1、辽宁省师范大学附属中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、选择题1.已知为虚数单位，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得的值，从而求得结果.【详解】由，所以，所以，故选：B.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数相等的条件，属于基础题目.2.的展开式中的常数项是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用二项式展开式的通项即可求解.【详解】的展开式中的常数项为：.故选：B【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式，需熟记公式，属于基础题.3.从1
2、，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是偶数的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：从4个数中任取2个数包含的基本事件有:共6个，其中两个都是偶数的基本事件有共1个，所以所求概率为故A正确考点：古典概型概率4.随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加.某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番.同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图：则下列结论中正确的是（ ）A. 该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半B. 该家庭2019年
3、休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的五倍C. 该家庭2019年教育医疗的消费额与2015年教育医疗的消费额相当D. 该家庭2019年生活用品的消费额是2015年生活用品的消费额的两倍【答案】B【解析】【分析】先对折线图信息的理解及处理，再结合数据进行简单的合情推理逐一检验即可得解.【详解】由折线图可知：不妨设2014年全年的收入为，则2019年全年收入为，对于A，该家庭2019年食品的消费额为，2015年食品的消费额为，故A错误；对于B，该家庭2019年休闲旅游的消费额为，2015年休闲旅游的消费额为，故B正确；对于C，该家庭2019年教育医疗的消费额为，2015年教育医疗的消费额为
4、，故C错误；对于D，家庭2019年生活用品的消费额为，2015年生活用品的消费额为，故D错误；故选：B【点睛】本题主要考查对图表信息的处理，考查了阅读理解能力、识图能力等，考查的核心素养是直观想象、数据分析，属于基础题.5.已知的取值如下表，从散点图可以看出与线性相关，且回归方程为，则（ ）01342.24.34.86.7A. 3.25B. 2.6C. 2.2D. 0【答案】B【解析】【分析】利用表中数据求出，代入回归直线方程即可求解.【详解】，回归直线过，可得，解得.故选：B【点睛】本题考查了线性回归方程过样本中心点，考查了考生的计算能力，属于基础题.6.盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，
5、4个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：在第一次取出新球的条件下，盒子中还有9个球，这9个球中有5个新球和4个旧球，故第二次也取到新球的概率为考点：古典概型概率7.某年高考中，某省10万考生在满分为150分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布，则分数位于区间分的考生人数近似为（ ）（已知若，则， ， ）A. 1140B. 1075C. 2280D. 2150【答案】C【解析】【分析】先计算区间（110，130）概率，再用0.5减得区间（130，150）概率，乘以总人数得结果.【详解】由题意
6、得，因此，所以，即分数位于区间分的考生人数近似为，选C.【点睛】正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x对称，及曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的，进行对比联系，确定它们属于(，)，(2，2)，(3，3)中的哪一个.8.若的展开式中所有项的系数的绝对值之和为1024，则该展开式中的常数项是（ ）A. -270B. 270C. -90D. 90【答案】C【解析】在的展开式中,令,可得展开式的各项系数绝对值之和为,.故展开式的通项公式为令,求得,故展开式中常数项为.因
7、此，本题正确答案是: .点睛:求二项展开式有关问题常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.(3)各项系数和，各项系数绝对值的和，常用赋值法处理.9.某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为A. 14B. 24C. 28D. 48【答案】A【解析】【详解】法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为故选A.法二：从4男2女中选4人共有种选
8、法，4名都是男生选法有种，故至少有1名女生的选派方案种数为-=15-1=14故选A10.已知函数，则的极大值点为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先对函数求导，求出，再由导数的方法研究函数的单调性，即可得出结果.【详解】因为，所以，所以，因此，所以，由得：；由得：；所以函数在上单调递增，在上单调递减，因此的极大值点.故选D【点睛】本题主要考查导数在函数中应用，根据导数判断出函数的单调性，进而可确定其极值，属于常考题型.11.定义在R上的函数满足：，则不等式 的解集为（ ）A. (0,+)B. (,0)(3,+ )C. (,0)(0,+)D. (3,+ )【答案】A【解析】
9、【分析】由变形得，构造函数，利用导数得其单调性，即可得到不等式的解集【详解】由变形得，设，所以原不等式等价于，因为，所以在定义域 上递增，由，得，故选A【点睛】本题主要考查构造函数，利用导数判断其单调性，用单调性定义解不等式，意在考查学生的数学建模能力12.若曲线与曲线存在公共切线，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由导数的几何意义求得公切线方程为，再联立与消得，然后由得，设，再结合曲线与曲线存在公共切线等价于直线与函数的图像有交点，再利用导数求出函数的单调区间及极值即可得解.【详解】解：设曲线的切线与曲线切于点，由，则切线方程为，又直线与曲线相切，联
10、立与消得，即，又易得，即，设，曲线与曲线存在公共切线等价于直线与函数的图像有交点，又，令，得或 ，令，得，即函数的减区间为，增区间为，即的极小值为，当时，当时，要使直线与函数的图像有交点，则，即，故选：C.【点睛】本题考查了曲线在某点处的切线方程的求法，重点考查了方程有解问题，属中档题.二、填空题13.若复数为纯虚数，i是虚数单位，则实数a的值是_【答案】1.【解析】试题分析：因为，所以考点：纯虚数概念14.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）.【答案】【解析】任意选择3天共有种方法，其中3天是连
11、续3天的选法有8种，故所求概率为【考点】古典概型15.已知，则_.【答案】【解析】【分析】令，求出，然后令，即可求解.【详解】令，则，解得，令，则，所以.故答案为：【点睛】本题考查了赋值法求二项式展开式的项的系数和，考查了基本运算求解能力，属于基础题.16.记函数若对任意实数，总存在实数，使得成立，则实数的取值集合_.【答案】【解析】【分析】由题意得的值域为R，求出在单调递增，其值域为，然后求导，求出函数的值域，通过求解和的值域，并分析是否满足题意，可推出实数s的取值集合.【详解】因为对任意的实数，总存在实数，使得成立，所以的值域为R.函数在单调递增，其值域为，函数，当时，所以在单调递增；当时
12、，所以在单调递减，当时，函数在单调递增，单调递减，其值域为，又，不符合题意；当时，函数在单调递增，其值域为，由题意得，即；令，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，所以当时，有最小值，从而恒成立，所以，所以故答案为：.【点睛】本题考查导数的综合应用，难点在于根据题意分析出的值域为R，并由此求出和的值域，进行分析，考查分类讨论的思想，属难题.三、解答题17.若复数，当实数为何值时（1）是实数；（2）是纯虚数；（3）对应的点在第二象限.【答案】(1)m=2或m=-1 (2)m=-3 (3)m范围【解析】【分析】（1）根据复数的分类条件可求出的值;（2）根据纯虚数的条件可得出结果;（3）利用复数的
13、几何意义,转化为的不等式,即可求的取值范围.【详解】（1）当是实数时,解得或,所求的值为或;（2）当是纯虚数时,解得,所求的值为;（3）当对应的点在第二象限时,解得,实数的取值范围是.【点睛】本题考查复数的分类,以及复数的几何意义,考查等价转化,数形结合思想,属于基本题.18.在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率.【答案】(1) (2) (3) 【解析】【分析】（1）甲、乙两人同时参加A岗位
14、服务，则另外三个人在B、C、D三个位置进行全排列，所有的事件数是从5个人中选2个作为一组，同其他3人共4个元素在四个位置进行排列；（2）总事件数同第一问一样，甲、乙两人不在同一个岗位服务的对立事件是甲、乙两人同时参加同一岗位服务，即甲、乙两人作为一个元素同其他三个元素进行全排列；（3）先求出有两人同时参加A岗位服务的概率,然后用1去减即可.【详解】(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件EA，那么，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是；(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E，那么，所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P()1P(E)；(3)因为有两人同时参加A岗位服务的概
15、率，所以仅有一人参加A岗位服务的概率P11P2.【点睛】本题考查古典概型的计算，可以考虑正难则反，是基础题.19.已知函数在处取得极值.（1）求，并求函数在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间.【答案】（1），；（2）的单调递减区间为，单调递增区间为.【解析】【分析】（1）根据求得，可得，再根据导数的几何意义求得切线方程；（2）由，得递增区间，由，得递减区间.【详解】（1）由题得， 又函数在处取得极值，所以解得，此时，当时，当时，所以在处取得极大值，符合题意，所以，因为，所以，所以曲线在点处的切线方程为：，即.（2）由（1）得，令，得，解得，所以的单调递增区间为，令，得，解得或，所以的单调递
16、减区间为.综上所述，的单调递减区间为，单调递增区间为.【点睛】本题考查了由函数的极值点求参数，考查了导数的几何意义，考查了利用导数求函数的单调区间，属于基础题.20.某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000人的大集团和8个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为求n的值；若取出的2个集团是同一类集团，求全为大集团的概率；若一次抽取4个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列和期望【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）由题意根据全是小集团的概率列方程求出的
17、值；（2）根据古典概型的概率公式计算全为大集团的概率值；（3）由题意知随机变量的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值【详解】（1）由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是小集团的情况有，故全是小集团的概率是，整理得到即，解得（2）若2个全是大集团，共有种情况；若2个全是小集团，共有种情况；故全为大集团的概率为（3）由题意知，随机变量的可能取值为，计算，；故的分布列为： 01234 数学期望为【点睛】本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，是中档题注意在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二
18、项分布、超几何分布等）21.2018以来，依托用户碎片化时间的娱乐需求、分享需求以及视频态的信息负载力，短视频快速崛起；与此同时，移动阅读方兴未艾，从侧面反应了人们对精神富足的一种追求，在习惯了大众娱乐所带来的短暂愉悦后，部分用户依旧对有着传统文学底蕴的严肃阅读青睐有加.某读书APP抽样调查了非一线城市和一线城市各100名用户的日使用时长（单位：分钟），绘制成频率分布直方图如下，其中日使用时长不低于60分钟的用户记为“活跃用户”.（1）请填写以下列联表，并判断是否有99%的把握认为用户活跃与否与所在城市有关？活跃用户不活跃用户合计城市城市合计临界值表：0.0500.0103.8416.635参
19、考公式：.（2）以频率估计概率，从城市中任选2名用户，从城市中任选1名用户，设这3名用户中活跃用户的人数为，求的分布列和数学期望.【答案】（1）填表见解析；有99%的把握认为用户是否活跃与所在城市有关；（2）分布列见解析；期望为2.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图分别求出城市、中的活跃用户与不活跃用户，即可得出列联表.（2）由统计数据可知，城市中活跃用户占，城市N中活跃用户占，设从城市中任选的2名用户中活跃用户数为，设从城市中任选的1名用户中活跃用户数为，服从两点分布，利用二项分布求出概率即可得出分布列，再利用期望公式即可求解.【详解】由已知可得以下列联表：活跃用户不活跃用户合计城市6
20、040100城市8020100合计14060200计算，所以有99%的把握认为用户是否活跃与所在城市有关.（2）由统计数据可知，城市中活跃用户占，城市N中活跃用户占，设从城市中任选的2名用户中活跃用户数为，则设从城市中任选的1名用户中活跃用户数为，则服从两点分布，其中.故，；.故所求的分布列为0123.【点睛】本题考查了列联表、离散型随机变量的分布列以及数学期望，考查了考生的数据处理能力、分析问题的能力，属于中档题.22.已知函数，.（1）若，求证：当时，（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求得函数的导函数，利用分析法，结合取对数运算，证得不等式成立.（2）构造函数，利用导数求得的最小值，利用最小值为非负数列不等式，由此求得的取值范围.详解】（1）证明：当时，则欲证，即，故只需证明，两边取对数，即证，该不等式显然成立，从而当时，.（2）解：恒成立，即恒成立设，则，只需讨论函数，因为，所以单调递增，欲取一点，使得，因此，取因此在之间存在唯一零点，得，则，故在上单调递减，在上单调递增，所以，设，则只需，即，此时，由此可得实数a的取值范围是.【点睛】本小题主要考查利用导数证明不等式，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分析法证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于中档题.
