1、课时质量评价(四十九)A组全考点巩固练1若抛物线yax2的焦点坐标是(0,1)，则a()A1 B C2 DD解析：因为抛物线的标准方程为x2y，所以其焦点坐标为，则有1，a2中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m若水面下降1 m，则水面宽度为(B)A2 m B4 mC4 m D12 m3(2021武汉模拟)已知抛物线y24x的焦点为F，点A(5，3)，M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则MAF周长的最小值为()A10 B11 C12 D13B解析：由题意知，焦点F为(1,0)，当|MA|MF|
2、的值最小时，MAF的周长最小设点M在抛物线的准线上的射影为D(图略)，根据抛物线的定义，可知|MD|MF|，因此|MA|MF|的最小值即|MA|MD|的最小值根据平面几何的知识可得，当D，M，A三点共线时，|MA|MD|最小，最小值为xA(1)516又|FA|5，所以MAF周长的最小值为65114设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过点P作PQl于点Q，则线段FQ的垂直平分线()A经过点O B经过点PC平行于直线OP D垂直于直线OPB解析：由抛物线定义知|PQ|PF|，所以FQ的垂直平分线必过点P故选B5(多选题)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为
3、l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点若ABD90，且ABF的面积为9，则()A|BF|3BABF是等边三角形C点F到准线的距离为3D抛物线C的方程为y26xBCD解析：如图，由题意知|AB|2|FH|2p，所以xA，从而yAp，又SABF|AB|yAp29，所以p3，所以抛物线C的方程为y26x，C正确，D正确；所以|BF|AF|2p6，A错误；又|AB|2p6，所以ABF为等边三角形，所以B正确故选BCD6抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36，则抛物线C的标准方程为_y216x解析：设满足题
4、意的圆的圆心为M根据题意可知圆心M在抛物线上又因为圆的面积为36，所以圆的半径为6，则|MF|xM6，则xM6又由题意可知xM，所以6，解得p8所以抛物线C的标准方程为y216x7(2022长沙模拟)已知抛物线C：y24x的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，且|FA|4，则|AB|_解析：设过F(1,0)的直线方程为xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与抛物线方程可得y24my40，(4m)24(4)16m2160由根与系数的关系，可得y1y24，则x1x21因为由抛物线的定义，可得|FA|x114，所以x13，x2，所以|FB|x21，|AB|48已知抛物线C1：y
5、22px(p0)的焦点与双曲线C2：1的右顶点重合(1)求抛物线C1的标准方程；(2)设过点(0,1)的直线l与抛物线C1交于不同的两点A，B，F是抛物线C1的焦点，且1，求直线l的方程解：(1)由题意可知，双曲线C2：1的右顶点为(2,0)，则2，解得p4，所以抛物线C1的标准方程为y28x(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(2,0)当直线l的斜率不存在时，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx1，联立方程可得k2x2(2k8)x10，由0，可得(2k8)24k20，解得k2，所以x1x2，x1x2因为1，所以(x12)(x22)y1y21，则x1x22(x1x
6、2)4(kx11)(kx21)(1k2)x1x2(k2)(x1x2)51，即k24k50，解得k1或k5，所以直线l的方程为yx1或y5x1B组新高考培优练9已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，P是C上一点，且|PF|4，以PF为直径的圆截x轴所得的弦长为2，则p()A2 B4 C2或4 D2或6D解析：设以PF为直径的圆与x轴交点为A，F，则|AF|2，|PF|4，连接PA，则PAF90，所以|PA|2，所以yP2，把y2代入y22px，得x，所以xP，所以|PF|，即4，所以p28p120，解得p2或6故选D10已知直线l：yx1与抛物线C：y22px(p0)相交于A，B两点，若A
7、B的中点为N，且抛物线C上存在点M，使得3(O为坐标原点)，则抛物线C的方程为()Ay28x By24xCy22x Dy2xB解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程整理得x22(1p)x10，2(1p)240，则x1x22(1p)，可得y1y2x1x222p由点N为AB的中点，所以N(1p，p)设M(x0，y0)，因为3，可得M(33p,3p)，又由点M在抛物线C：y22px(p0)上，可得(3p)22p3(1p)，即p22p0，解得p2或p0(舍去)，所以抛物线的标准方程为y24x11(2021安阳模拟)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为P，
8、点A在抛物线C上，过点A作AAl，垂足为A若四边形AAPF的面积为14，且cosFAA，则抛物线C的方程为()Ay2x By22xCy24x Dy28xC解析：过点F作FFAA，垂足为F设|AF|3x，因为cosFAA，故|AF|5x，则|FF|4x由抛物线定义可知，|AF|AA|5x，则|AF|2xp，故x四边形AAPF的面积S14，解得p2，故抛物线C的方程为y24x12(多选题)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则下列结论正确的是()AC的准线方程为y1B线段PQ的长度最小为4CM的坐标可能为(
9、3,2)D3恒成立BCD解：由焦点F到准线的距离为2，得抛物线C的焦点为F(1,0)，准线方程为x1，A项错误设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为xmy1联立消去y可得x2(4m22)x10，(4m22)240，消去x可得y24my40，(4m)24(4)0，所以x1x24m22，y1y24m|PQ|x1x2p4m244，故B项正确当m1时，可得M(3,2)，所以C项正确又x1x21，y1y24，所以x1x2y1y23，所以D项正确13已知抛物线x24y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PAl于点A，当AFO30(O为坐标原点)时，|PF|_解析：设l与y轴的交点
10、为B，在RtABF中，AFB30，|BF|2，所以|AB|设P(x0，y0)，则x0，代入x24y中，得y0，从而|PF|PA|y0114已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，过点M(1,4)作y轴的垂线交抛物线C于点A，且满足，设直线AF交抛物线C于另一点B，则点B的纵坐标为_1解析：由题意可知，因为，所以点M在准线上，又因为准线方程为x，所以1，即p2，所以抛物线C的方程为y24x因为点M的坐标为(1,4)，所以A(4,4)，故直线AB方程为yx，联立得y23y40，解得y4(舍)或y1，故点B的纵坐标为115直线l过抛物线C：y22px(p0)的焦点F(1,0)，且与C交于A，B两
11、点，则p_，_21解析：由1，得p2当直线l的斜率不存在时，l：x1，代入y24x，得y2，此时|AF|BF|2，所以1当直线l的斜率存在时，设l：yk(x1)(k0)，代入抛物线方程，得k2x22(k22)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21，1综上，116如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)若直线PA和PB的倾斜角互补，求y1y2的值及直线AB的斜率解：(1)设抛物线的方程为y22px，把P(1,2)代入得p2，所以抛物线的方程为y24x，准线方程
12、为x1(2)因为直线PA和PB的倾斜角互补，所以kPAkPB0，所以0，所以0，所以y1y24，kAB117已知抛物线C1：y24x，圆C2：(x3)2y24，F是抛物线的焦点，过点F的直线与抛物线C1交于A，B两点，与圆C2交于点D，点D是线段AB的中点(1)求抛物线的准线方程；(2)求OAB的面积解：(1)因为抛物线C1：y24x，所以准线方程为x1(2)设直线l：xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与抛物线得y24my40，(4m)24(4)0由根与系数的关系可得y1y24m，故x1x2m(y1y2)24m22，所以D(2m21,2m)将点D坐标代入圆方程得(m21)2m21，解得m1(0舍去)根据抛物线的对称性，不妨设m1，联立消去y得x26x10，(6)240所以x1x26，所以|AB|x1x2x1x228，坐标原点到直线xy10的距离d，所以SOAB|AB|d2