1、第三讲等比数列及其前n项和知识梳理双基自测知识点一等比数列的概念(1)等比数列的定义如果一个数列_从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)_，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_公比_，通常用字母_q_表示符号语言：_q_(nN*，q为非零常数)(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么_G_叫做a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2_ab_.注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab0时，a、b才有等比中项，且有互为相反数的两个知识点二等比数列的有关公式(1)通项公式：an_a1qn1_amqnm_.(2)前n项和公式
2、：Sn知识点三等比数列的主要性质设数列an是等比数列，Sn是其前n项和(1)若mnpq，则amanapaq，其中m，n，p，qN*，特别地，若2spr，则apara，其中p，s，rN*.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为qm(k，mN*)(3)若数列an，bn是两个项数相同的等比数列，则数列ban，panqbn和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列(4)当q1或q1且k为奇数时，Sk，S2kSk，S3kS2k，是等比数列当q1且k为偶数时，Sk，S2kSk，S3kS2k，不是等比数列(5)等比数列an的单调性满足或时，an是递增数列满
3、足或时，an是递减数列当时，an为常数列当q0(nN*)，则logaan(a0且a1)成等差数列，反之亦然(6)若an是等差数列，则aan(a0，a1)成等比数列，反之亦然(7)三个数成等比数列可设三数为，b，bq，四个数成等比数列且公比大于0时，可设四个数为，bq，bq3.2等比数列前n项和公式的推导方法_错位相减法_.题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列()(2)如果数列an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(3)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列()(4)数列a
4、n的通项公式是anan，则其前n项和为Sn.()(5)数列an为等比数列，则S4，S8S4，S12S8成等比数列()题组二走进教材2(必修5P46T4改编)已知an是等比数列，a22，a5，则公比q等于(D)AB2C2D解析由题意知q3，即q.3(必修5P54A组T8改编)在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_12,48_.解析设该数列的公比为q，由题意知，1923q3，q364，所以q4.所以插入的两个数分别为3412,12448.4(必修5P62B组T2改编)等比数列an的首项a11，前n项和为Sn，若，则an的通项公式an_n1_.解析因为，所以，因为S5
5、，S10S5，S15S10成等比数列，且公比为q5，所以q5，q，则an1n1n1.题组三走向高考5(2020课标，10,5分)设an是等比数列，且a1a2a31，a2a3a42，则a6a7a8(D)A12B24C30D32解析设等比数列an的公比为q，故a2a3a4q(a1a2a3)，又a2a3a42，a1a2a31，q2，a6a7a8q5(a1a2a3)2532，故选D6(2018北京，5)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每个单音的频率与它的前一个
6、单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为(D)AfBfCfDf解析本题主要考查等比数列的概念和通项公式，数学的实际应用由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f，公比为的等比数列，设此数列为an，则a8f，即第八个单音的频率为f，故选D7(2019全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和若a1，aa6，则S5_.解析解法一：设等比数列an的公比为q，因为aa6，所以(a1q3)2a1q5，所以a1q1，又a1，所以q3，所以S5.解法二：设等比数列an的公比为q，因为aa6，所以a2a6a6，所以a21，又a1，所以q3，所以S5.考点突破互动探究考点一等比数列的基本运算
7、自主练透例1 (1)(2015新课标全国，9)已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2(C)A2B1CD(2)(2019全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和若a11，S3，则S4_.(3)(2020课标，6,5分)数列an中，a12，amnaman.若ak1ak2ak1021525，则k(C)A2B3C4D5(4)(2020课标，6,5分)记Sn为等比数列an的前n项和若a5a312，a6a424，则(B)A2n1B221nC22n1D21n1解析(1)设等比数列an的公比为q，由a1，a3a54(a41)，知q1，则a1q2a1q44(a1q31)，q64，q616q3640
8、，(q38)20，即q38，q2，a2，故选C(2)解法一：设等比数列an的公比为q，由a11及S3，易知q1.把a11代入S3，得1qq2，解得q，所以S4.解法二：设等比数列an的公比为q，因为S3a1a2a3a1(1qq2)，a11，所以1qq2，解得q，所以a4a1q33，所以S4S3a4.解法三：设等比数列an的公比为q，由题意易知q1.设数列an的前n项和SnA(1qn)(其中A为常数)，则a1S1A(1q)1，S3A(1q3)，由可得A，q.所以S4.(3)由amnaman，令m1可得an1a1an2an，数列an是公比为2的等比数列，an22n12n，则ak1ak2ak102k
9、12k22k102k112k121525，k4.故选C(4)设等比数列an的公比为q，则q2，221n.故选B名师点拨等比数列基本量的求法等比数列的计算涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知其三就能求其二，即根据条件列出关于a1，q的方程组求解，体现了方程思想的应用特别提醒：在使用等比数列的前n项和公式时，q的值除非题目中给出，否则要根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式.考点二等比数列的判定与证明师生共研例2 (2019全国卷)已知数列an和bn满足a11，b10,4an13anbn4,4bn13bnan4.(1)证明：anbn是等比数列，anbn是等差数列；(2)
10、求an和bn的通项公式解析(1)证明：由题设得4(an1bn1)2(anbn)，即an1bn1(anbn)又因为a1b11，所以anbn是首项为1，公比为的等比数列由题设得4(an1bn1)4(anbn)8，即an1bn1anbn2.又因为a1b11，所以anbn是首项为1，公差为2的等差数列(2)由(1)知，anbn，anbn2n1，所以an(anbn)(anbn)n，bn(anbn)(anbn)n. 名师点拨等比数列的判定方法(1)定义法：若q(q为非零常数，nN*)或q(q为非零常数且n2，nN*)，则an是等比数列(2)等比中项公式法：若数列an中，an0且aanan2(nN*)，则数
11、列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列(4)前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0,1)，则an是等比数列提醒：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中变式训练1已知数列an的首项a10，an1(nN*)，且a1.(1)求证：是等比数列，并求出an的通项公式；(2)求数列的前n项和Tn.解析(1)记bn1，则，又b111，所以是首项为，公比为的等比数列所以1n1，即an.所以数列an的通项公式为an.(2)由(1)知，1n1，即n11.所以数列的前n项和Tnnn.考点
12、三等比数列性质的应用多维探究角度1等比数列项的性质的应用例3 (1)(2021洛阳市第一次联考)在等比数列an中，a3，a15是方程x26x20的两根，则的值为(B)ABCD或(2)等比数列an的各项均为正数，且a1a54，则log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5_5_.解析(1)设等比数列an的公比为q，因为a3，a15是方程x26x20的根，所以a3a15a2，a3a156，所以a30，a150，S83，3.故选C另解：由题意1q4q87即q8q460，q42或3(舍去)，1q43，故选C名师讲坛素养提升等差、等比数列的综合运用例5 (2021重庆巴蜀中学期中)已知等
13、差数列an中，a11，前n项和为Sn，bn为各项均为正数的等比数列，b12，且b2S27，a2b310.(1)求an与bn；(2)定义新数列Cn满足Cn(nN*)，求Cn前20项的和T20.分析(1)用等差、等比数列基本公式求解(2)分组求和即可解析(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q(q0)，则由题意有解得或(舍去)，ana1(n1)dn，bnb1qn12n.(2)由题意知CnT20C1C2C3C4C19C2012232419220(1319)(2224220)100(4101)引申(1)本例中数列Cn的前n项和Tn_.(2)本例中若Cnanbn，则Cn的前n项和Tn_(n
14、1)2n12_.解析(1)当n为偶数时Tn(2n1)当n为奇数时Tn(2n11)Tn(2)Tn12222323(n1)2n1n2n则2Tn122223(n1)2nn2n1得Tn222232nn2n1n2n1(1n)2n12，Tn(n1)2n12.名师点拨(1)若an，bn分别为等差、等比数列，则求anbn前n项和时用“错位相减法”(2)求奇数项与偶数项表达式不同的数列的前n项和一般用分组求和法(注意当n为偶数时，奇数项、偶数项都是项；当n为奇数时，奇数项有项，偶数项为项)需对n进行分类讨论求解变式训练3(2019课标，18,12分)已知an是各项均为正数的等比数列，a12，a32a216.(1)求an的通项公式；(2)设bnlog2an，求数列bn的前n项和解析(1)设an的公比为q，由题设得2q24q16，即q22q80，解得q2(舍去)或q4.因此an的通项公式为an24n122n1.(2)由(1)得bn(2n1)log222n1，因此数列bn的前n项和为132n1n2.