1、4.4 对数函数1对数函数的定义一般地，我们把函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，).(1)由于指数函数yax中的底数a满足a0，且a1，则对数函数ylogax中的底数a也必须满足a0，且a1.(2)对数函数的解析式同时满足：对数符号前面的系数是1；对数的底数是不等于1的正实数(常数)；对数的真数仅有自变量x.2对数函数的图象和性质一般地，对数函数ylogax(a0，且a1)的图象和性质如下表所示：a10a1图象性质定义域：(0，)值域：R图象过定点(1,0)，即当x1时，y0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数非奇非偶函数3.反函数对数函数y
2、logax(a0，且a1)和指数函数yax(a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称4对数型复合函数的单调性复合函数yfg(x)是由yf(x)与yg(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数fg(x)为增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数fg(x)为减函数.对于对数型复合函数ylogaf(x)来说，函数ylogaf(x)可看成是ylogau与uf(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域5对数型复合函数的值域对于形如ylogaf(x)(a0，且a1)的复合函数，
3、其值域的求解步骤如下：(1)分解成ylogau，uf(x)两个函数；(2)解f(x)0，求出函数的定义域；(3)求u的取值范围；(4)利用ylogau的单调性求解题型一 对数函数的判断例1、（1）给出下列函数：；.其中是对数函数的有（ ）A1个B2个C3个D4个（2）若函数为对数函数，则（ ）ABCD解:（1）不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；不是对数函数，因为对数的底数不是常数；是对数函数（2）由题可知：函数为对数函数所以或，又且所以跟踪练习1下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）ylogx2；ylogax(aR)；ylog8x；yln x；ylogx(x2)；ylog2(x1)
4、A1个B2个C3个D4个【解析】形如（且）的函数为对数函数，故为对数函数，所以共有个.2下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）；.A1个B2个C3个D4个【解析】由于中自变量出现在底数上，不是对数函数；由于中底数不能保证，且，不是对数函数；由于的真数分别为，也不是对数函数；由于中的系数为2，也不是对数函数；只有符合对数函数的定义.3（全国高一课时练习）若函数是对数函数，_.【解析】由对数函数的定义可知，解得题型二 对数函数的解析式或函数值例2（1）（上海高一专题练习）对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（ ）Aylog5xByCyDylog3x（2）（全国高一课前预习）设
5、（且），若，则（ ）.A2BCD【解析】（1）设函数解析式为ylogax(a0，且a1)由于对数函数的图像过点M(125，3)，所以3loga125，得a5.所以对数函数的解析式为ylog5x.（2）因为（且），所以，即，解得，所以，所以.跟踪练习1若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（ ）ABC或D不确定【解析】设函数为，依题可知，解得，所以该对数函数的解析式为2若函数的图像过点，则的值为（ ）AB2CD【解析】由题, .题型三 对数函数的定义域例3（1）函数的定义域为（ ）ABCD（2）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）ABCD（3）若函数的定义域为，则（ ）A1B1C2
6、D无法确定【解析】（1）对于函数，有，解得.因此，函数的定义域为.（2） 由，得，所以，所以（3）函数的定义域为，则的解集为，即，且的根，故.跟踪练习1函数的定义域为（ ）ABCD【解析】要使函数有意义，只需，即，解得或2函数的定义域是（ ）ABCD【解析】由已知得，解得，所以函数的定义域为3若函数的定义域为，则的定义域为（ ）ABCD【解析】因为函数的定义域为，所以，所以，解得：，所以的定义域为.4.求下列函数的定义域（1）；（2）函数 （3）【解析】（1）若要使函数有意义，则，解得或且，所以该函数的定义域为；（2）若要使函数有意义，则，解得，所以该函数的定义域为；（3）若要使函数有意义，则
7、，解得且，所以该函数的定义域为.题型四 对数函数的定点例4函数（，且）的图象一定经过的点是（ ）ABCD【解析】令，则，即函数图象过定点跟踪练习1函数的图象过定点（ ）ABCD【解析】对于函数，令，可得，则，因此，函数的图象过定点.2函数的图象必过的点是（ ）ABCD【解析】，则当，即时，是与的值无关的定值，故函数的图形必过的点是.3（湖北高一开学考试）已知函数（且）的图象恒过定点P，点P在幂函数的图象上，则（ )AB2C1D【解析】函数中，令，解得，此时；所以函数y的图象恒过定点，又点P在幂函数的图象上，所以，解得；所以，所以题型五 对数函数的值域（最值）例5（1）已知，则函数的值域是 。（
8、2）函数的值域为_（3）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 。（4）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是 解析（1）函数在上单调递增所以，即所以函数的值域为（2）因为，所以，因此，故函数的值域为.（3）当时，则，所以，函数在区间上的值域包含，所以，存在，使得，即，而函数在区间上为增函数，.（4）函数的值域为，令，当时，不合题意；当时，此时，满足题意；当时，要使函数的值域为，则函数的值域 包含，解得，综上，实数的取值范围是.跟踪练习1已知函数，则f（x）的值域是（）AB，2C0，2D0，【解析】函数是减函数，所以函数的最小值为：，函数的最大值为：函数的值域为：2已知函数的值域为，则实数的取值
9、范围是（ ）ABCD【解析】设，因为函数的值域为，所以要能取到的所有数，当时，满足条件；当时，得；当时，不成立.综上可知，.3已知且，若函数的值域为1，+），则的取值范围是（ ）ABCD【解析】由函数，当时，当时，若时，函数单调递减，所以，若时，函数单调递增，所以，又因为分段函数的值域为1，+），所以，所以.所以的取值范围是.4（广东阳江高一期末）函数的值域为R，则的取值范围是_.【解析】函数的值域为R，能够取到大于的所有数，则，解得：或，实数的取值范围是5已知函数的值域是R，则实数的最大值是_；【解析】当时，因为的值域为，则当时，当时，故在，上单调递增，即，解得，即的最大值为8题型六 对数函
10、数的单调性例6（1）下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）ABCD（2）函数的单调递增区间是（ ）ABCD（3）函数的单调递增区间为（ ）ABCD（4）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）ABC或D或【解析】（1）由幂函数性质知是奇函数，是偶函数，由指数函数性质知不是奇函数也不是偶函数，由绝对值性质和对数函数性质知是偶函数，又是定义域内是增函数故选：A（2）由，而对数函数在上是减函数，在上是增函数，所以函数单调递增区间为故选：C（3）对于函数，有，解得或，故函数的定义域为，内层函数在上单调递减，在上单调递增，外层函数为减函数，由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区
11、间为.故选：D.（4）函数是由与复合而成，当时，因为为减函数，且函数在区间上单调递增，所以在上单调递减，结合的图像可得，解得当时，因为为增函数，且函数在区间上单调递增，所以在上单调递增，又因为此时，结合的图像可知此时符合题意综上所述：实数a的取值范围为或.故选：C跟踪练习1下列函数在其定义域内为减函数的是（ ）ABCD【解析】由幂函数的性质，可知A中函数为单调增函数，由一次函数性质可知B中函数为增函数，由对数函数性质可知C中函数为增函数，由指数函数性质，可知D中函数为单调减函数.2函数的单调递减区间为_.【解析】由得，令，由于函数的对称轴为，开口向上，在上递减，在（4，）递增，又由函数是定义域
12、内的减函数，原函数的单调递减区间为（4，）3若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为_【解析】由可得，解得，函数是由和复合而成，又对称轴为，开口向下，所以 在上单调递增，在上单调递减，因为为减函数，所以的单调增区间为，因为在区间内单调递增，所以，解得，所以实数的取值范围为，故答案为：4已知函数（，且）在上是减函数，则实数a的取值范围是_【解析】令，则，因为，所以递减，由题意知在内递增，所以又在上恒大于0，所以，即综上，实数a的取值范围是：题型七 对数函数比较大小例7（1）（全国）已知，则（ ）ABCD（2）（广西南宁三中）已知奇函数在上是增函数，若，则的大小关系为ABCD【解析】（1）因为，
13、所以故选: A .（2）由题意：，且：，据此：，结合函数的单调性有：，跟踪练习1已知，则，的大小关系为ABCD【解析】，.2已知，则的大小关系为ABCD【解析】，故，所以3已知，则x，y，z的大小关系是ABCD【解析】解：，y，z的大小关系为4设，则，的大小关系是（ ）ABCD【解析】因为为减函数，所以，因为在单调递减，所以，因为在单调递增，即，所以.题型八 解对数不等式例8（1）不等式log(5x)log(1x)的解集为_（2）（运城市新康国际实验学校高一开学考试）设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）ABCD【解析】（1）不等式满足解得2x1故答案为：x|2x1.（2）定义在上的函数满足，
14、所以为偶函数，当时，为增函数，由结合偶函数图象的对称性可知，两边平方并化简得，解得.所以不等式的解集为.故选：A跟踪练习1“”是“”的（ ）条件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分又不必要【解析】，一定有，但时，不一定有，如，都不存在，因此题中是必要不充分条件2不等式的解集为()A(，3) B.C. D.【解析】由题意可得解得x3.3若loga1时，满足条件；当0a1时，由得0a，综上，a(1，)4（安徽省亳州市第一中学高一月考）已知函数是奇函数，则的解集为_【解析】根据题意，函数，则，若为奇函数，则有，解得：，所以，又当时单调递增，且，根据奇函数的性质可得在上单调递增，因为，所以，解得，
15、即原不等式的解集为；故答案为： 题型九 图像问题例9图中曲线分别表示的图像，的关系是（ ）ABCD【解析】如图所示：当时，因为，所以跟踪练习1已知函数的大致图象如下图，则幂函数在第一象限的图象可能是（ ）ABCD【解析】由的图象可知，所以，得，所以，所以幂函数在第一象限的图象可能为.2已知函数，的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（ ）ABCD【解析】由图,当时,当时,又幂函数为增函数且上凸,故.故.3设幂函数，指数函数，对数函数在同一坐标系中的图象如下图所示，则它们之间的大小关系错误的是（ ）.ABCD【解析】对于A：要判断的是幂函数的图像，根据的图像可以判断，故A正确；对于B：要判断的
16、是指数函数的图像，作出x=1，看交点，交点高，底数越大，所以，故B正确；对于C、D：要判断的是对数函数的图像，作出y=1，看交点，交点越靠由，底数越大，所以，故D正确， C错误；故选：C题型十 反函数例10（1）已知函数图像与函数的图像关于对称，则_.（2）若函数的图像与的图像关于直线对称，则_.【解析】（1）函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数与函数互为反函数，.故答案为：（2）令，即 ，解得 ，因为函数的图像与的图像关于直线对称，所以3故答案为：3跟踪练习1已知（且），若函数的反函数为若，则_【解析】故答案为：22若函数，没有反函数，则的取值范围是_【解析】因为函数，没有反函数，则函数在定义域内不单调，又函数的对称轴为，所以，解得，故答案为：3已知函数的反函数为，若函数的图像过点，则实数a的值为_【解析】的图象过点，函数的图象过点，又，即故答案为：