1、第4讲 直线、平面平行的判定与性质课标要求考情分析1.通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.2.通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行.两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行.3.能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题1.在高考中，线、面平行关系的考查仅次于垂直关系的考查，是高考重点内容，在要求上不高，属容易题，平时训练难度不宜过大，抓好判定定理
2、的掌握与应用即可.2.学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化，牢记解决问题的根源在“定理”直线与平面的位置关系在平面内无数个交点相交1 个交点平行0 个交点定义若一条直线与平面没有公共点，则它们平行判定方法 1 a ，b，且 aba判定方法 2，aa性质a，a，lal平面与平面的位置关系相交无数个交点平行0 个交点定义若两个平面没有公共点，则它们平行判定方法 1a，b，abM，a，b判定方法 2 a，a性质 1，aa性质 2，a，bab(续表)题组一走出误区1.(多选题)下列结论正确的是()A.如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行B.如果两个
3、平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面C.若直线 a 与平面内无数条直线平行，则 aD.若，直线 a，则 a答案：BD题组二走进教材2.(必修2P58 练习第3 题改编)设 a，b 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是()A.存在一条直线 a，a，aB.存在一条直线 a，a，aC.存在两条平行直线 a，b，a，b，a，bD.存在两条异面直线 a，b，a，b，a，b解析：对于选项 A，若存在一条直线 a，a，a，则或与相交，若，则存在一条直线 a，使得 a，a，所以选项 A 的内容是的一个必要条件；同理，选项B，C 的内容也是的一个必要条件而不是充分条件；对于选项
4、D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有，所以选项 D 的内容是的一个充分条件.故选 D.答案：D3.(必修2P49 例4 改编)下面说法正确的有()(1)平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则直线与平面平行(2)一条直线与平面内的两条直线平行，则直线与平面平行(3)一条直线与平面内的任意一条直线平行，则直线与平面平行(4)一条直线与平面内的无数条直线平行，则直线与平面平行A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个解析：应该注意有特殊情况：直线在平面内，只有(1)是正确的.答案：A题组三真题展现4.(2015 年安徽)已知 m，n 是两条不同直线，是两个不同平面，则下
5、列命题正确的是()A.若，垂直于同一平面，则与平行B.若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行C.若，不平行，则在内不存在与平行的直线D.若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面解析：若，垂直于同一平面，则，可以相交、平行，故 A 不正确；若 m，n 平行于同一平面，则 m，n 可以平行、重合、相交、异面，故 B 不正确；若，不平行，但平面内会存在平行于的直线，如平面中平行于，交线的直线，故C 不正确；逆否命题“若 m 与 n 垂直于同一平面，则 m，n 平行”是真命题，故 D 项正确.故选 D.答案：D5.(2018 年浙江)已知平面，直线 m，n 满足 m ，n，则
6、“mn”是“m”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：m，n，若“mn”则“m”；而“m”不能得到“mn”，故为充分不必要条件.答案：A考点 1 直线与平面平行的判定与性质自主练习1.(2017 年全国)在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是()ABCD解析：由 B，ABMQ，则直线 AB平面 MNQ；由 C，ABMQ，则直线 AB平面 MNQ；由 D，ABNQ，则直线AB平面 MNQ.故 A 不满足，选 A.答案：A2.(2018 年河北石家庄调研
7、)如图 841，在三棱台 ABCA1B1C1的 6 个顶点中任取 3 个点作平面，设平面 ABCl，若 l)A1C1，则这 3 个点可以是(A.B，C，A1B.B1，C1，AC.A1，B1，CD.A1，B，C1图 841解析：在棱台中，ACA1C1，lA1C1，则 lAC 或 l 为直线 AC.因此平面可以过点 A1，B，C1，选项 D 正确.答案：D3.a，b 是两条异面直线，下列结论正确的是()A.过不在 a，b 上的任一点，可作一个平面与 a，b 平行B.过不在 a，b 上的任一点，可作一条直线与 a，b 相交C.过不在 a，b 上的任一点，可作一条直线与 a，b 都平行D.过 a 可以
8、并且只可以作一个平面与 b 平行解析：A 错，若点与 a 所确定的平面与 b 平行时，就不能使这个平面与 a 平行了；B 错，若点与 a 所确定的平面与 b 平行时，就不能作一条直线与 a，b 相交；C 错，假如这样的直线存在，根据公理 4 就可有 ab，这与 a，b 异面矛盾；D 正确，在 a 上任取一点 A，过 A 点作直线 cb，则 c 与a 确定一个平面与 b 平行，这个平面是唯一的.答案：D4.(多选题)以下命题(其中 a，b 表示直线，表示平面)，其中错误的是()A.若 ab，b则 aB.若 a，b则 abC.若 ab，b则 aD.若 a，a，b，则 ab解析：若 ab，b，则 a
9、或 a，故 A 错误；若a，b，则 ab 或 a 与 b 异面或 a 与 b 相交，故 B 错误；若 ab，b，则 a或 a，故 C 错误；根据直线与平面平行的性质定理可知，“若 a，a，b，则 ab”是正确的，故 D 错误.故选 ABC.答案：ABC【题后反思】证明直线 a 与平面平行，关键是在平面内找一条直线 b，使 ab，如果没有现成的平行线，应依据条件作出平行线.有中点的常作中位线.考点 2 平面与平面平行的判定与性质师生互动 例 1(2017 年河北衡水模拟)在如图 842 所示的几何体ABCDFE 中，ABC，DFE 都是等边三角形，且所在平面平行，四边形 BCED 是边长为 2
10、的正方形，且所在平面垂直于平面 ABC.(1)求几何体 ABCDFE 的体积；(2)求证：平面 ADE平面 BCF.图 842(1)解：取 BC 的中点 O，ED 的中点 G，如图 843 所示，连接 AO，OF，FG，AG.AOBC，AO平面 ABC，平面 BCED平面 ABC，AO平面 BCED.图 843同理 FG平面 BCED.(2)证明：由(1)知，AOFG，AOFG，四边形 AOFG 为平行四边形，AGOF.又AG 平面 BCF，OF平面 BCF，AG平面 BCF.又DEBC，DE 平面 BCF，BC平面 BCF，DE平面 BCF，又 AGDEG，平面 ADE平面 BCF.【规律方
11、法】证明面面平行的方法有(1)面面平行的定义.(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行.(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化.【考法全练】解析：如图 D69 所示，连接 BQ，QN，平面AA1B1B平面CC1D1D，图 D69平面BMNQ平面CC1D1DMN，平面BMNQ平面AA1B1BBQ，由平面与平面平行的性质定理可得 BQMN.同理可得 BMQN.四边形 BQNM 为平行四边形.答案：D2.棱长为2的正方体ABCDA
12、1B1C1D1中，E为棱AD中点，过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为()解析：如图 D70，过点 B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面为菱形 B1FDG，边长为图 D70答案：C考点 3 线面、面面平行的综合应用多维探究例 2(多选题)如图 844 是一几何体的平面展开图，其中四边形为正方形，E，F，G，H 分别为 PA，PD，PC，PB 的中)点.在此几何体中，给出下列结论，其中正确的结论是(A.平面 EFGH平面 ABCDB.直线 PA 平面 BDGC.直线 EF平面 PBCD.直线 EF平面 BDG图 844解析：作出立体图形如图 845 所示.连接 E，F，G，H
13、四点构成平面 EFGH.图 845因为 E，F 分别是 PA，PD 的中点，所以 EFAD.又 EF 平面 ABCD，AD平面 ABCD，所以 EF平面 ABCD.同理，EH平面 ABCD.又 EFEHE，EF平面 EFGH，EH平面 EFGH，所以平面 EFGH平面 ABCD，故 A 正确；连接 AC，BD，DG，BG，设 AC 的中点为 M，则 M 也是BD的中点，所以MGPA，又MG平面BDG，PA平面BDG，所以 PA 平面 BDG，故 B 正确；由 A 中的分析知 EFAD，ADBC，所以 EFBC，因为EF 平面 PBC，BC平面 PBC，所以直线 EF平面 PBC，故C 正确；根
14、据 C 中的分析可知 EFBC 再结合图形可得，BCBDB，则直线 EF 与平面 BDG 不平行，故 D 错误.故选 ABC.答案：ABC【题后反思】解决平行关系基本问题的 3 个注意点(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视.(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.(3)会举反例或用反证法推断命题是否正确.【考法全练】(多选题)如图 846，在棱长均相等的四棱锥 PABCD 中，O 为底面正方形的中心，M，N 分别为侧棱 PA，PB 的中点，下列结论正确的有()A.PD平面 OMNB.平面 PCD平面 OMN图 846C.直线 PD 与直线 MN
15、所成角的大小为 90D.ONPB解析：选项 A，连接 BD，显然 O 为 BD 的中点，又因为 N为 PB 的中点，所以 PDON，由线面平行的判定定理可得，PD平面 OMN；选项 B，由 M，N 分别为侧棱 PA，PB 的中点，得 MNAB，又底面为正方形，所以 MNCD，由线面平行的判定定理可得，CD平面 OMN，选项 A 得 PD平面 OMN，由面面平行的判定定理可得，平面 PCD平面 OMN；选项 C，因为 MNCD，所以 PDC 为直线 PD 与直线 MN 所成的角，又因为所有棱长都相等，所以 PDC60，故直线 PD 与直线 MN 所成角的大小为 60；选项 D，因底面为正方形，所
16、以AB2AD2BD2，又所有棱长都相等，所以 PB2PD2BD2，故 PBPD，又 PDON，所以 ONPB，故 A，B，D 均正确.答案：ABD立体几何中的探究性问题例 3(2018 年全国)如图 847，矩形 ABCD 所在平面与(1)证明：平面 AMD平面 BMC；(2)在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC平面 PBD？说明理由.图 847(1)证明：由题设知，平面 CMD平面 ABCD，交线为 CD.BCCD，BC平面 ABCD，BC平面 CMD.故 BCDM.M 为上异于 C，D 的点，且 DC 为直径，DMCM.又 BCCMC，DM平面 BMC.而 DM平面 AMD，故平面
17、AMD平面 BMC.(2)解：当 P 为 AM 的中点时，MC平面 PBD.证明如下：如图 848，连接 AC 交 BD 于 O.图 848ABCD 为矩形，O 为 AC 中点.连接 OP，P 为 AM 中点，MCOP.又 MC 平面 PBD，OP平面 PBD，MC平面 PBD.【策略指导】解决探究性问题一般先假设求解的结论存在，从这个结论出发，寻找使这个结论成立的充分条件，若找到了使结论成立的充分条件，则存在；若找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在.而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明.【高分训练】(2019 年北京)如图
18、 849，在四棱锥 PABCD 中，PA 平面ABCD，底部 ABCD 为菱形，E 为 CD 的中点.(1)求证：BD平面 PAC；(2)若ABC60，求证：平面 PAB平面 PAE；(3)棱 PB 上是否存在点 F，使得 CF平面 PAE？说明理由.图 849(1)证明：PA 平面 ABCD，PA BD.底面 ABCD 是菱形，ACBD.PA ACA，PA 平面 PAC，AC平面 PAC，BD平面 PAC.(2)证明：底面 ABCD 是菱形且ABC60，ACD 为正三角形.AECD.ABCD，AEAB.PA 平面 ABCD，AE平面 ABCD，AEPA.PA ABA，AE平面 PAB.又 A
19、E平面 PAE，平面 PAB平面 PAE.(3)解：存在点 F 为 PB 中点时，满足 CF平面 PAE.理由如下：分别取 PB，PA 的中点 F，G，连接 CF，FG，EG，如图 D71.图 D71一幅关系图：平行问题的转化关系.两点提醒：(1)直线与平面平行判定定理要具备三个条件：直线 a 在平面外；直线 b 在平面内；直线 a，b 平行，三个条件缺一不可，在推证线面平行时，一定要强调直线 a 不在平面内，否则会出现错误；平面与平面平行判定定理“如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行”，必须注意“相交”的条件.(2)直线与平面平行的性质定理：线面平行，则线线平行.要注意后面线线平行的意义：一条为平面外的直线，另一条为过平面外直线的平面与已知平面的交线.对于本定理要注意避免“一条直线平行于平面，就平行于平面内的任何一条直线”的错误.三点防范：(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误.(2)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.(3)解题中注意符号语言的规范应用.
