1、浙江省衢州二中2020届高三数学下学期6月模拟考试试题（含解析）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：，故选C考点：集合的运算2. 双曲线的实轴长为（ ）A. 2B. 1C. D. 【答案】D【解析】分析】由双曲线的标准方程可求出，即可求双曲线的实轴长.【详解】由可得：，即，实轴长，故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单几何性质，属于容易题.3. 若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（ ）A. B. 5C. -1D. -2【答案】C【解析】【分析】作出可行域及的图象，数形结合即可求解.【详解】作可行域如图，由可得，作图象，由图象可知
2、，当向上平移过点A时，最大，即最小，令，由可得，所以，故选：C【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题.4. 若a，b为正实数，则是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】（1）由，可得，根据不等式的性质可得，即充分性成立；通过举反例说明必要性不成立，即可得解；【详解】解：因为，a，b为正实数，所以，所以，即，所以，所以是的充分条件， 当时，所以，所以，即，当，时满足，但故必要性不成立，故是的充分不必要条件，故选：A【点睛】考查时，的大小关系，以及充分条件，必要条件，充要条件的概念
3、，属于中档题5. 将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数恰为偶函数，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题首先可根据诱导公式以及二倍角公式将函数转化为，然后根据三角函数平移的相关性质得出平移后的函数为，最后根据函数为偶函数即可得出结果.详解】令，则，设向右平移个单位长度后得到的函数为，则，因为函数为偶函数，所以，解得，因为，所以的最小值为，故选：D.【点睛】本题考查诱导公式、二倍角公式、三角函数图像的平移以及三角函数的奇偶性，考查的公式有、，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.6. 已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个边长为2的
4、正方形，则该几何体的表面积为（ ）A. B. 20C. D. 【答案】C【解析】【分析】先还原几何体，再结合各侧面形状求面积，最后求和得结果.【详解】还原几何体得，如图， 几何体的表面积为故选：C【点睛】本题考查三视图、几何体表面积，考查空间想象能力以及基本分析求解能力，属基础题.7. 已知某7个数的期望为6，方差为4，现又加入一个新数据6，此时这8个数的期望为记为，方差记为，则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据数学期望以及方差的公式求解即可.【详解】设原来7个数分别为由，则由则所以故选：B【点睛】本题主要考查了数学期望和方差性质的应用，属于中档题.8. 将含
5、有甲、乙、丙、丁等共8人的浙江援鄂医疗队平均分成两组安排到武汉的A、B两所医院，其中要求甲、乙、丙3人中至少有1人在A医院，且甲、丁不在同一所医院，则满足要求的不同安排方法共有（ ）A. 36种B. 32种C. 24种D. 20种【答案】A【解析】【分析】从甲、乙、丙3人在A医院的人数进行分类，逐类求解，注意关注丁的限制条件.【详解】从甲、乙、丙3人在A医院的人数进行分类：若三人中只有一人在A医院，则甲在A医院时有种方案，乙、丙两人之一在A医院时有种方案；若三人中只有两人在A医院，则含有甲时有种方案，乙、丙两人同时在A医院时有种方案；若三人均在A医院，则有种方案；所以共有36种安排方案.故选：
6、A.【点睛】本题主要考查组合在实际问题中的应用，合理分类是求解问题的关键，优先关注特殊元素的限制条件，侧重考查数学运算的核心素养.9. 正三棱锥中，M为棱PA上的动点，令为BM与AC所成的角，为BM与底面ABC所成的角，为二面角所成的角，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】依题意建立空间直角坐标系，不妨令为的中点，利用空间向量法求异面直线的角与线面角；【详解】解：设正三棱锥的底面边长为6，高为，如图所示建立空间直角坐标系，不妨令为的中点，则，所以，过作交于点，所以，即为BM与底面ABC所成的角，所以，所以，所以显然面的法向量可为，设面的法向量为，所以令，则，即，所以，当时
7、，；当时，；当时，故CD不成立；故选：B【点睛】本题考查利用空间向量法求空间角，属于中档题.10. 若函数有零点，则b的取值范围是（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将函数的零点问题转化为函数与的图象的交点问题，得出，构造函数，利用导数得出的取值范围.【详解】函数有零点，则方程有解，则方程有解即函数与的图象在上有交点；在上单调递减，在上单调递增在上单调递增函数与的图象在上有交点，即当时，；当时，则令，在上单调递减，且则时，即故选：D【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，属于难档题.11. 洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此
8、图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15如图，则甲壳上所有阴阳数之和_；若从五个阳数中随机抽取三个数，则能使得这三个数之和等于15概率是_【答案】 (1). 45 (2). 【解析】【分析】由洛书上所有数相加即得和，用列举法列出从五个阳数中随机抽取三个数所有基本事件，求和后知和为15的基本事件的个数，从而可得概率【详解】甲壳上所有阴阳数之和为（或），五个阳数是1,3，5,7，9，任取3个数所得基本事件有：135,137,139,157,159,179,357,359,379,579共10个，其中和为15的有
9、159,357共2个，所求概率为故答案为：45；【点睛】本题考查数学文化，考查古典概型，用列举法是解决古典概型的常用方法通过中国古代数学文化激发学生的学习兴趣，激发学生求知欲和创新意识，拓展学生的思维，培养学生的爱国情怀12. 设复数z满足（i为虚数单位），则复数z的实部为_；_【答案】 (1). 1 (2). 2【解析】【分析】由复数的除法运算求得，可得其实部，得其共轭复数，然后由乘法运算计算【详解】由题意，实部为1，故答案为：1；2【点睛】本题考查复数的运算，考查复数的概念、共轭复数的概念，属于基础题13. 已知，则_；_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据的展开式的通项，得
10、出，再令，得出第二空答案.【详解】的展开式的通项为令，解得，此时的展开式中的系数为则令，则即故答案为：；【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，属于中档题.14. 设，是椭圆的左、右焦点，过的直线l与C交于A，B两点，若，则椭圆的离心率为_【答案】【解析】【分析】设，由椭圆的定义和直角三角形求出（用表示），然后再由勾股定理建立的等式，求得离心率【详解】，可设，由得，又，化简得，显然，在中，即，故答案为：【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于的等式，本题中焦点三角形是直角三角形，因此利用椭圆定义结合勾股定理列式求解15. 已知函数的值域为，则实数t的取值范围是_【答案】【解析】【分析
11、】先分类求值域A,再根据为A的子集求实数t的取值范围.【详解】令，当时，因为在上单调递增，因此值域为为的子集，所以；当时， 为的子集，所以；当时，当且仅当时取等号，因为为的子集，所以；综上，故答案为：【点睛】本题考查函数值域、利用基本不等式求值域，考查分类讨论思想方法以及基本求解能力，属中档题.16. 若且满足，令，则M的最大值为_【答案】【解析】【分析】由得，代入第二个等式整理后，作为关于的方程有实数解，由得的取值范围，此方程作为的二次方程有实数解，同样由得的范围，如果消去代入得二次方程，由得取值范围，可确定值最后比较大小确定最大值.【详解】因为，所以，代入整理得，作为的二次方程它有实数解，
12、所以，解得，此方程整理为，关于的方程有实数解，则，解得，若由代入整理得，同理由得，由得的最大值是，此时或故答案为：【点睛】本题考查新定义，理解新定义数是解题关键，解题时通过消元法得一个一元二次方程，利用一元二次方程有实数解，判别式分别求出的取值范围，然后求得最大值，只要取这个最大值时，有对应的取值即可17. 已知平面向量，满足，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】不妨设，则可得对应点在上，根据得对应点在上，根据点与圆位置关系确定的最大值取法，最后根据柯西不等式求最值.【详解】设，则因为，所以对应点在上，设因此，当且仅当时取等号因此的最大值为故答案为：【点睛】本题考查向量模的坐标表示、柯西不等
13、式求最值、向量数量积坐标表示，考查综合分析求解能力，属较难题.18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（）求角B的大小；（）设BC若中点为D，且，求的取值范围【答案】（）（）【解析】【分析】（）由正弦定理的角化边公式化简得到，结合余弦定理解出角的大小；（）设，在中，由正弦定理得出，利用两角差的正弦公式以及辅助角公式化简得出，结合，利用正弦函数的性质得出的取值范围【详解】（）由正弦定理的角化边公式得，即（）设，则中，由可知由正弦定理及可得所以，所以由可知， 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的应用，涉及了正弦型函数求值域，属于中档题.19. 如图，矩形ABCD中，E为CD中点，
14、以BE为折痕把四边形ABED折起，使A达到P的位置，且，M，N，F分别为PB，BC，EC的中点（）求证：；（）求直线ND与平面MEC所成角的正弦值【答案】（）证明见解析；（）【解析】【分析】（）根据计算可得,再根据线面垂直判定得平面,即得结果；（）建立空间直角坐标系，求出各点坐标，利用空间向量求直线ND与平面MEC所成角的正弦值【详解】（）设,即；平面,平面,平面,（）平面,所以以为坐标原点，所在直线为轴，平行直线为轴建立如图所示空间直角坐标系:则因为设平面MEC一个法向量为由得令得因此直线ND与平面MEC所成角的正弦值为【点睛】本题考查线面垂直判断与性质定理、利用空间向量求线面角，考查综合分
15、析论证与求解能力，属中档题.20. 已知等差数列的公差为d，等比数列的公比为q设、的前n项和分别为、，若，（1）求数列、的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，求证：【答案】（1），（2）详见解析【解析】【分析】（1）首先可以令得到，然后令求出，令求出，再根据数列是等比数列即可求出以及，最后根据即可求出；（2）首先可根据（1）得出，然后令证得，最后令，根据等比数列前项和公式即可证得.【详解】（1）令，则，当时，；当时，因为数列是等比数列，所以，解得，故，当时，；当时，因为数列是等差数列，所以，综上所述，（2）因为，所以，当时，；当时，故成立.【点睛】本题考查数列通项公式的求法以及数列不等式恒成
16、立问题，考查数列的项与数列的前项和之间的关系，若数列的前项和为，则，考查等比数列前项和公式，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.21. 已知抛物线，焦点为F，过外一点Q（不在x轴上），作的两条切线，切点分别为A，B，直线QA，QB分别交y轴于C，D两点，记的外心为M，的外心为T（1）若，求线段CF的长度；（2）当点Q在曲线上运动时，求的最大值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由确定切点的坐标，设方程为，由和点在切线上求出切线方程，则点坐标可求，从而线段CF的长度可求.（2）设、方程，联立抛物线方程，表示出的坐标，求出线段的中垂线方程，求出，求出线段的中垂线方程，由两中垂线方程
17、求出的坐标，采用同样的方法确定的外心为，表示出，用换元法可求最大值.【详解】解：，由题意知，直线，的斜率均不为零，其斜率都存在且异号，设方程为，不妨设，设，(1) ，则，所以，所以线段CF的长度为.(2) ，设， 设方程为，同理， 的中点，中垂线方程为，即，线段的中点， 线段的中垂线方程为，所以，线段的中垂线方程为，的中点，中垂线方程为，在上，所以，令，令，开口向下，所以的最大值为.【点睛】以直线、三角形的外心、抛物线和椭圆为载体，求向量数量积的最大值，综合考查学生的运算求解能力、逻辑思维能力以及换元的思想方法，运算量大，变量多，属于难题.22. 已知函数，.（1）当时，讨论函数的零点个数（2
18、）的最小值为，求的最小值【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）求函数的导数，利用导数判断函数的单调性和极值，从而得到零点的个数；（2），求导得，可以判断存在零点，可以求出函数的最小值为，可以证明出：，可证明在上有零点，的最小值为，结合，可求的最小值为.【详解】（1）的定义域为，. 当时，单调递增，又，所以函数有唯一零点；当时，恒成立，所以函数无零点；当时，令，得.当时，单调递减；当时，单调递增.所以.当时，所以函数无零点.综上所述，当时函数无零点.当，函数有一个零点.（2）由题意得，则，令，则，所以在上为增函数，即在上为增函数.又，所以在上存在唯一零点，且，即.当时，在上为减函数，当时，在上为增函数，的最小值.因为，所以，所以.由得，易知在上为增函数.因为，所以，所以在上存在唯一零点，且，当时，在上为减函数，当时，在上为增函数，所以的最小值为，因为，所以，所以，又，所以，又函数在上为增函数，所以，因为，所以，即在上的最小值为0.【点睛】本题考查利用函数的导函数研究函数单调性和零点问题，也考查了不等式恒成立问题.
