1、第10讲圆锥曲线中的综合问题高考统计定方向热点题型真题统计命题规律题型1：解析几何中的有关证明问题2018全国卷T20；2018全国卷T201.重点考查圆锥曲线中的定点、定值问题及最值范围问题.2.一般在20题的位置，难度较大.3.解析几何中有关证明类题目将成为考查的热点趋势.题型2：“构造法”求圆锥曲线中的最值(范围)问题2016全国卷T21；2015全国卷T20题型3：“转化法”求圆锥曲线中的定点、定值问题2017全国卷T20；2017全国卷T202015全国卷T20题型4：“肯定顺推法”求圆锥曲线中的探索性问题2016全国卷T20题型1解析几何中的有关证明问题圆锥曲线经常和数列、三角函数
2、、平面向量、不等式等知识交汇命制出论证类题目，综合考查学生的应用能力，转化能力及思维的灵活性本类题型将成为今后热点题型，对培养学生勤于思考严谨的科学态度，推进新课程标准的实施将起到导向作用高考考法示例【例1】(2018全国卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m0)(1)证明：k；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且0.证明：2|.思路点拨(1)(2)0证明(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1.两式相减，并由k得k0.由题设知1，m，于是k.由题设得0m，故k.(2)由题意得F(1,0)设P(x3，y3)，则(x31，y3)(x1
3、1，y1)(x21，y2)(0,0)由(1)及题设得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2mb0)，由题意得解得c，所以b2a2c21，所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：设M(m，n)，则D(m,0)，N(m，n)，由题设知m2，且n0.直线AM的斜率kAM，故直线DE的斜率kDE，所以直线DE的方程为y(xm)，直线BN的方程为y(x2)联立解得点E的纵坐标yE.由点M在椭圆C上，得4m24n2，所以yEn.又SBDE|BD|yE|BD|n|，SBDN|BD|n|，所以BDE与BDN的面积之比为45.方法归纳1动线过定点问题的两大类型及解法(1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(
4、斜率存在)为ykxt，由题设条件将t用k表示为tmk，得yk(xm)，故动直线过定点(m,0)(2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点2求解定值问题的两大途径(1)首先由特例得出一个值(此值一般就是定值)然后证明定值：即将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值对点即时训练(2018乌鲁木齐模拟)已知点P(x0，y0)(y00)是椭圆C：1上的点，点Q的坐标为，直线l上的任意一点M满足0(O为坐标原点)(1)求直线
5、l的方程；(2)设C的右焦点为F，过点(4,0)作l的垂线交直线PF于点S，证明S在定圆上解(1)设M(x，y)，由0，得(x0x，y0y)0.(x0x)(y0y)0.1，直线l的方程为1.(2)证明：由(1)知k1，则过点(4,0)且与l垂直的直线方程为y(x4)直线PF的方程为y(x1)，联立，解出，代入椭圆C的方程，得1，化简得(x1)2y236.点S在定圆(x1)2y236上题型4“肯定顺推法”求解圆锥曲线中的探索性问题核心知识储备与圆锥曲线有关的探索性问题(1)给出问题的一些特殊关系，要求探索出一些规律，并能论证所得规律的正确性通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括归纳出一般
6、规律(2)对于只给出条件，探求“是否存在”类型问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，若推出相符的结论，则存在性得到论证；若推出矛盾，则假设不存在高考考法示例【例4】(2018郑州模拟)已知圆O：x2y24，点F(1,0)，P为平面内一动点，以线段FP为直径的圆内切于圆O，设动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)M，N是曲线C上的动点，且直线MN经过定点，问在y轴上是否存在定点Q，使得MQONQO，若存在，请求出定点Q，若不存在，请说明理由思路点拨(1)(2)解(1)设PF的中点为S，切点为T，连接OS，ST(图略)，则|OS|SF|OT|2，
7、取F关于y轴的对称点F，连FP，故|FP|FP|2(|OS|SF|)4.所以点B的轨迹是以F，F为焦点，长轴长为4的椭圆其中，a2，c1，曲线C方程为1.(2)假设存在满足题意的定点Q，设Q(0，m)，设直线l的方程为ykx，M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去x，得(34k2)x24kx110.由直线l过椭圆内一点，故0，由求根公式得：x1x2，x1x2.由MQONQO，得直线MQ与NQ斜率和为零故0，2kx1x2(x1x2)2k0.存在定点(0,6)，当斜率不存在时定点(0,6)也符合题意方法归纳探索性问题求解的思路及策略1思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结
8、论不正确，则不存在2策略：(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件(教师备选)(2018成都模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，满足.(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l1过点P，且与椭圆只有一个公共点，直线l2与l1的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P的两点M，N，与直线x1交于点K(K介于M，N两点之间)求证：|PM|KN|PN|KM|；是否存在直线l2，使得直线l1、l2、PM、PN的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出l2的方程；若不能，请说明理由解(1)设F1(c,0)，F2(c,
9、0)，c0，则1c2，所以c1.因为2a|PF1|PF2|4，所以a2，b23故椭圆C的标准方程为1.(2)证明：设l1方程为yk(x1)，与1联立，消y得(4k23)x2(12k8k2)x(32k)2120，由题意知0，解得k.因为直线l2与l1的倾斜角互补，所以l2的斜率是.设直线l2方程：yxt，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立，整理得x2txt230，由0，得t24，x1x2t，x1x2t23；直线PM、PN的斜率之和kPMkPN0所以PM、PN关于直线x1对称，即MPKNPK，在PMK和PNK中，由正弦定理得，又因为MPKNPK，PKMPKN180所以故|PM|KN|PN|K
10、M|成立由知，kPMkPN0，kl1，kl2.假设存在直线l2，满足题意不妨设kPMk，kPNk，(k0)若，k，k按某种排序构成等比数列，设公比为q，则q1或q21或q31.所以q1，则k，此时直线PN与l2平行或重合，与题意不符故不存在直线l2，满足题意对点即时训练(2018兰州模拟)已知定点A(3,0)，B(3,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为，记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)过点T(1,0)的直线l与曲线C交于P、Q两点，是否存在定点S(s,0)，使得直线SP与SQ斜率之积为定值，若存在求出S坐标；若不存在请说明理由解(1)设动点M(x，y)，则k
11、MA，kMB(x3)，kMAkMB，即.化简得：y21，由已知x3，故曲线C的方程为y21(x3)(2)由已知直线l过点T(1,0)，设l的方程为xmy1，则联立方程组消去x得(m29)y22my80，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线SP与SQ斜率分别为kSP，kSQ，kSPkSQ.当s3时，kSPkSQ；当s3时，kSPkSQ.所以存在定点S(3,0)，使得直线SP与SQ斜率之积为定值.1(2018全国卷)设抛物线C：y22x，点A(2,0)，B(2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：ABMABN.解(1)当l与x轴垂直时
12、，l的方程为x2，可得M的坐标为(2,2)或(2，2)所以直线BM的方程为yx1或yx1.(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以ABMABN.当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x10，x20.由得ky22y4k0，可知y1y2，y1y24.直线BM，BN的斜率之和为kBMkBN.将x12，x22及y1y2，y1y2的表达式代入式分子，可得x2y1x1y22(y1y2)0.所以kBMkBN0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以ABMABN.综上，ABMABN.2(2016全国卷)已知A是椭圆E：1的左顶点，斜率为k(k0
13、)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.(1)当|AM|AN|时，求AMN的面积；(2)当2|AM|AN|时，证明：k0.由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.又A(2,0)，因此直线AM的方程为yx2.将xy2代入1得7y212y0.解得y0或y，所以y1.因此AMN的面积SAMN2.(2)证明：设直线AM的方程为yk(x2)(k0)，代入1得(34k2)x216k2x16k2120.由x1(2)得x1，故|AM|x12|.由题意，设直线AN的方程为y(x2)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|得，即4k36k23k80.设f(t)4t36t23t8，则k是f(t)的零点f
14、(t)12t212t33(2t1)20，所以f(t)在(0，)单调递增又f()15260，f(2)60，因此f(t)在(0，)上有唯一的零点，且零点k在(，2)内，所以k2.3(2015全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值解(1)由题意有，1，解得a28，b24.所以C的方程为1.(2)证明：设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b
15、280.故xM，yMkxMb.于是直线OM的斜率kOM，即kOMk.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值审题即弄清题意，明确题目的条件与结论，审题是解题的基础，深入细致的审题是正确迅速解题的前提审题不仅存在于解题的开端，还要贯穿于解题思路的全过程和解答后的反思回顾正确的审题要多角度地观察，由表及里，由条件到结论，由数式到图形，洞察问题实质，选择正确的解题方向事实上，很多考生往往对审题掉以轻心，或不知从何处入手进行审题，致使解题失误而丢分本篇结合实例，教你正确的审题方法，给你制订一条“审题路线图”，攻克高考压轴题【典例】(2018长春市普通高中高三质量监测三)在平面直角坐标系中，已知圆C1的方程为(x1)2y29，圆C2的方程为(x1)2y21，动圆C与圆C1内切且与圆C2外切(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程；(2)已知P(2,0)与Q(2,0)为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l与轨迹E交于A，B两点，求四边形APBQ面积的最大值