1、第九讲正态分布知识梳理双基自测知识点一正态曲线及其性质(1)正态曲线：函数f(x)e，x(，)，其中实数和(0)为参数我们称函数f(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线，期望为、标准差为的正态分布通常记作_XN(，2)_.(2)正态曲线的性质：曲线位于x轴_上方_，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线_x_对称；曲线在_x_处达到峰值；曲线与x轴之间的面积为_1_；当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿着x轴平移；当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越_集中_；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越_分散_.知识点二正态分布(1)正态分布的定义及表示
2、若对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)_，(x)dx_，则称X服从正态分布，记作XN(，2)(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值：P(X)_0.682_6_；P(2X2)_0.954_4_；P(3X3)_0.997_4_.对于正态分布N(，2)，由x是正态曲线的对称轴知(1)P(X)P(X)0.5；(2)对任意的a有P(Xa)；(3)P(Xx0)1P(xx0)；(4)P(aXb)P(Xb)P(Xa)注：在X服从正态分布，即XN(，2)时，要充分利用正态曲线的关于直线x对称和曲线与x轴之间的面积为1.题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)随机
3、变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定()(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小()(3)正态分布中的参数和完全确定了正态分布，参数是正态分布的均值，是正态分布的标准差()(4)若XN(0,1)，则P(x)P(x)()题组二走进教材2(P75B组T2改编)设随机变量服从正态分布N(4,3)，若P(a1)，则实数a等于(B)A7B6C5D4解析由题意知4，a6.题组三走向高考3(2015山东)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(B
4、)(附：正态分布N(，2)中，P()0. 682 7，P(22)0.954 5)A0.045 6B0.135 9C0. 271 8D0.317 4解析因为P(33)0. 682 7，P(66)0.954 5，所以P(36)(0.954 50.682 7)0.135 9.故选B4(2015湖北，5分)设XN(1，)，YN(2，)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是(C)AP(Y2)P(Y1)BP(X2)P(X1)C对任意正数t，P(Xt)P(Yt)D对任意正数t，P(Xt)P(Yt)解析由正态分布密度曲线的性质可知，XN(1，)，YN(2，)的密度曲线分别关于直线x1，x2对称，
5、因此结合题中所给图象可得，12，所以P(Y2)P(Y1)，故A错误又XN(1，)的密度曲线较Y N(2，)的密度曲线“瘦高”，所以1P(X1)，B错误对任意正数t，P(Xt)P(Yt)，P(Xt)P(Yt)，C正确，D错误5(2017全国卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(，2)(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3，3)之外的零件数，求P(X1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3，3)
6、之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查试说明上述监控生产过程方法的合理性；下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：99510.129.969.9610.019.929.9810.0410269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得xi9.97，s0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i1,2，16.用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(3，3)之外的数据，用剩下的数据估计和(精确到0.01)附：若随机变量Z服从正态分布N(，2)，
7、则P(3Z1)0.158 7，则P(1Y2)P(X1)0.158 7，P(1Y0)和N(2，)(20)的密度函数分别为1(x)和2(x)，其图象如图所示，则有(AC)A12C12解析f(x)e中x是对称轴，故12；越大，曲线越“矮胖”，越小曲线越“高瘦”，故12.故选A、C考点二正态分布多维探究例1 角度1正态曲线的对称性(1)(2021山东新高考质量测评联盟联考)在2019年高中学生信息技术测试中，经统计，某校高二学生的测试成绩XN(86，2)，若已知P(80X86)0.36，则从该校高二年级任选一名考生，他的测试成绩大于92分的概率为(D)A0.86B0.64C0.36D0.14解析由题意
8、P(86x92)P(8092)0.50.360.14，故选D角度2确定正态曲线的对称轴(2)(2021福建模拟)已知随机变量X服从正态分布N(，2)，若P(X3)P(X1)1，则_2_.解析因为X服从正态分布N(，2)，所以P(X3)P(X3)1，所以P(X1)P(X3)，由正态曲线的对称性知对称轴为X2，所以2.角度3三个常用数据(3)(2020安阳二模)2020年2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象在政府部门的牵头下，部分工厂转业生产口罩，已知某工厂生产口罩的质量指标N(15,0.002 5)，单位为g，该厂每天生产的质量在(14.9 g,15.05 g)的口罩数量为
9、818 600件，则可以估计该厂每天生产的质量在15.15 g以上的口罩数量为(D)参考数据：若N(，2)，则P()0.682 7，P(22)0.954 5，P(33) 0.997 3.A158 700B22 750C2 700D1 350解析由题意知，N(15,0.002 5)，即15，2 0.002 5，即0.05；所以P(14.915.05)P(215.15)P(3)，所以估计该厂每天生产的质量在15.15 g以上的口罩数量为1 000 0001 350(件)故选D引申本例(1)中若有1 000名学生参加测试，则测试成绩在80分以上的人数为_860_.解析1 000P(X80)1 000
10、1(0.50.36)860.名师点拨关于正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值；(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.正态曲线关于直线x对称，从而在关于x对称的区间上概率相等；P(Xa)1P(Xa)，P(Xa)P(Xa)变式训练2(1)(角度1)(2021江苏苏州调研)已知随机变量服从正态分布N(1，2)，且P(4)0.9，则P(21)(C)A0.2B0.3C0.4D0.6(2)(角度2)(2021江西模拟)已知随机变量服从正态分布N(，2)，若P(8)0.15，则P(25)(B)A0.3B0.35C0.5D0.7(3)(角度3)
11、(2021青岛模拟)已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额(单位：元)服从正态分布N(2 000,1002)，则该市某居民手机支付的消费额在(1 900,2 200)内的概率为(C)附：随机变量服从正态分布N(，2)，则P()0.682 6，P(22)0.954 4，P(33)0.997 4.A0.975 9B0.84C0.818 5D0.477 2解析(1)由P(4)0.9，得P(4)0.1.又正态曲线关于x1对称则P(2)P(4)0.1，所以P(21)0.4.故选C(2)根据题意，正态分布N(，2)，若P(8)0.15，则5，即这组数据对应的正态曲线的对称轴x5，则P(5)0.5
12、，又由P(2)0.15，得P(25)0.50.150.35.故选B(3)服从正态分布N(2 000,1002)，2 000，100，则P(1 9002 200)P()P(22)P()0.682 6(0.954 40.682 6)0.818 5.故选C考点三正态分布的综合应用例3 (1)(2021贵州贵阳为明教育集团调研)如图，在正方形ABCD中的阴影部分的上下边界分别是曲线C1和C2，其中C1是正态分布N(0,0.52)的密度曲线，C1与C2关于x轴对称，若在正方形中随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是(C)参考数据：随机变量Z服从正态分布N(，2)的概率为：P(Z)0.682 6，P(2Z
13、2)0.954 4，P(3Z3)0.997 4A0.682 6B0.954 4C0.477 2D0.498 7(2)(2021河南六市模拟)十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：()根据频率分布直方图，估计50位农民的平均年收入(单位：千元)；(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；()由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N
14、(，2)，其中近似为年平均收入，2近似为样本方差s2，经计算得s26.92，利用该正态分布，求：在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入标准大约为多少千元？为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1 000位农民若每位农民的年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？附参考数据：2.63，若随机变量X服从正态分布N(，2)，则P(X)0.6827，P(2X2)0.9545，P(3X3)0.9973.解析(1)因为C1是正态分布N(0,0.52)的密度
15、曲线，且P(2Z2)0.954 4，所以P(1)0.841 4，所以17.402.6314.77时，满足题意，即最低年收入大约为14.77千元由P(x12.14)P(x2)0.50.977 3，每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.977 3，记1 000个农民的年收入不少于12.14千元的人数为则B(1 000，p)，其中p0.977 3于是恰好有k个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率为P(k)Cpk(1p)1 000k，从而由1，得k1 001p而1 001p978.277 3，所以，当0k978时，P(k1)P(k)，由此可知，在所走访的1 000位农民中，年收入
16、不少于12.14千元的人数最有可能是978人名师点拨解决正态分布问题的三个关键点若随机变量N(，2)，则(1)对称轴x；(2)标准差；(3)分布区间利用对称性可求指定范围内的概率值；由，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3特殊区间，从而求出所求概率变式训练3(2021广西柳州铁路一中、玉林一中联考)从某公司生产线生产的某种产品中抽取1 000件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：(1)求这1 000件产品质量指标的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(，2)，其中近
17、似为样本平均数，2近似为样本方差s2.利用该正态分布，求P(175.6Z224.4)；已知每件该产品的生产成本为10元，每件合格品(质量指标值Z(175.6,224.4)的定价为16元；若为次品(质量指标值Z(175.6,224.4)，除了全额退款外且每件次品还须赔付客户48元，若该公司卖出100件这种产品，记Y表示这些产品的利润，求E(Y)附：12.2，若ZN(，2)，则P(Z)0.68，P(2Z2)0.95.解析(1)由题意得1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200s2(170200)20.02(180200)20.09(19
18、0200)20.22(200200)20.33(210200)20.24(220200)20.08(230200)20.02150.即样本平均数为200，样本方差为150.(2)由(1)可知，200，12.2，ZN(200,12.22)，P(175.6Z224.4)P(2ZE()，所以按平均分组法较合理名师点拨随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定变式训练4(2021湖南郴州质检)某蔬菜种植基地有一批蔬菜需要两天内采摘完毕，天气预报显示这两
19、天每天是否有雨相互独立，无雨的概率都为0.8.现有两种方案可以选择：方案一：基地人员自己采摘，不额外聘请工人，需要两天完成，两天都无雨收益为2万元，只有一天有雨收益为1万元，两天都有雨收益为0.75万元方案二：基地额外聘请工人，只要一天就可以完成采摘，当天无雨收益为2万元，有雨收益为1万元额外聘请工人的成本为a万元(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益；(2)该基地是否应该外聘工人？请说明理由解析(1)基地收益X的可能值为2,1,0.75，则P(X2)0.80.80.64，P(X1)0.80.20.20.80.32，P(X0.75)(10.8)(10.8)0.04，故X的分布列为X210.75P0.640.320.04则E(X)20.6410.320.750.041.63.(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益E(Y)20.810.2a1.8 aE(Y)E(X)0.17a综上可得，当额外聘请工人的成本高于0.17万元时，E(X)E(Y)，不外聘工人，当成本低于0.17万元时E(X)E(Y)，外聘工人，当成本恰为0.17万元时，E(X)E(Y)，是否外聘工人均可以