【详解】（1）曲线C1的参数方程为,消去参数得到普通方程：曲线C2的极坐标方程为=4sin，两边同乘得到故C2的直角坐标方程为：.（2）曲线C1化为极坐标方程,设因为曲线C3的极坐标方程为：点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2
23、的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|=4【点睛】本题考查了极坐标，参数方程综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.23.选修4-5：不等式选讲已知实数正数x, y满足（1）解关于x的不等式； （2）证明：【答案】(1).(2)见解析.【解析】【分析】（1）利用零点分段法即可求解.（2）利用“1”的转换，以及基本不等式即可证明.【详解】（1）解得，所以不等式的解集为 （2）解法1： 且， . 当且仅当时，等号成立. 解法2： 且， 当且仅当时，等号成立.【点睛】主要考查了绝对值不等式的求解、不等式证明、以及基本不等式的应用，属于中档题.对于绝对值不等式的求解，主要运用零点分段法，也可以运用图像法.而不等式的证明，关键是灵活运用不等式的性质以及基本不等式.