1、江苏省镇江市丹徒高级中学、句容实验高中、扬中二中2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一.单项选择题1.若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：利用斜率公式求出斜率，进而得到直线的倾斜角.详解：由题直线经过两点，设直线倾斜角为，则 故选D.点睛：本题考查直线斜率公式与倾斜角，属基础题2.复数的虚部为（ ）A. 1B. -1C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的概念判断即可.【详解】复数的虚部为故选：B【点睛】本题主要考查了求复数的虚部，属于基础题.3.已知向量，则等于（ ）A B. C D. 【答案】A【解析】【分析】利用
2、向量的数乘运算和减法运算的坐标表示，即可得解.【详解】由，得，所以，故选：A.【点睛】本题考查平面向量线性运算的坐标表示，属于基础题.4.如图，已知向量，那么下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据向量加法的三角形法则，向量首尾顺次相连，所以根据图形可知，与向量反向且相等，所以.故选择B.5.在中，则A等于（ ）A. B. 或C. D. 【答案】B【解析】【详解】在中，由正弦定理得，所以，因为，所以，又，所以或故选：B6.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则ABC的形状为（ ）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三
3、角形【答案】B【解析】试题分析：由已知及余弦定理可解得b=c，即可判断得解解：，由余弦定理可得：，整理可得：b=c故选B考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数7.在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC和DC的中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即可.【详解】以点为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系故选：C【点睛】本题主要考查了求平面向量的数量积，属于中档题.8.在ABC中，A=60，b=1， 求=（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据三角形面积公式求出c的值，利用余弦定理求出a的值，结合正弦定理即可
4、求解.【详解】由得，由余弦定理可得，则，由正弦定理得，则故选：D【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用及面积公式，属于基础题.二.多项选择题9.在下列四个命题中，错误的有（ ）A. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率B. 直线的倾斜角的取值范围是，C. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率D. 直线y=3x2 在y轴上的截距为2【答案】BCD【解析】【分析】由倾斜角和斜率的定义及关系进行判断即可.【详解】解：对于A，任意一条直线都有倾斜角，但当倾斜角为直角时，其斜率不存在，所以A正确；对于B，直线的倾斜角的取值范围中不含180度，所以B不正确；对于C，当倾斜角为直角时，其斜率
5、不存在，所以C不正确；对于D，直线y=3x2 在y轴上的截距应为-2，所以D不正确故选：BCD【点睛】此题考查了倾斜角和斜率之间的关系，属于基础题.10.已知复数，则以下说法正确的是（ ）A. 复数的虚部为B. 的共轭复数C. D. 在复平面内与对应的点在第二象限【答案】CD【解析】【分析】利用复数的乘除运算可得，根据复数的概念可判断A；根据共轭复数的概念可判断B；根据复数的模可判断C；根据复数的几何意义可判断D.【详解】，复数的虚部为，的共轭复数，复平面内与对应的点的坐标为，在第二象限.故选：CD.【点睛】本题考查了复数的基本知识，需掌握复数的概念、共轭复数的概念、复数的模以及复数的几何意义
6、，属于基础题.11.对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）A. 若，则B. 若，则为等腰三角形C. 若，则是钝角三角形D. 若，则符合条件的有两个【答案】AC【解析】【分析】对于A，利用三角形中大边对大角及正弦定理即可判断；对于B，由，得到或，进而得解；对于C，利用正弦定理和余弦定理即可判断；对于D，利用余弦定理，即可得解.【详解】对于A，若，则，由正弦定理，得，所以，即，故A正确；对于B，若，则或，若，则为等腰三角形；若，则，则为直角三角形，故B不正确；对于C，由，结合正弦定理可得，所以为钝角，所以是钝角三角形，故C正确；对于D， ，即，解得，只有一个解，故D不正确.故选：AC.【点睛】本
7、题主要考查正弦定理和余弦定理的应用及三角形形状的判断，考查学生的运算求解能力，属于中档题.12.在ABC中，下列结论正确的是（ ）A. ；B. ；C. 若，则ABC是锐角三角形D. 若，则ABC是等腰三角形；【答案】ABD【解析】【分析】由向量的加减法法则，数量积运算逐个进行判断即可.【详解】解：对于A，由向量的减法法则可知是正确的；对于B，由向量的加法法则可知也是正确的；对于C，由，可得角A是锐角，但不能判断角B,C的大小，所以ABC不一定是锐角三角形，所以C不正确；对于D，由，得，所以，所以ABC是等腰三角形，所以D正确，故选：ABD【点睛】此题考查了向量的加减法法则，向量的数量积运算，属
8、于基础题.三.填空题13.直线过点，倾斜角为.则直线的斜截式方程为_.【答案】【解析】【分析】根据倾斜角，求出斜率，写出直线的点斜式方程，然后化为斜截式方程即可.【详解】直线的倾斜角为，直线的斜率，又因为直线过点，所以直线的方程为，即，所以直线的斜截式方程为.故答案为：.【点睛】本题考查直线斜率的定义、直线的点斜式方程及斜截式方程，属于基础题.14.如图，测量河对岸的塔高时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高=_.【答案】【解析】【分析】由正弦定理得出，再由直角三角形的边角关系得出.【详解】由正弦定理得故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理的
9、实际应用，属于中档题.15.已知向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】利用向量的数量积大于0，且向量不共线，得到关于的不等式，解不等式即可得答案.【详解】与的夹角为锐角，解得：.故答案为：.【点睛】本题考查向量夹角计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意把向量共线的情况去掉，才不会出现错解.16.在中，为边的中点， ，则_.【答案】【解析】【分析】由三角形面积公式得出，由余弦定理得出，结合勾股定理即可得出答案.【详解】由题设条件可得，即则，即由余弦定理可得在中，故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形面积公式的应用以及余
10、弦定理的应用，属于中档题.四.解答题17.已知复数z12ai(其中aR且a0，i虚数单位)，且为纯虚数(1)求实数a的值；(2)若，求复数z的模.【答案】（1）a2（2）|z|2【解析】【分析】（1）根据复数的运算，求得，由为实数，列出方程组，即可求解；（2）化简复数得，利用复数的模的计算公式，即可求解.【详解】(1)z (2 ai)2 4a2 4ai，因为z为纯虚数，所以解得a2.(2)z122i，z2i，|z|2.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念和复数的分类，其中解答中熟记复数的基本运算公式和复数的基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18.已知平面向量=
11、(1，x)，=(2x+3，-x)，xR.（1）若，求x的值；（2）若，求|-|的值.【答案】（1）或.（2）或【解析】【分析】（1）由得其数量积等于0，从而列出关于x的方程，解方程可得x的值；（2）由，得1(-x)-x(2x+3)=0，解出x的值，可求出的坐标，从而可求出其模.【详解】（1）若，则=(1，x)(2x+3，-x)=1(2x+3)+x(-x)=0 整理得x2-2x-3=0，解得x=-1或x=3. （2）若，则有1(-x)-x(2x+3)=0，即x(2x+4)=0，解得x=0或x=-2. 当x=0时，=(1，0)，=(3，0)，-=(-2，0)，|-|=2； 当x=-2时，=(1，-
12、2)，=(-1，2)，-=(2，-4)，|-|=2 综上，可知|-|=2或2.【点睛】此题考查了平面向量垂直和平行的坐标运算，属于基础题.19.已知，分别是中角，的对边，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】(1) ;(2) .【解析】【分析】（1）根据正弦定理将已知等式转化为，得，求出的值，即可得出的值；（2）由正弦定理化简，得,再由和的值，利用余弦定理得到关于方程组，求出的值，即可求出的面积.【详解】（1）由及正弦定理，得，又，故.（2）由及，得.由及余弦定理，得，所以，.故.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形，熟记公式是解题的关键，属于基础题.20.如图，已
13、知正三角形的边长为1，设，.（1）若是的中点，用分别表示向量，；（2）求； （3）求与的夹角.【答案】（1）， ；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）运用向量的三角形法则以及运用中点的向量表示，即可得到所求向量；（2）运用向量的模的平方和向量的平方是相等的，结合向量数量积的运算性质求得结果；（3）结合第二问的结合和解题思路，求得，应用向量的夹角余弦公式，结合向量数量积的运算性质求得结果.【详解】（1）， （2）由题意知，且，则 所以 （3） 与（2）解法相同，可得设与的夹角为，则，因为所以与的夹角为.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有平面向量的分解，三角形法则，向量的模的平
14、方和向量的平方是相等的，向量所成角的余弦值，属于简单题目.21.已知直线l过点P（3，4）(1)它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程.(2)若直线l与轴，轴的正半轴分别交于点，求的面积的最小值.【答案】(1)直线l的方程为：或；(2)24.【解析】【分析】（1）当直线过原点时，符合题意，求出斜率即可得出；当直线不过原点时，由于它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，可设直线l的方程为截距式，把点P的坐标代入即可；（2）设直线l的方程为截距式，由直线l过点P（3，4）可得方程，利用基本不等式即可得出ab的最小值，进而得到三角形AOB的面积的最小值【详解】（1）当直线l过原点时，符合
15、题意，斜率，直线方程为，即；当直线l不过原点时，它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，可设直线l的方程为：直线l过点P（3，4），解得a=5直线l的方程为：，即综上所述，所求直线l方程为或（2）设直线l的方程为，由直线l过点P（3，4）得：，化为，当且仅当a=6，b=8时取等号的面积，其最小值为24【点睛】本题考查了直线截距式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于基础题，解决二元最值或者范围问题，常用的方法有：不等式的应用“1”的妙用，线规的应用，二元化一元等方法.22.如图，在中，.是内一点，且.（1）若，求线段的长度；（2）若，求的面积.【答案】(1) .(2).【解析】分析：（1）在中可得，然后在中由余弦定理可得（2）设，则在中可得；又在中根据正弦定理可得，结合平方关系得到，故得 详解：（1）因为，所以在中，所以在中，由余弦定理得，所以（2）设，则，在中，所以，在中，由正弦定理得，所以 ，所以，又，所以，所以 .点睛：（1）利用解三角形的方法解决平面几何中的问题时，首先要结合题意及条件确定所要解的三角形，然后分析是根据正弦定理还是余弦定理求解（2）求三角形的面积时，可先利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的各个边、角后，再根据面积公式直接求解即可