1、江西省南昌市正大学校高三周练数学文科供题：袁志庆 审题：高三历届数学备课组（2007.12.25）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分 在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）1已知直线a及三个平面a，b，g，有以下四个命题：aa，ab，则ab；ab，bg，则ag；aa，ab，则ab；ab ,aa，则ab其中正确命题的个数是 A1 B2 C3 D4ABCEDFqab2如图，四边形BCEF，AFED都是矩形，且平面AFED平面BCEF，若ACF=a，ABF=b，BAC=q ，则下列式子中正确的是 Acosacosbcosq Bsinasinbcosq Ccosbcosa
2、cosq Dsinbsinacosq3设为平面，为直线，则的一个充分条件是 txA BC D 4在一个的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成角，则此直线与二面角的另一个面所成的角为 y A B C DOBCAFE5如图，O是半径为l的球的球心，点A，B，C在球面上，OA，OB，OC两两垂直，E，F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E，F在该球面上的球面距离是A B C D6菱形中，现将其沿对角线折成直二面角（如图），则异面直线与所成角的余弦值为： A B C D 7正三棱柱PABC的三条侧棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比A BC1:3D8如图所示，b、c在平面内，ac
3、=B，bc=A， 且ab，ac，bc，若Ca，Db，E在线段 AB上（C，D，E均异于A，B），则CDE是：A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形abABAB9如图，平面a平面b，Aa，Bb，AB与两平面a，b所成的角分别为和，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A，B，则ABABA43 B32 C21 D3110如图，正三棱锥中，侧面与底面所成的二面角ACBS等于，动点在侧面内，底面，垂足为，则动点的轨迹为 . 线段 . 圆.一段圆弧 .一段抛物线ABCDPE11如图，垂直正方形所在的平面，动点在线段上，则二面角的取值范围是A、 B、 C、 D、12如果一条直线与一个平面垂直，那
4、么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 A48 B 18 C 24 D36二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱AB，BB1的中点，则异面直线A1E与C1F所成的角是_.14在60的二面角alb内有一点P，P到平面a，b的距离分别为3和5，则点P到棱l的距离是_.15在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，PA=a，AB2PA，ABC60，则D到平面PBC的距离为_ _16若三角形内切圆半径为r，三边长为a,b,c则三角
5、形的面积，根据类比思想，若四面体内切球半径为R，四个面的面积为，则四面体的体积V=_.三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面。已知：，=aEDCBAP求证：a18已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ADBC，ABBC，ABAD1，BC2，又PB平面ABCD，且PB1，点E在棱PD上，且DE2PE（）求异面直线PA与CD所成的角的大小；（）求证：BE平面PCD；（）求二面角APDB的大小19在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=，
6、M、N分别为AB、SB的中点（1）证明：ACSB；（2）求二面角NCMB的大小；（3）求B点到平面CMN的距离20如图，在平行四边形ABCD中，AB1，BD，ABD90，将它们沿对角线BD折起，折后的C变为C1，且A、C1间的距离为2（1）求证：平面A C1D平面ABD；（2）求二面角BAC1D的大小 （3）E为线段A C1上的一个动点，当线段EC1的长为多少时？DE与平面BC1D所成的角为30图乙 乙BC1DAEBCDA图 甲21用一边长为12cm的正方形铁片，按图将阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个四棱锥容器PABCD（）证明：四棱锥
7、PABCD为正四棱锥；（）求容器四棱锥PABCD容积的最大值；（）在四棱锥PABCD的容积最大值时，如它的顶点都在一个球面上，求这个球的表面积PABCDPPABCDO22如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD为等腰梯形，ABDC，ACBD，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO，PBPD（）求异面直线PD与BC所成角的余弦值；（）求二面角PABC的大小；（）设点M在棱PC上，且l，问l为何值时，PC平面BMD历届高三数学(文)周练-立体几何一、ABDAC CDCCD AD a 17.解析：利用线面垂直的性质定理证明：设=AB，=CD 在平面内作L1AB， 在平
8、面内作L1CD， L1 同理L2L1/L2 L1/ L1/a a18解答：（）取BC中点F，连结AF，则CFAD，且CFAD，四边形ADCF是平行四边形，AFCD，PAF（或其补角）为异面直线PA与CD所成的角EDCBAPFHOPB平面ABCD，PBBA，PBBFPBABBF1，ABBC，PAPFAFPAF是正三角形，PAF60即异面直线PA与CD所成的角等于60（）在RtPBD中，PB1，BD，PDDE2PE，PE则，PBEPDB，BEPD由（）知，CFBFDF，CDB90CDBD又PB平面PBD，PBCDPBBDB，CD平面PBD，CDBECDPDD，BE平面PCD（）连结AF，交BD于点
9、O，则AOBDPB平面ABCD，平面PBD平面ABD，AO平面PBD过点O作OHPD于点H，连结AH，则AHPDAHO为二面角APDB的平面角在RtABD中，AO在RtPAD中，AH在RtAOH中，sinAHOAHO60即二面角APDB的大小为6019.解答：（1）取AC中点D，连结SD，BD（2）取BD中点E，连结NE，则NE/SD故由在平面ABC内作EFCM于F，连结NF，则由三垂线定理知CMNF，的平面角设又由，即二面角（3）设B点到平面CMN的距离为，由20.解答（1）ABCD是平行四边形，故知BDC1ABD90，即ABBD，C1DBD，ADBC1， DBC1AEyxz由C1D1，AC
10、12可得，AC12C1D2AD2，C1DADC1D平面ABD， 2分又C1D 平面AC1D，故平面AC1D平面ABD 3分（2）由ABBD，ABC1D可知，AB平面BC1D，故可以B为原点，平行于C1D的直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系 4分则A(0,0,1)，D(0, ,0)，C1(1, ,0)(0,0,1)，(1, ,0)，(0, ,1) ，(1,0,0)设平面ABC1的法向量为(x1,y1,z1)，则0，0，即，解得，故得平面ABC1的一个法向量(,1,0)6分设平面ADC1的法向量为(x2,y2,z2)，则0，0，即，解得，故得平面ABC1的一个法向量(0, 1, )显然，二面角
11、BAC1D所成的平面角为锐角，故大小为（3）设，则(1,0,0)(1,1)(1, )，由ABC平面BCD可知，(0,0,1)是平面BCD的一个法向量， 若DE与平面BC1D所成的角为30，则不难看出60， 又故，整理，得421242，解得故知E为AB的中点，即|C1E|1时DE与平面BC1D所成的角为3021证明：（）因为余下的四个全等的等腰三角形，所以它们的底边相等，即ABBCCDDA，且它们的腰也相等，即PAPBPCPD由ABBCCDDA得，底面ABCD为菱形，所以ABCCDA由PAPBPCPD得，顶点P在平面ABCD上的射影为四边形ABCD的外心，所以ABCCDA180，所以ABC90，
12、因此底面ABCD为正方形且顶点P在平面ABCD上的射影为正方形ABCD的外心，即为正方形ABCD的中心，故四棱锥PABCD为正四棱锥ABCDPOQ（）设正四棱锥的高为h，又斜高为h6，则h(0，6)且底面边长为2，体积V(36h2)hh348h，V4h2484(h2)(h2)，令h0得h2，当h2 时V0，V为增函数，当h2时，V0，V为减函数，所以当h2时，V有极大值，又在(0，6)上V只有一个极大值，因此，这个极大值即为最大值当h2 时，Vmax64（）如图，设此球的球心为Q，则Q必在棱锥的高PO上，设球半径为R，则(R2)2(4)2R2R5，S300p22解：PO平面ABCD，POBD又
13、PBPD，BO2，PO，由平面几何知识得：OD1，PD，PB，（）过D作DEBC交AB于E，连结PE，则PDE或其补角为异面直线PD与BC所成的角，四边形ABCD是等腰梯形，OCOD1，OBOA2，OAOB，BC，AB2，CD，又ABDC，四边形EBCD是平行四边形EDBC，BECD，E是AB的中点，且AE，又PAPB，PEA为直角三角形，PE2，PABCDOEM在PED中，由余弦定理得cosPDE故异面直线PD与BC所成的角的余弦值为（）连结OE，由（）及三垂线定理的逆定理可知OEAB，PEO为二面角PABC的平面角sinPEO，PEO45，即二面角PABC的大小为45（）连结MD，MB，MO，PO平面ABCD，且ACBD，PCBD若要PC平面BMD，只需PCOM即可在RtPOC中，PCPD，OC1，PO，PCOM，PM，MC，则2故当l2时，PC平面BMD