1、第4课时两角和与差的正切(1) 教学过程一、 问题情境回顾“两角和与差的余弦”例1中求tan15的过程,我们是先分别求出sin15, cos15,再由同角三角函数关系求出tan15,那么能否由tan45和tan30直接求出tan15呢?1二、 数学建构问题1对于一般的角, ,当, , +的正切值存在时,能由tan, tan直接表示tan(+)吗?tan(+)=.问题2上述公式对于任意角, 都成立吗?当, , +均不等于k+,kZ时,式子才成立,这就是两角和的正切公式,记为T(+).问题3如何由tan, tan直接表示tan(-)?解法一tan(-)=.解法二用-代换,就可以得到tan(-)=.
2、公式理解 1. 结构特征:公式右边分子上的符号与左边的符号一致,而分母的符号与分子的符号相反;分子是两角正切值的和与差,分母含有两角正切值的积. 2. 公式中的, , +, -的正切值都存在时,公式才能成立.三、 数学运用【例1】(1) 已知tan=, tan=,则tan(+)=;(2) (根据教材第115页练习第1(1)题改编)已知tan=3,则tan=.(见学生用书P67)答案(1) 1;(2) -.处理建议本题是公式的直接运用,可让学生自己求解.变式1已知, 均为锐角,且tan=, tan=,则+=.处理建议引导学生思考:(1) 要求角的大小,先要求什么?(角的某个三角函数值和角的范围)
3、(2) 本题中用哪个三角函数?为什么?(本题中用正切.一是因为题中涉及角的正切;二是因为+(0, ),且在此范围内一个正切值对应一个角)规范板书解tan(+)=1.又因为, 均为锐角,所以+(0, ),所以+=.题后反思求角的大小,先求角的某一三角函数值和角的范围.变式2(教材第115页例3)如图,三个相同的正方形相接,求证:+=.(变式2)处理建议引导学生选择适当的三角函数求解.规范板书解法一由题可知tan=, tan=,所以tan(+)=1.又因为, 均为锐角,所以+(0, ),所以+=.解法二由题可知cos=, sin=, cos=, sin=,所以cos(+)=coscos-sinsi
4、n=-=.又因为, 均为锐角,所以+(0, ),所以+=.【例2】已知=4+,求tan的值.(见学生用书P68)处理建议先由学生自己分析解题思路,可能会有两种:一是由已知求出tan的值,然后由两角差的正切公式求出tan;二是由=tan直接得到答案.引导学生观察条件和结论之间的关系,学会用整体思想去分析问题.规范板书解法一由=4+,解出tan=-,所以tan=4+.解法二tan=4+.变式1求值:.规范板书解原式=tan(45-15)=.变式2求值:.规范板书解原式=tan(60-15)=1.【例3】已知tan与tan是方程x2-3x-3=0的两个根,求tan(+)的值.(见学生用书P68)处理
5、建议本题可以先直接求出tan, tan,然后利用公式求tan(+);也可以用韦达定理先求tan+tan, tantan,然后利用公式求tan(+).再让学生比较这两种方法的繁易程度.规范板书解法一因为方程x2-3x-3=0的两个根为,所以tan+tan=3, tantan=-3,所以tan(+)=.解法二由题可知=(-3)2-4(-3)=120,所以tan+tan=3, tantan=-3,所以tan(+)=.变式已知tan与tan是方程x2-3x-3=0的两个根,求sin2(+)-3sin(+)cos(+)-3cos2(+)的值.规范板书解由题可知=(-3)2-4(-3)=120,所以tan
6、+tan=3, tantan=-3,所以tan(+)=.故sin2(+)-3sin(+)cos(+)-3cos2(+)=-3.(例4)*【例4】如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角, ,它们的终边分别与单位圆相交于A, B两点,已知A, B的横坐标分别为, .(1) 求tan(+)的值;(2) 求+2的值.处理建议引导学生根据三角函数的定义,求出tan, tan,从而求出tan(+)和tan(+2),并通过+2的范围确定+2的大小.规范板书解由题意知cos=, cos=,又, 为锐角,sin=, sin=.因此tan=7, tan=.(1) tan(+)=-3.(2) ta
7、n(+2)=tan=-1. , 为锐角, 0+2, +2=.(变式)变式如图, A, B是单位圆O上的点,且A点坐标为, B在第二象限, C是圆O与x轴正半轴的交点,AOB为正三角形,求tanBOC的值.规范板书解由题可知tanAOC=, tanBOC=tan(AOC+60)=-.四、 课堂练习 1. 已知tan=-2, tan=5,则tan(-)=. 2. 计算:=-.提示原式=tan(45+75)=-. 3. 已知为锐角, cos=,则tan=-3.提示由cos=, 为锐角,得sin=,则tan=2,所以tan=-3. 4. 已知0, 0,且tan, tan是方程3x2+4x-1=0的两根,求+的值.解因为方程3x2+4x-1=0的两根为,所以tan+tan=-, tantan=-,则tan(+)=-1.又0, 0,所以+(0, ), 故+=.五、 课堂小结 1. 运用两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式. 2. 两角和与差的正切公式的结构特征和角的限制. 3. 求角的步骤:先求出某个三角函数值,再根据角的范围求解.