1、第2讲 三角恒等变换与解三角形 考查特点 关键能力 学科素养 三角恒等变换在高考中主要考查三角恒等变换公式的正用、逆用及变形应用,而解三角形主要考查正弦定理、余弦定理、面积公式的综合问题,有时也涉及三角恒等变换,难度中等.单独考查以选择题、填空题为主,综合考查以解答题为 主,难 度 中 等,解 答 题 可 能 会 设 计“结构不良”试题 逻辑思维能力、运算求解能力 数学运算、逻辑推理、数学建模 1.(2021全国乙卷)cos2 -cos2 等于()A.B.C.D.解析:因为 cos =sin(-)=sin ,所以 cos2 -cos2 =cos2 -sin2 =cos =.D 2.(2021全
2、国甲卷)在ABC 中,已知 B=120,AC=,AB=2,则 BC等于()A.1B.C.D.3解析:法一 由余弦定理 AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,得 BC2+2BC-15=0,解得 BC=3 或 BC=-5(舍去).法二 由正弦定理=,得 sin C=,从而 cos C=(C 是锐角),所以 sin A=sin-(B+C)=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=-=.又=,所以 BC=3.D 3.(2021全国甲卷)2020 年 12 月 8 日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8 848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之
3、一.如图是三角高程测量法的一个示意图,现有 A,B,C三 点,且 A,B,C 在 同 一 水 平 面 上 的投影 A,B,C满足ACB=45,ABC=60.由C 点测得 B 点的仰角为 15,BB与 CC的差为 100;由 B 点测得A 点的仰角为45,则A,C 两点到水平面 ABC的高度差AA-CC约为(1.732)()A.346B.373C.446D.473B 解析:如图所示,根据题意过 C 作 CECB,交 BB于 E,过 B 作 BDAB,交 AA于 D,则 BE=100,CB=CE=.在ACB中,CAB=75,则 BD=AB=.又在 B 点处测得 A 点的仰角为 45,所以 AD=B
4、D=,所以高度差 AA-CC=AD+BE=+100=+100=+100=(-)+100=100(+1)+100373.4.记ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,面积为 ,B=60,a2+c2=3ac,则 b=.解析:由题意得 SABC=acsin B=ac=,则 ac=4,所以 a2+c2=3ac=34=12,所以 b2=a2+c2-2accos B=12-24 =8,则 b=2 .答案:2 5.ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 B=150.若 sin A+sin C=,则 C=.解析:在ABC 中,A=180-B-C=30-C,所以 sin A+s
5、in C=sin(30-C)+sin C=sin(30+C).故 sin(30+C)=.而 0C0),则 CD=2k.根据题意作出大致图形,如图.在ABD 中,由余弦定理得 AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB=22+k2-22k(-)=k2+2k+4.在ACD 中,由余弦定理得 AC2=AD2+CD2-2ADCDcosADC=22+(2k)2-222k =4k2-4k+4,则 =-+=(+)-+=4-(+)+=4-(+)(+)+=4-+,因为 k+1+2 (当且仅当 k+1=+,即 k=-1 时,等号成立),所以 4-=4-2 =(-1)2,所以当取得最小值 -1 时,BD=k=-
6、1.答案:-1(1)解:由 A=2B,A+B+C=,可得 A=-.将 A=2B 代入 sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A),可得 sin Csin B=sin Bsin(C-A),因为 B(0,),sin B0,所以 sin C=sin(C-A),又 A,C(0,),所以 C+C-A=,即 A=2C-,与 A=-联立,解得 C=.7.(2022全国乙卷)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A).(1)若A=2B,求C;(2)证明:2a2=b2+c2.(2)证明:法一 由 sin Csin(A-B)=sin Bs
7、in(C-A)可得,sin Csin Acos B-sin Ccos Asin B=sin Bsin Ccos A-sin Bcos Csin A,由正弦定理可得,accos B-bccos A=bccos A-abcos C,即 accos B+abcos C=2bccos A.(*)由余弦定理得,accos B=+-,abcos C=+-,2bccos A=b2+c2-a2,代入(*)式并整理得,2a2=b2+c2.法二 因为A+B+C=,所以sin Csin(A-B)=sin(A+B)sin(A-B)=sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2A(1-sin2B)-(1-sin
8、2A)sin2B=sin2A-sin2B,sin Bsin(C-A)=sin(C+A)sin(C-A)=sin2C-sin2A.又sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A),所以sin2A-sin2B=sin2C-sin2A,由正弦定理可得2a2=b2+c2.1.sin 20+sin 40等于()A.sin 50 B.sin 60 C.sin 70 D.sin 80 热点一 三角恒等变换及求值 解析:sin 20+sin 40=sin(60-40)+sin 40=cos 40-sin 40+sin 40=cos 40+sin 40=sin(40+60)=sin 100=sin 80
9、.D 2.若 sin(+)=-,则 sin 2 的值为()A.B.C.-D.-解析:由 sin(+)=-,可得 sin(+)=,所以 sin 2=-cos(2+)=2sin2(+)-1=-1=-.D 3.若 sin 2=,sin(-)=,且 ,则+等于()A.B.C.D.解析:因为,所以 2 ,2.因为 sin 2=,所以 2 ,即,.所以 cos 2=-=-()=-.A 因为,所以-,因为 sin(-)=,所以 cos(-)=-(-)=-()=-.所以 cos(+)=cos(-+2)=cos(-)cos 2-sin(-)sin 2=(-)(-)-=.因为,所以+,2,所以+=.4.已知 co
10、s(+)-sin =,则 sin(+)=.解析:因为 cos(+)-sin=cos-sin-sin=cos-sin =(cos-sin)=cos(+)=sin(-)=,得 sin(-)=.所以 sin(+)=-sin2-(+)=-sin(-)=-.答案:-(1)三角恒等变换的基本思路:统一名称,统一角度.一个流程:一角、二名、三结构,即一看角的变化(已知角和所求角之间的联系),二看函数名称的变化,三看题目的结构形式,由结构形式选择恰当的公式.(2)解决条件求值问题的三个关注点 分析已知角和未知角之间的关系,正确地用已知角来表示未知角.正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值表
11、示.求解三角函数中给值求角的问题时,要根据已知求这个角的某三角函数值,然后结合角的取值范围,求出角的大小.(1)在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=4,sinA=2sin C,cos A=-,则ABC 的面积 S 等于()A.B.2 C.1D.热点二 解三角形(1)解析:由 sin A=2sin C,结合正弦定理可得 a=2c,因为 a=4,所以 c=2,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可得 16=b2+4-22b(-),解得 b=3 或 b=-4(舍去).又 A(0,),所以 sin A0,sin A=-=,所以ABC 的面积 S=bcsin A=
12、.故选 D.(2)解:由余弦定理得 a+-b+-=c-b,整理得 b2+c2-a2=bc,所以 cos A=+-=,又 0A,所以 A=.(2)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,acos B-bcos A=c-b.求A;若a=2b-c,求sin B.解:由正弦定理得 sin A=2sin B-sin C,因为 A=,所以 C=-B,sin A=,所以 =2sin B-sin(-B)=sin B-cos B,即 sin(B-)=,所以 B-=或 (舍去),所以 B=+,所以 sin B=sin(+)=sin cos +cos sin =+=+.(1)正弦、余弦定理的适用条件“已知两角
13、和一边”或“已知两边和其中一边的对角”,采用正弦定理解决问题.“已知两边及其夹角”或“已知三角形的三边”,采用余弦定理解决问题.(2)关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正弦、余弦定理及有关三角形的性质和三角形的面积公式,常见的三角变换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”,一般地,若已知条件中的等式两边含有角的正弦、余弦或边的一次式,则考虑使用正弦定理将边化为角(或将角化为边),若含有角的余弦式或边的二次式,则考虑使用余弦定理.(1)已知ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,面积为3 ,A=,b+c=4 ,则 a 等于()A.2
14、B.5C.8D.2 (1)解析:由题意知,SABC=bcsin A=3 ,结合 A=知 bc=12.又 b+c=4 ,所以由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-2bc-2bccos =(4 )2-3bc=48-312=12,所以 a=2 .故选 A.(2)解:根据正弦定理 3b=2a(-cos B)可化为 3sin B=2sin A(-cos B).因为 A=120,所以 3sin B=(-cos B),所以 3sin B+cos B=3,所以 2(sin Bcos 30+cos Bsin 30)=,所以 sin(B+30)=.因为 A=120,所以 30B+3090
15、,所以 B+30=60,解得 B=30.(2)已知ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,A=120,且 3b=2a(-cos B).求 B 的大小;若ABC 的边 AC 上的中线 BD 的长为 2.求ABC 的面积.解:由知ABC 为等腰三角形,且 c=b,设 AD=x,则 AB=2x,在ABD 中,由余弦定理得 BD2=AD2+AB2-2ADABcos A=x2+(2x)2-2x2x(-)=7x2=28,得 x=2,所以 AB=AC=4.所以 SABC=bcsin A=44sin 120=4 .在bcos(-C)=ccos B,2SABC=这两个条件中任选一个,补充在下面的问
16、题中,并进行解答.问题:在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且.(1)求角 B;(2)在ABC 中,b=2 ,求ABC 周长的最大值.热点三 三角形中的最值与范围问题 解:(1)选择条件,即 bsin C=ccos B,由正弦定理可知,sin Bsin C=sin Ccos B,在ABC 中,B,C(0,),所以 sin B0,sin C0,所以 sin B=cos B,且 cos B0,即 tan B=,所以 B=.选择条件,即 2 acsin B=cacos B,即 sin B=cos B,在ABC 中,B(0,),所以 sin B0,则 cos B0,所以 tan
17、B=,所以 B=.三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法:一是利用基本不等式求得最大值或最小值;二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式,结合角的范围确定所求式的范围.(1)已知ABC 的三个内角分别为 A,B,C.若sin2C=2sin2A-3sin2B,则 tan B 的最大值为()A.B.C.D.(1)解析:设三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.因为 sin2C=2sin2A-3sin2B,所以由正弦定理,得 c2=2a2-3b2,得 b2=a2-c2.由余弦定理得 cos B=+-=+-+=+=+2 =,当且仅当 a=2c 时,取等号.因为 0
18、B0,所以 0B ,所以 tan2B=-=-1,所以 0tan B .故选 B.(2)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,ABC 的面积为 S,若=(2b-a)(a2+b2-c2).求角 C;求 sin A+sin B 的取值范围.(2)解:由=(2b-a)(a2+b2-c2)可得 =(2b-a)(a2+b2-c2),因为 S=bcsin A,a2+b2-c2=2abcos C,在ABC 中,sin A0,所以 ccos A=(2b-a)cos C,所以 sin Ccos A+sin Acos C=2sin Bcos C,所以 sin(A+C)=2sin Bcos C.因为
19、sin(A+C)=sin B,在ABC 中,sin B0,所以 cos C=,又 0C,所以 C=.解:sin A+sin B=sin A+sin(A+C)=sin A+sin(A+)=sin A+cos A=sin(A+),因为 0A ,所以 A+,所以 sin(A+)(,1,所以 sin A+sin B(,.已知 0 90,且 sin 36(1+sin 2)=2cos218cos 2,则 等于()A.18B.27C.54D.63解析:因为sin 36(1+sin 2)=2sin 18cos 18(1+sin 2),所以2cos218cos 2=2sin 18cos 18(1+sin 2),
20、整理得cos 18cos 2=sin 18sin 2+sin 18,即cos 18cos 2-sin 18sin 2=sin 18,所以cos(2+18)=sin 18,因为090,所以182+18198,所以2+18=90-18,解得=27.故选B.托勒密是天文学家、地理学家、数学家,托勒密定理就是由其名字命名的,该定理指出:圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.如图,已知四边形 ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上,AC,BD 是两条对角线,BD=12,且ACD 为正三角形,则四边形 ABCD的面积为()A.9 B.18 C.24 D.36 解析:法一 设正三角形 ACD
21、 的边长为 a,因为 BD=12,所以由托勒密定理,得 ADBC+CDAB=ACBD,即 a(BC+AB)=12a,即 BC+AB=12.因为四边形 ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上,所以ADC+ABC=180,因为ADC=60,所以ABC=120,在ABC 中,由余弦定理 AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC,得 AB2+BC2+ABBC=a2,即(AB+BC)2-ABBC=a2,所以 ABBC=144-a2,则 S 四边形 ABCD=SACD+SABC=ADDCsin 60+ABBCsin 120=a2+(144-a2)=36 .故选 D.法二(特值法)设正三角形 ACD
22、的边长为 a,假设 BD 过四边形 ABCD 外接圆圆心,则 BD 长度为四边形ABCD 外接圆直径 2R,且 ACBD,所以=12.所以 a=12sin 60=6 .所以 S 四边形 ABCD=BDAC=126 =36 .故选 D.已如函数 f(x)=(-+)-+(+)+(+),当 x 时,f(x)的值域为()A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,0)D.(-,0)解析:f(x)=(-+)+-+=(-|+|)|-|+,因为x ,所以 ,所以 sin x+cos x0,cos 0,所以 f(x)=(+)(-)+-=(+-)(-)-=(+)(-)-=cos2 -sin2 =cos x,所以
23、f(x)(-1,0).故选 C.如图,某人在山脚 A 处(海拔约为 350 m)测得观看日出的最佳观测点 B 处的仰角约为 45,此人沿着坡角为 30的山路 AD 走了 1 050 m 到达休息点 D,此时测得 B 处的仰角约为 75,则 B 处的海拔约为m.解析:由题意可知 AD=1 050 m,BAD45-30=15,DBC90-75=15,所以ABD=ABC-DBC45-15=30,所以ADB=180-ABD-BAD135.在ABD 中,由正弦定理=,得 AB =1 050 (m).在ACB 中,BCABsin 451 050 =1 050(m),又山脚 A 处的海拔约为 350 m,所以 B 处的海拔约为 1 050+350=1 400(m).答案:1 400
