1、2.1.2指数函数及其性质第1课时指数函数的图象及性质学 习 目 标核 心 素 养1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法(重点、难点)2能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质(重点)1通过学习指数函数的图象，培养直观想象的数学素养2借助指数函数的定义域、值域的求法，提升逻辑推理素养.1指数函数的概念一般地，函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.2指数函数的图象和性质,a的范围a10a1图象性质定义域R值域(0，)过定点(0,1)，即当x0时，y1单调性在R上是增函数在R上是减函数奇偶性非奇非偶函数对称性函数
2、yax与yax的图象关于y轴对称思考：(1)指数函数yax(a0且a1)的图象“升”“降”主要取决于什么？(2)指数函数值随自变量有怎样的变化规律？提示：(1)指数函数yax(a0且a1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a1时，图象具有上升趋势；当0a0且a1)，则由f(3)8得a38，a2，f(x)2x，故选B.4函数yax(a0且a1)在R上是增函数，则a的取值范围是_(1，)结合指数函数的性质可知，若yax(a0且a1)在R上是增函数，则a1.指数函数的概念【例1】(1)下列函数中，是指数函数的个数是()y(8)x；y2x21；yax；y23x.A1B2C3D0(2)(教材改编题)
3、已知函数f(x)为指数函数，且f，则f(2)_.(1)D(2)(1)中底数80且a1时，才是指数函数；中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.(2)设f(x)ax(a0且a1)，由f得a，所以a3，又f(2)a2，所以f(2)32.1判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点：(1)底数是大于0且不等于1的常数；(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；(3)ax的系数必须为1.2求指数函数的解析式常用待定系数法1.已知函数f(x)(2a1)x是指数函数，则实数a的取值范围是_(1，)由题意可知解得a，且a1，所以实数a的取值范围是(1，)指数函数的图象的应用【例2】(1)函
4、数f(x)axb的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b1，b0C0a0D0a1，b0，且a1)的图象过定点_(1)D(2)(3,4)(1)由于f(x)的图象单调递减，所以0a1，又0f(0)1，所以0ab0，b0，且a1)的图象过定点(3,4)指数函数图象问题的处理技巧(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点.(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).(3)利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势.2如图，曲线C1，C2，C3，C4是指数函数yax的图象，而a，则图象C1，C2，C3，C4对应的函数的
5、底数依次是_，_，_，_.根据指数函数底数变化引起图象变化的规律知，C2的底数C1的底数1C4的底数C3的底数，又1，故图象C1，C2，C3，C4对应的函数的底数依次是，.3已知f(x)2x的图象，指出下列函数的图象是由yf(x)的图象通过怎样的变化得到：(1)y2x1；(2)y2x1；(3)y2x1；(4)y2x；(5)y2|x|.解(1)y2x1的图象是由y2x的图象向左平移1个单位得到(2)y2x1的图象是由y2x的图象向右平移1个单位得到(3)y2x1的图象是由y2x的图象向上平移1个单位得到(4)y2x与y2x的图象关于y轴对称，作y2x的图象关于y轴的对称图形便可得到y2x的图象(
6、5)y2|x|为偶函数，故其图象关于y轴对称，故先作出当x0时，y2x的图象，再作关于y轴的对称图形，即可得到y2|x|的图象指数函数的定义域、值域问题探究问题1函数y2x21的定义域与f(x)x21的定义域什么关系？提示：定义域相同2如何求y2x21的值域？提示：可先令tx21，则易求得t的取值范围为1，)，又y2t在1，)上是单调递增函数，故2t2，所以y2x21的值域为2，)【例3】求下列函数的定义域和值域：(1)y；(2)y；(3)y4x2x12.思路点拨：解(1)要使函数式有意义，则13x0，即3x130，因为函数y3x在R上是增函数，所以x0，故函数y的定义域为(，0因为x0，所以
7、03x1，所以013x0，函数y的值域为(0,16(3)因为对于任意的xR，函数y4x2x12都有意义，所以函数y4x2x12的定义域为R.因为2x0，所以4x2x12(2x)222x2(2x1)21112，即函数y4x2x12的值域为(2，)1若本例(1)的函数换为“y”，求其定义域解由10得，x0，即函数的定义域为(，02若本例(3)的函数增加条件“0x2”，再求函数的值域解0x2，12x4，y4x2x12(2x)222x2(2x1)21.令2xt，则t1,4，且f(t)(t1)21，易知f(t)在1,4上单调递增，f(1)f(t)f(4)，即5f(t)26，即函数y4x2x12的值域为5
8、,261函数yaf(x)的定义域与yf(x)的定义域相同2函数yaf(x)的值域的求解方法如下：(1)换元，令tf(x)；(2)求tf(x)的定义域xD；(3)求tf(x)的值域tM；(4)利用yat的单调性求yat，tM的值域3形如yf(ax)的值域，要先求出uax的值域，再结合yf(u)确定出yf(ax)的值域1核心要点：(1)判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合yax(a0且a1)这一结构形式(2)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底
9、数按逆时针方向变大2数学思想：由于指数函数yax(a0且a1)的定义域为R，所以函数yaf(x)(a0且a1)与函数f(x)的定义域相同，求函数yaf(x)的值域，可先求tf(x)的值域，再根据函数yat的单调性确定yaf(x)的值域，体现了整体的思想1.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)yx2是指数函数()(2)函数y2x不是指数函数()(3)指数函数的图象一定在x轴的上方()答案(1)(2)(3)2如图是指数函数yax，ybx，ycx，ydx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是()Aab1cdBba1dcC1abcdDab1dcB作直线x1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点，则A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，由图可知ba1dc，故选B.3函数y的定义域是_0，)由10得1，x0，函数y的定义域为0，)4设f(x)3x，g(x).(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；(2)计算f(1)与g(1)，f()与g()，f(m)与g(m)的值，从中你能得到什么结论？解(1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示：(2)f(1)313，g(1)3，f()3，g()3，f(m)3m，g(m)3m.从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称