1、54.3正切函数的性质与图象教材要点要点函数ytan x的图象和性质解析式ytan x图象定义域_值域_周期_奇偶性_单调性在区间_都是增函数对称中心(kZ)如何作正切函数的图象(1)几何法就是利用单位圆中的正切线来做出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较烦琐(2)“三点两线”法“三点”是指，(0，0)，；“两线”是指x和x.在“三点”确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线基础自测1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)正切函数在整个定义域内是增函数()(2)存在某个区间，使正切函数为减函数()(3)正切函数图象相
2、邻两个对称中心的距离为周期.()(4)函数ytan x为奇函数，故对任意xR都有tan (x)tan x()2函数ytan 的定义域是()A BC D3已知函数f(x)tan ，则函数f(x)的最小正周期为()A BC D24比较大小：tan 135_tan 138.(填“”或“”)正切函数的定义域、周期性、奇偶性例1(1)函数f(x)tan 的最小正周期为()A BC D2(2)函数f(x)xtan x的奇偶性为()A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既是奇函数又是偶函数(3)函数y的定义域为_方法归纳(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数yt
3、an x有意义，即xk，kZ.而对于构建的三角不等式，常利用正切函数的图象求解(2)一般地，函数yA tan (x)的最小正周期为T，常利用此公式来求与正切函数有关的周期(3)函数ytan x是奇函数，其图象关于原点对称若函数ytan (x)是奇函数，则(kZ).跟踪训练1(1)函数y的定义域为()Ax|x0 Bx|xk，kZC D(2)(多选)关于函数ytan ，下列说法正确的是()A是奇函数B在区间上单调递减C为其图象的一个对称中心D最小正周期为题型2正切函数的单调性及应用【角度1】求正切函数的单调区间例2求函数ytan 的单调区间方法归纳求函数yA tan (x)(A，都是常数)的单调区
4、间的方法(1)若0，由于ytan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kxk，kZ，解得x的范围即可(2)若0，可利用诱导公式先把yA tan (x)转化为yA tan (x)A tan (x)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可【角度2】比较大小例3比较tan 1.5，tan 2.5，tan 3.5的大小方法归纳运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内(2)运用单调性比较大小关系跟踪训练2(1)已知atan 1，btan 2，ctan 3，则()Aabc BcbaCbca Dbac(2)函数y
5、tan 的单调增区间为_正切函数图象与性质的综合应用例4已知函数f(x)2tan .(1)求f(x)的最小正周期、定义域；(2)若f(x)2，求x的取值范围方法归纳解答正切函数图象与性质问题应注意的两点(1)对称性：正切函数图象的对称中心是(kZ)，不存在对称轴(2)单调性：正切函数在每个(kZ)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的跟踪训练3设函数f(x)tan .(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心；(2)求不等式1f(x)的解集不能正确掌握正切函数的对称中心致误例5函数ytan (2x)n的图象的一个对称中心为，其中，则点(，n)对应的坐标为_.解析：因
6、为ytan x的对称中心为，kZ，所以由ytan (2x)n的图象的一个对称中心为可知，n1，2，kZ.又，所以.答案：易错警示易错原因纠错心得误认为正切函数的对称中心是(k，0)(kZ)，导致解题错误通过正切函数的图象准确掌握正切函数的对称中心是(kZ)，而不是(k，0)(kZ).课堂十分钟1函数ytan x是()A周期为的偶函数 B周期为的奇函数C周期为的偶函数 D周期为的奇函数2函数ytan (x)的单调递增区间是()A(kZ)B(kZ)C(kZ)D(kZ)3函数ytan 的定义域为_4设函数f(x)tan .(1)求函数f(x)的最小正周期、对称中心；(2)作出函数f(x)在一个周期内
7、的简图54.3正切函数的性质与图象新知初探课前预习要点R奇函数(kZ)基础自测1(1)(2)(3)(4)2答案：D3答案：B4答案：题型探究课堂解透例1解析：(1)由T，得T2.故选D.(2)因为函数f(x)xtan x的定义域为，关于原点对称，且f(x)(x)tan (x)(x)(tan x)xtan xf(x)，所以函数f(x)xtan x是偶函数故选B.(3)由题意知解得所以函数的定义域为(kZ)答案：(1)D(2)B(3)(kZ)跟踪训练1解析：(1)函数y有意义时，需使所以函数的定义域为.故选D.(2)函数ytan 是非奇非偶函数，A错误；在区间上单调递增，B错误；因为当x时，tan
8、 0，所以为其图象的一个对称中心，C正确；最小正周期为，D正确答案：(1)D(2)CD例2解析：ytan tan .由k3xk(kZ)，得x(kZ).所以函数ytan 的单调递减区间为(kZ).例3解析：tan 2.5tan (2.5)，tan 3.5tan (3.5)，又2.53.51.5，ytan x在上是增函数故tan (2.5)tan (3.5)tan 1.5，即tan 2.5tan 3.50，btan 2tan (2)0，ctan 3tan (3)230，且ytan x在上单调递增，tan (2)tan (3)0，tan (2)tan (3)0cb.故选C.(2)ytan ，由kxk
9、，kZ，得2kx2k，kZ，所以函数ytan 的递增区间是，kZ.答案：(1)C(2)，kZ例4解析：(1)对于函数f(x)2tan ，它的最小正周期为2，由k，求得x2k，故它的定义域为.(2)f(x)2，即tan 1，故kk，解得2kx2k，故x的取值范围为，kZ.跟踪训练3解析：(1)由k(kZ).得x2k(kZ).所以f(x)的定义域是.因为，所以最小正周期T2.由kk(kZ)，得2kx2k(kZ).所以函数f(x)的单调递增区间是(kZ).由(kZ)，得xk(kZ)，故函数f(x)的对称中心是，kZ.(2)由1tan ，得kk(kZ)，解得2kx2k(kZ).所以不等式1f(x)的解集是.课堂十分钟1答案：B2答案：B3答案：4解析：(1)ftan ，T3，令，kZ，解得xk，kZ，故对称中心为.(2)令0，解得x，令，解得x，令，解得x，令，解得x，令，解得x，所以函数ftan 的图象与x轴的一个交点坐标为，图象上的点有、两点，在这个周期内左右两侧相邻的渐近线方程分别为x和x，从而得到函数f在一个周期内的简图(如图).