1、陕西省咸阳市永寿中学2021届高三数学上学期开学考试（摸底）试题 理 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第I卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则（ ）AB CD2已知复，则复数的共轭复数（ ）ABCD3若，则（ ）ABCD4、函数的零点所在的一个区间是( )A（-2，-1） B（-1,0） C（0,1）D（1,2）5.( ) A B CD6已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于，两点，且为的中点，则的值为（ ）A3B2或4C4D27.在中，为边
2、上的中线，为的中点，则( )ABCD8.名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( ) A120种 B90种 C60种 D30种9若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（ ）A B CD10.设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为( )A. B. C. D. 11.设抛物线的焦点为,点在上,若以为直径的圆过点,则的方程为（）A或 B或 C或 D或 12.已知函数有唯一零点，则=( )A B CD1二填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分 13.曲线在点处的切线方程
3、为_14 焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为_15 已知的展开式中的系数为5，则_16.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_三、解答题：共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：(共60分)17.（12分）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，. （1）若，求的通项公式；（2）若，求.18（12分）如图，已知三棱柱，平面平面ABC,，（1）证明：；（2）求直线E
4、F与平面所成角的余弦值 19.（12分）某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.购买金额（元）人数101520152010（1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.不少于60元少于60元合计男40女18合计（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数（元
5、）的分布列并求其数学期望.附：参考公式和数据：，.附表：2.0722.7063.8416.6357.8790.1500.1000.0500.0100.00520（12分）已知椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，且（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的下顶点为，过右焦点作与直线关于轴对称的直线，且直线与椭圆分别交于点，为坐标原点，求的面积21.（12分）)已知函数f(x)xln x，g(x)x2ax2(e为自然对数的底数，aR)(1)判断曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与曲线yg(x)的公共点个数；(2)当时，若函数yf(x)g(x)有两个零点，求a的取值范围（二）选考题：共10分。请考生在第
6、22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.（10分）选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为，直线l的极坐标方程为（1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若N是曲线C上的动点，P为线段MN的中点，求点P到直线l的距离的最大值23.（10分），选修45：不等式选讲已知函数（I）当时，求不等式的解集；（II）设函数.当时，求的取值范围。2021届高三摸底理科数学参考答案 一、选择题：（60分）1 C 2C 3D 4、B 5、A 6B 7.A 8.C 9
7、D10.B 11. C 12.C二、填空题 (20分) 13、 14. 15 1 16. , 三、解答题：（70分）17.(12分) 解：设的公差为d，的公比为q，则,.由得d+q=3. （1） 由得 联立和解得（舍去）， 因此的通项公式（2） 由得. 解得当时，由得，则.当时，由得，则.18(12分)【解析】方法一：（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1EAC又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABC=AC，所以，A1E平面ABC，则A1EBC又因为A1FAB，ABC=90，故BCA1F所以BC平面A1EF因此EFBC（2）取BC
8、中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形由于A1E平面ABC，故A1EEG，所以平行四边形EGFA1为矩形由（1）得BC平面EGFA1，则平面A1BC平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上连接A1G交EF于O，则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）不妨设AC=4，则在RtA1EG中，A1E=2，EG=.由于O为A1G的中点，故，所以因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是方法二：（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABC=AC，所以，A1E
9、平面ABC如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz不妨设AC=4，则A1（0，0，2），B（，1，0），C(0，2，0)因此，由得（2）设直线EF与平面A1BC所成角为由（1）可得设平面A1BC的法向量为n，由，得，取n，故，因此，直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为19.(12分)【解析】（1）列联表如下：不少于60元少于60元合计男124052女182038合计306090，因此有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.（2）可能取值为65，70，75，80，且.，所以的分布列为65707580.20（12分）【解析】（1）由题得，解
10、得，所以，所以椭圆的方程为（2）由题可知，直线与直线关于轴对称，所以由（1）知，椭圆的方程为，所以，所以，从而，所以直线的方程为，即联立方程，解得或设，不妨取，所以当，；当，所以，设原点到直线的距离为，则，所以21.（12分）解(1)f(x)ln x1，所以切线斜率kf(1)1.又f(1)0，曲线在点(1,0)处的切线方程为yx1.由x2(1a)x10.由(1a)24a22a3(a1)(a3)可知：当0时，即a1或a3时，有两个公共点；当0时，即a1或a3时，有一个公共点；当0时，即1a3时，没有公共点(2)yf(x)g(x)x2ax2xln x，由y0，得axln x.令h(x)xln x，
11、则h(x).当x时，由h(x)0，得x1.所以，h(x)在上单调递减，在1，e上单调递增，因此，hmin(x)h(1)3.由h2e1，h(e)e1比较可知hh(e)，所以，结合函数图象可得，当3ae1时，函数yf(x)g(x)有两个零点22（10分）选修4-4：坐标系与参数方程（1）因为直线l的极坐标方程为，即sincos40由xcos，ysin，可得直线l的直角坐标方程为xy40将曲线C的参数方程，消去参数a，得曲线C的普通方程为（2）设N（，sin），0，2）点M的极坐标（，），化为直角坐标为（2，2）则所以点P到直线l的距离，所以当时，点M到直线l的距离的最大值为23.（10分）选修4-5：不等式选讲解：（）当时，.解不等式，得.因此，的解集为. 5分（）当时，当时等号成立，所以当时，等价于. 7分当时，等价于，无解.当时，等价于，解得.所以的取值范围是. 10分
