1、第2讲空间点、线、面的位置关系A组基础题组1.已知E,F,G,H是空间四点,命题甲:E,F,G,H四点不共面,命题乙:直线EF和GH不相交,则甲是乙成立的() A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,给出下列命题:若=m,n,nm,则;若m,m,则;若m,n,mn,则;若m,n,且mn,则.其中,属于真命题的序号是()A.B.C.D.3.如图,在三棱锥P-ABC中,不能证明APBC的条件是()A.APPB,APPCB.APPB,BCPBC.平面BPC平面APC,BCPCD.AP平面PBC4.(2017惠州第三次调
2、研考试)如图是几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F分别为PA,PD的中点,在此几何体中,给出下面4个结论:直线BE与直线CF异面;直线BE与直线AF异面;直线EF平面PBC;平面BCE平面PAD.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个5.如图所示,直线PA垂直于O所在的平面,ABC内接于O,且AB为O的直径,点M为线段PB的中点.现有结论:BCPC;OM平面APC;点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是()A.B.C.D.6.如图,在空间四边形ABCD中,MAB,NAD,若=,则直线MN与平面BDC的位置关系是.7.已知l,m是两条不同的直线,是两个不
3、同的平面,有下列命题:若l,l,=m,则lm;若,l,则l;若l,ml,则m.其中真命题是(写出所有真命题的序号).8.下列命题正确的是.(填上你认为正确的所有命题的序号)空间中的三个平面、,若,则;球O与棱长为a的正四面体各面都相切,则该球的表面积为a2;三棱锥P-ABC中,PABC,PBAC,则PCAB.9.如图,一个侧棱长为l的直三棱柱ABC-A1B1C1容器中盛有液体(不计容器厚度).若液面恰好分别过棱AC,BC,B1C1,A1C1的中点D,E,F,G.(1)求证:平面DEFG平面ABB1A1;(2)当底面ABC水平放置时,求液面的高.10.(2017东北四市高考模拟)如图,四棱锥P-
4、ABCD的底面ABCD为矩形,PA底面ABCD,AD=AP=2,AB=2,E为棱PD的中点.(1)证明:PD平面ABE;(2)求三棱锥C-PBD外接球的体积.B组提升题组1.(2017郑州第一次质量检测)如图,直三棱柱ABC-ABC中,ABC是边长为2的等边三角形,AA=4,点E,F,G,H,M分别是边AA,AB,BB,AB,BC的中点,动点P在四边形EFGH内部运动,并且始终有MP平面ACCA,则动点P的轨迹长度为() A.2B.2C.2D.42.(2017武汉武昌调研考试)在矩形ABCD中,ABBC,现将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折的过程中,给出下列结论:存在某个位置
5、,使得直线AC与直线BD垂直;存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直;存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直.其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号)3.(2017福州综合质量检测)如图1,在等腰梯形PDCB中,PBDC,PB=3,DC=1,DPB=45,DAPB于点A,将PAD沿AD折起,构成如图2所示的四棱锥P-ABCD,点M在棱PB上,且PM=MB.(1)求证:PD平面MAC;(2)若平面PAD平面ABCD,求点A到平面PBC的距离.4.在多面体ABCDEF中,底面ABCD是梯形,四边形ADEF是正方形,ABDC,AB=AD=1,CD=2,AC=EC=.(1)求证:平面EBC
6、平面EBD;(2)设M为线段EC上一点,且3EM=EC,试问在线段BC上是否存在一点T,使得MT平面BDE,若存在,试指出点T的位置;若不存在,请说明理由.答案精解精析A组基础题组1.B若E,F,G,H四点不共面,则直线EF和GH肯定不相交,但直线EF和GH不相交,E,F,G,H四点可以共面,例如EFGH.故选B.2.B两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况,不正确;垂直于同一条直线的两个平面平行,正确;当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时,它们所成的二面角为直二面角,故正确;当两个平面相交时,分别与两个平面平行的直线也平行,故不正确.综上,属于真命题的序号是.故
7、选B.3.BA中,因为APPB,APPC,PBPC=P,所以AP平面PBC,又BC平面PBC,所以APBC,故A正确;C中,因为平面BPC平面APC,BCPC,所以BC平面APC,因为AP平面APC,所以APBC,故C正确;D中,因为AP平面PBC,BC平面PBC,APBC,故D正确;B中条件不能证明APBC,故选B.4.B将展开图还原为几何体(如图),因为四边形ABCD为正方形,E,F分别为PA,PD的中点,所以EFADBC,则直线BE与CF共面,错;因为AF平面PAD,B平面PAD,E平面PAD,EAF,所以BE与AF是异面直线,正确;因为EFADBC,EF平面PBC,BC平面PBC,所以
8、EF平面PBC,正确;平面PAD与平面BCE不一定垂直,错.故选B.5.B对于,PA平面ABC,PABC.AB为O的直径,BCAC,又PAAC=A,BC平面PAC,又PC平面PAC,BCPC.对于,点M为线段PB的中点,O为AB的中点,OMPA,PA平面PAC,OM平面PAC,OM平面PAC.对于,由知,BC平面PAC,线段BC的长即为点B到平面PAC的距离.故都正确.6.答案平行解析由=,得MNBD.而BD平面BDC,MN平面BDC,所以MN平面BDC.7.答案解析由直线与平面平行的性质定理,知命题正确;若,l,则l或l,命题错误;l,lm,m.又,m,命题正确.8.答案解析中,平面与平面也
9、可能相交;中,易得球的半径为r=a,故该球的表面积为a2;中,由PABC,PBAC得点P在底面ABC的投影为ABC的垂心,故PCAB.9.解析(1)证明:因为D,E分别为棱AC,BC的中点,所以DE是ABC的中位线,所以DEAB.又DE平面ABB1A1,AB平面ABB1A1,所以DE平面ABB1A1.易知DG平面ABB1A1,又DEDG=D,所以平面DEFG平面ABB1A1.(2)当直三棱柱ABC-A1B1C1容器的侧面AA1B1B水平放置时,由(1)可知,液体部分是直四棱柱,其高即为直三棱柱ABC-A1B1C1容器的高,即侧棱长l,当底面ABC水平放置时,设液面的高为h,ABC的面积为S,则
10、由已知条件可知,CDECAB,且SCDE=S,所以S四边形ABED=S.由于两种状态下液体体积相等,所以V液体=Sh=S四边形ABEDl=Sl,即h=l.因此,当底面ABC水平放置时,液面的高为l.10.解析(1)证明:PA平面ABCD,AB平面ABCD,PAAB.又ADAB,PAAD=A,AB平面PAD,又PD平面PAD,PDAB.AP=AD且E为PD的中点,AEPD,又AEAB=A,PD平面 ABE.(2)取PC的中点O,连接OB,OD,AC,由(1)知AB平面PAD,ABCD,CD平面PAD,又PD平面PAD,CDPD,则OD=OP=OC=PC.PA平面ABCD,BC平面ABCD,PAB
11、C,又BCAB,PAAB=A,BC平面PAB,又PB平面PAB,BCPB,则OB=OC=OD=OP,点O为三棱锥C-PBD外接球的球心.PC2=AC2+AP2=AB2+AD2+AP2=(2)2+22+22=36,PC=6,球的半径R=3,V=R3=36.B组提升题组1.D连接MF,FH,MH,由M,F,H分别为BC,AB,AB的中点,可知MF平面AACC,FH平面AACC,所以平面MFH平面AACC,所以点P的运动轨迹是线段FH,其长度为4,故选D.2.答案解析假设AC与BD垂直,过点A作AEBD于E,连接CE.又AEAC=A,BD平面AEC,BDCE,而在平面BCD中,EC与BD不垂直,故假
12、设不成立,错.假设ABCD,又ABAD,CDAD=D,AB平面ACD,ABAC,由ABBC可知,存在这样的直角三角形,使ABCD,故假设成立,正确.假设ADBC,又DCBC,ADDC=D,BC平面ADC,BCAC,即ABC为直角三角形,且AB为斜边,而ABBC,故矛盾,假设不成立,错.综上,填.3.解析(1)证明:在四棱锥P-ABCD中,连接BD交AC于点N,连接MN,依题意知ABCD,ABNCDN,又易知PA=1,AB=2,=2,PM=MB,=2,在BPD中,MNPD,又PD平面MAC,MN平面MAC,PD平面MAC.(2)解法一:平面PAD平面ABCD,且两平面相交于AD,PAAD,PA平
13、面PAD,PA平面ABCD,V三棱锥P-ABC=SABCPA=1=.AB=2,AC=,PB=,PC=,BC=,PB2=PC2+BC2,故PCB=90,设点A到平面PBC的距离为h,则V三棱锥A-PBC=SPBCh=h=h.V三棱锥P-ABC=V三棱锥A-PBC,=h,解得h=.故点A到平面PBC的距离为.解法二:平面PAD平面ABCD,且两平面相交于AD,PAAD,PA平面PAD,PA平面ABCD,BC平面ABCD,PABC,AB=2,AC=,BC=,AB2=AC2+BC2,BCAC,又PAAC=A,PA,AC平面PAC,BC平面PAC,过点A作AEPC于点E,则BCAE,PCBC=C,PC,
14、BC平面PBC,AE平面PBC,点A到平面PBC的距离AE=.4.解析(1)证明:因为AD=1,CD=2,AC=,所以AD2+CD2=AC2,所以ADC为直角三角形,且ADDC.因为ED=1,CD=2,EC=,所以ED2+CD2=EC2,所以EDC为直角三角形,且EDDC.又四边形ADEF是正方形,所以ADDE,因为ADDC=D,所以ED平面ABCD.又BC平面ABCD,所以EDBC.在梯形ABCD中,过点B作BHCD于点H,故四边形ABHD是正方形,所以ADB=45,BD=.在RtBCH中,BH=CH=1,所以BC=,故BD2+BC2=DC2,所以BCBD.因为BDED=D,BD平面EBD,ED平面EBD,所以BC平面EBD,又BC平面EBC,所以平面EBC平面EBD.(2)在线段BC上存在一点T,使得MT平面BDE,此时3BT=BC.理由:连接MT.在EBC中,因为=,所以MTEB.又MT平面BDE,EB平面BDE,所以MT平面BDE.