1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业 三十八直接证明与间接证明(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016泰安模拟)用反证法证明命题:若a+b+c为偶数,则“自然数a,b,c恰有一个偶数”时正确反设为()A.自然数a,b,c都是奇数B.自然数a,b,c都是偶数C.自然数a,b,c中至少有两个偶数D.自然数a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数【解析】选D.由于“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a,b,c都是奇数或至少有两个偶数”,故选D.2.(2016北京模拟
2、)若a,b,c是不全相等的实数,求证:a2+b2+c2ab+bc+ca.证明过程如下:因为a,b,cR,所以a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac,又因为a,b,c不全相等,所以以上三式至少有一个等号不成立,所以将以上三式相加得2(a2+b2+c2)2(ab+bc+ac),所以a2+b2+c2ab+bc+ca.此证法是()A.分析法 B.综合法C.分析法与综合法并用 D.反证法【解析】选B.由已知条件入手证明结论成立,满足综合法的定义.3.(2016莱芜模拟)在ABC中,sinAsinCcosAcosC,则ABC一定是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定【
3、解析】选C.由sinAsinC0,即cos(A+C)0,所以A+C是锐角,从而B,故ABC必是钝角三角形.【加固训练】若a,bR,则下面四个式子中恒成立的是()A.lg(1+a2)0 B.a2+b22(a-b-1)C.a2+3ab2b2 D.bc,且a+b+c=0,求证0B.a-c0C.(a-b)(a-c)0D.(a-b)(a-c)0【解析】选C.ab2-ac3a2(a+c)2-ac3a2a2+2ac+c2-ac-3a20-2a2+ac+c20(a-c)(2a+c)0(a-c)(a-b)0.二、填空题(每小题5分,共15分)6.用反证法证明命题“若x2-(a+b)x+ab0,则xa且xb”时,
4、应假设为.【解析】“xa且xb”的否定是“x=a或x=b”,因此应假设为x=a或x=b.答案:x=a或x=b【误区警示】此题容易出现“x=a且x=b”的错误答案.7.设a=+2,b=2+,则a,b的大小关系为.【解析】a=+2,b=2+,两式的两边分别平方,可得a2=11+4,b2=11+4,显然,所以ab.答案:a1;a+b=2;a+b2;a2+b22;ab1.其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是.(填序号)【解析】若a=,b=,则a+b1,但a1,b2,故推不出;若a=-2,b=-3,则ab1,故推不出;对于,即a+b2,则a,b中至少有一个大于1,反证法:假设a1且b1,则a
5、+b2与a+b2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知x1,x2,x3为正实数,若x1+x2+x3=1,求证:+1.【证明】因为+x1+x2+x32+2+2=2(x1+x2+x3)=2,所以+1.当且仅当x1=x2=x3时取等号.10.已知函数f(x)=ax+(a1),(1)证明:函数f(x)在(-1,+)上为增函数.(2)用反证法证明f(x)=0没有负实数根.【证明】(1)任取x1,x2(-1,+),不妨设x10,x2+10,所以-=0.0.故函数f(x)在(-1,+)上为增函数.(2)设存在x00(x0-1),满足f(x0)=0
6、,即x02,与x00,y0且x+y=1,所以xy=,所以x2+y2+xy=(x+y)2-xy=1-xy1-=,故x2+y2+xy有最小值.2.(5分)(2016济南模拟)设ab0,m=-,n=,则m,n的大小关系是.【解析】取a=2,b=1,得mn.再用分析法证明:-+a0,显然成立.答案:m1,nN,若不等式-1恒成立时,则n的最小值为.【解析】n=1时,结论不成立;n=2时,不等式变为2-20,因为a1,所以不等式成立.答案:24.(12分)(2016青岛模拟)在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC中点,又PA=AB=4,CDA=120,点
7、N在线段PB上,且PN=.(1)求证:BDPC.(2)求证:MN平面PDC.【证明】(1)因为ABC是正三角形,M是AC中点,所以BMAC,即BDAC,又因为PA平面ABCD,所以PABD,又PAAC=A,所以BD平面PAC,所以BDPC.(2)在正三角形ABC中,BM=2,在ACD中,因为M为AC中点,DMAC,所以AD=CD,ADC=120,所以DM=,所以=,在等腰直角三角形PAB中,PA=AB=4,PB=4,所以=,所以=,所以MNPD,又MN平面PDC,PD平面PDC,所以MN平面PDC.5.(13分)已知数列an是各项均为正数且公差为d的等差数列,其前n项和为Sn,首项为a1.(1)当a1=1,d=2时,证明:为等差数列.(2)求证:数列为等差数列的充要条件是d=2a1.【证明】(1)当a1=1,d=2时,=n,则-=n+1-n=1(常数),所以为等差数列.(2)充分性:若d=2a1,则=n,-=(n+1)-n=(常数),所以为等差数列.必要性:若为等差数列,则2=+,即2=+,两边平方,整理得4a1+d=2,两边再平方,整理得4-4a1d+d2=0,即(2a1-d)2=0,所以2a1-d=0,d=2a1.综上,数列为等差数列的充要条件是d=2a1.关闭Word文档返回原板块
