1、第四节不等式的性质与基本不等式考试要求：1理解不等式的概念，掌握不等式的性质2掌握基本不等式(a0，b0)，能用基本不等式解决简单的最值问题一、教材概念结论性质重现1两个实数比较大小的依据(1)ab0ab(2)ab0ab(3)ab0abbb，bcac(3)可加性：abacbc，ab，cdacbd(同向可加性)(4)可乘性：ab，c0acbc，ab0，cd0acbd(正数同向可乘性)(5)可乘方性：ab0anbn(nN，n2)(6)可开方性：ab0(nN，n2)倒数性质的两个必备结论(1)ab，ab0(2)a0b3基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0(2)等号成立的条件：当且仅当ab
2、时取等号(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数4利用基本不等式求最值已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值s，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)1使用基本不等式求最值时，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可2“当且仅当ab时等号成立”的含义是“ab”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误3连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致5常用结论(1)(a，bR)(2)2(ab0)(当且仅当ab时取等号)(3) (a0，b0)(4)
3、若ab0，m0，则；(bm0)二、基本技能思想活动经验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变()(2)一个非零实数越大，则其倒数就越小()(3)不等式a2b22ab与成立的条件是相同的()(4)函数f(x)sin x的最小值为4()2设ba，dc，则下列不等式中一定成立的是()AacbdBacbdDadbcC解析：由同向不等式具有可加性可知C正确3当x0时，函数f(x)有()A最小值1B最大值1C最小值2D最大值2B解析：f(x)1，当且仅当x(x0)，即x1时取等号，所以f(x)有最大值14(2021南阳统考)已知a，b为正实数
4、，且ab1，则P(axby)2与Qax2by2的关系是()APQBPQA解析：不妨取ab，则PQ(xy)2x2y2(xy)20，所以PQ5若0ab，且ab1，将a，b，2ab，a2b2从小到大排列为_a2aba2b2b解析：令a，b，代入2ab，a2b2，所以a2aba2b2b考点1不等式的性质基础性1下列命题正确的是()A若ab，则b，则a2b2C若ab，cbdD若ab，cd，则acbdC解析：对于A，若ab，取a1，b1，则b，取a0，b1，则a2b2不成立；对于C，若ab，cbd，正确；对于D，若ab，cd，取a1，b1，c1，d2，则acbd不成立2(多选题)对于实数a，b，c，下列命
5、题是真命题的为()A若ab，则acbc2，则abC若ababb2D若a0b，则|a|bc2，则c0，c20，故ab，B为真命题；若abab且abb2，即a2abb2，C为真命题；当a1，b1时，|a|b|，故D为假命题3(2022济南质量检测)已知实数a，b，c满足abc，且abBa(cb)bc2Dab(ba)0B解析：因为abc，且ab0，所以a0b0，a0，可得a(cb)0，选项B正确；取a1，b1，c2，则，ac2bc2，ab(ba)a0，m”或“a0，m0因为mbmam(ba)0，所以mbma因为0，所以0，所以 x(43x)(3x)(43x)，当且仅当 3x43x，即x时，等号成立(
6、2)当取得最小值时，x_4解析：11215，当且仅当1，即x4时，等号成立配凑法求最值的依据、技巧(1)依据：基本不等式(2)技巧：通过添项、拆项、变系数、凑因子等方法凑成和为定值或积为定值的形式，即符合“一正、二定、三相等”的条件，然后利用基本不等式求解最值考向2常值代换法求最值(1)已知a0，b0，ab1，则的最小值为_4解析：因为ab1，所以(ab)222224，当且仅当ab时，等号成立(2)已知x2yxy(x0，y0)，则2xy的最小值为_9解析：由x2yxy得1，所以2xy(2xy)5529，当且仅当，即xy时，等号成立，所以2xy的最小值为91将本例(1)条件“ab1”改为“a2b
7、3”，则的最小值为_1解析：因为a2b3，所以ab1所以121当且仅当ab时，等号成立2若本例(1)条件不变，则的最小值为_9解析：5529当且仅当ab时，等号成立常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)(2)把确定的定值(常数)变形为1(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式(4)利用基本不等式求解最值考向3消元法求最值(1)已知正数a，b，c满足2abc0，则的最大值为()A8B2CDC解析：因为a，b，c都是正数，且满足2abc0，所以b2ac，所以，当且仅当c2a0时，等号成立(2)已知5x2y2y41(x，yR)，则x2y2的最
8、小值是_解析：方法一：由5x2y2y41，可得x2，由x20，可得y2(0,1，则x2y2y22，当且仅当y2，x2时，等号成立，故x2y2的最小值为方法二：4(5x2y2)4y2(x2y2)2，当且仅当5x2y24y22，即y2，x2，等号成立，故x2y2，即x2y2的最小值为消元法求最值的技巧(1)消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解(2)如果出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解，但一定要注意各个元的范围(多选题)设正实数m，n满足mn2，则()A的最小值为2B的最小值为2C的最大值为1Dm2n2的最小值为2BCD解析：因为正实数m，
9、n满足mn2，所以(mn)， 当且仅当且mn2，即m22，n42时取等号，A错误；()2mn222224，当且仅当mn1时取等号，所以 2, 即最小值为2，B正确；由mn1, 当且仅当mn1时取等号，此时取最大值，C正确；m2n2(mn)22mn42mn2，当且仅当mn1时取等号，即 m2n2的最小值为2，D正确考点3利用基本不等式解决实际问题应用性(2021泰安调研)某公司生产的商品A，当每件售价为5元时，年销售10万件(1)据市场调查，价格每提高1元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多可提高多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行
10、技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x元，公司拟投入(x2x)万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用试问：技术革新后生产的该商品销售量m至少应达到多少万件时，才能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？解：(1)设商品的销售价格提高a元，则(10a)(5a)50，解得0a5所以商品的价格最多可以提高5元(2)由题意知，技术革新后的销售收入为mx万元，若技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和，只需满足mx(x2x)50(x5)即可，此时mx2，当且仅当x，即x10时等号成立故销售量至少应达到万件时，才能使技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和利用基本不等
11、式求解实际问题的两个注意点(1)利用基本不等式解决实际问题时，应明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解1司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析()A甲合适B乙合适C油价先高后低甲合适D油价先低后高甲合适B解析：设甲每次加m升油，乙每次加n元钱的油，第一次加油x元/升，第二次加油y元/升甲的平均单价为，乙的平均单价为因为xy，所以1，即乙的两次平均单价低，乙的方式更合适2(
12、多选题)(2022枣庄期末)如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是2 km，从P点沿海岸线正东方向12 km处有一个城镇假设一个人驾驶小船的平均行进速度为3 km/h，步行的平均速度为5 km/h，时间t(单位：h)表示他从小岛到城镇的时间，x(单位：km)表示此人将船停在海岸距点P处的距离设ux，vx，则()A函数vf(u)为减函数B15tu4v32C当x1.5时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D当x4时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3 hAC解析：因为ux，vx，所以，x，uv4，则v，其在(0，)上是减函数，A正确；t，整理得15tu4v36，B错误；15tu3623644
13、，当且仅当u，即u4时等号成立，则4x，解得x1.5，C正确；当x4时，t，t30，则t3，D错误3某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为yx218x25(xN*)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是_万元8解析：每台机器运转x年的年平均利润为18，而x0，故1828，当且仅当x5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8万元拓展考点绝对值三角不等式定理1如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅
14、当(ab)(bc)0时，等号成立已知x，yR，且|xy|，|xy|，求证：|x5y|1证明：|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|321，即|x5y|1证明绝对值不等式的3种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明(2)利用三角不等式|a|b|ab|a|b|进行证明(3)转化为函数问题，数形结合进行证明已知ab0，则a2的最小值是_四字程序读想算思a2最小值求最小值的方法构造定积转化与化归ab01构造定积2三角换元1定和求积定积求和2变形：b(ab)a，构造定积3三角代换构造定积4求导1定和求积积最大，定积求和和最小2三角代换条件思路参考：消b，转
15、化为含a的式子求最值4解析：由于a2中有两个变量，并注意到b(ab)a，则b(ab) 这样就消去变量b，因此a2a24 当且仅当bab，a2时等号成立，即a，b时等号成立故a2的最小值是4思路参考：用b和ab表达a后求最值4解析：注意到b(ab)a，则b(ab)2a2，则a2b(ab)24b(ab)4当且仅当4b(ab)，即a，b时等号成立 故a2的最小值是4思路参考：利用三角换元求最值4解析：由b(ab)a，联想到三角换元，令abacos2， basin2，于是a2a2a2a24，当且仅当a2，sin221，即a，b时等号成立 故a2的最小值是4思路参考：设f(x)a2，求导得最值4解析：f(x)，当x时，f(x)取最大值，即b时，a2取最小值a2a24，此时a，b1利用均值不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值，是求解最值问题的常用方法 其中常见的变形手段有拆项、并项、配式及配系数等2基于新课程标准，求最值问题一般要有对代数式的变形能力、推理能力和表达能力，本题的解答体现了逻辑推理、数学运算的核心素养已知x0，y1，且x2yxy1，则xy的最小值为_5解析：令xyt，则xty将xty代入x2yxy1，得tytyy21，即y2(1t)yt10，(1t)24(t1)t26t50，得t1(舍去)或t5故xy的最小值为5