1、新化县五校2022-2023学年高三上学期期末联考数学一、选择题（共8题，共40分）1. 已知全集 ，集合，集合，则集合 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】由解得，所以，因为，所以，所以，故选:B.2. 已知，是两个不同的平面，“存在直线，”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【详解】当，是两个不同的平面，对于其充分性：，可以推出；对于其必要性：可以推出存在直线，故其充分必要条件，故选：C.3. 在如图平面图形中，已知,则的值为A. B. C. D. 0【答案】C【解析】【详解】分析：连结
2、MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：如图所示，连结MN，由 可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C选项.4. 函数 的图象的大致形状是（ ）A. B. C. D. 【答案】AB【解析】【详解】解：因为，当时，在上单调递增，且当趋于时，趋于；在上单调递减，当趋于时，趋于,故排除D；当时，在上单调递减，当趋于时，趋于；在上单调递增，当趋于时，趋于,故排除C.故选：AB.5. 已知为等差数列的前项和，则数列 的最大项为 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】设等差数列的首项为，公差为，因为，所以
3、，所以，则，所以，所以等差数列的通项公式为：，所以，当且仅当时取等号，又，所以当或时取最大值为，故选：B.6. 米接力赛是田径运动中的集体项目一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递甲、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合，已知该组合三次交接棒失误的概率分别是，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【详解】三次交接棒失误的概率分别是，三次交接棒不失误的概率分别是，三次交接棒相互独立，此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是，故选：C.7.
4、九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 多年在九章算术中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马如图 是阳马，则该阳马的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【详解】因，平面ABCD，平面ABCD，则，又因四边形ABCD为矩形，则.则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同.又，则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：，则外接球的表面积为：故选：B8. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，若，则实数a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【详解】由题意，当时，所以当时，；当时，；当时，.综上，函数，在时的解析式等价于.根据奇函数
5、的图像关于原点对称作出函数在上的大致图像如图所示，观察图像可知，要使，则需满足，解得.故选：B.二、多选题（共4题，共20分）9. 下列选项中，是函数的单调递增区间的有（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【详解】令可得函数的单调递增区间为令，函数的单调递增区间为，B正确；令，函数的单调递增区间为，C正确，故选：BC.10. 已知函数的图象与直线有两个交点，则的取值可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】BCD【详解】因为函数的图象与直线有两个交点，所以函数有两个零点，求导得：，当时，恒成立，所以函数在上单调递减，不可能有两个零点；当时，令，可得，当时，当时，所以函数在上单调递减，在上
6、单调递增，所以的最小值为.令，则，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减.所以，所以的最小值，则的取值范围是.所以可以取 ，.故选：BCD11. 已知双曲线过点，且渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ）A. 的方程为B. 的离心率为C. 曲线经过的一个焦点D. 直线与有两个公共点【答案】AC【解析】【详解】解：由双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为，把点代入，得，即双曲线的方程为，故正确；由，得，双曲线的离心率为，故错误；取，得，曲线过定点，故正确；联立，化简得，所以直线与只有一个公共点，故不正确故选：12. 如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻转成A1DE.若M
7、为线段A1C的中点，则在ADE翻转过程中，下列命题正确的是（ ）A. MB是定值B. 点M在圆上运动C. 一定存在某个位置，使DEA1CD. 一定存在某个位置，使MB平面A1DE【答案】ABD【详解】解：取DC的中点N，连接MN，NB，则MNA1D，NBDE，因为MNNBN，A1DDED，所以平面MNB平面A1DE，因为MB平面MNB，所以MB平面A1DE，D正确；A1DEMNB，MNA1D定值，NBDE定值，根据余弦定理得，MB2MN2NB22MNNBcos MNB，所以MB是定值，A正确；因为B是定点，所以M在以B为圆心，MB为半径的圆上，B正确；在矩形ABCD中，AB2AD，E为边AB的
8、中点，所以DEEC，若DEA1C，可得DE平面A1CE,即得DEA1E,与DEA1为矛盾，不存在某个位置，使DEA1C，C不正确.故选： ABD.三、填空题（共4题，共20分）13. 已知复数，_.【答案】【详解】解：所以故答案为：14. 已知，则的最大值是_.【答案】2【详解】因为，所以，当且仅当时，取等号，所以，所以的最大值是2故答案为：215. 已知是定义域为的奇函数，且对任意的满足，若时，有，则_.【答案】【详解】因为，是定义域为的奇函数，所以因为当时，有，所以所以故答案为：16. 抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，垂足为，则的面积是_.【答案】
9、【解析】【详解】试题分析：因为抛物线的焦点为为，所以经过且斜率为的直线方程为，解得，由抛物线定义知，又因为轴，所以，为正三角形，面积是，故答案为.四、解答题（共6题，共70分）17. 已知的三个角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且.（1）求bc的值；（2）求的值.【答案】（1）7，5； （2）【解析】【小问1详解】，cosB，B，根据余弦定理得：，即，解得，故，【小问2详解】a3，b7，c5，B，由正弦定理得，即，B，C，18. 已知数列的前项和.（1）求证：数列是等差数列.（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【小问1详解】解：当时，解得，当时
10、，所以，即，即，又，故数列是以2为首项，1为公差的等差数列.【小问2详解】由（1）知，即，所以，对任意恒成立，即，对任意恒成立，记，故，所以时，所以，即，时，即随着的增大，递减，所以的最大值为，所以，即.19. 甲、乙两所学校进行同一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下列联表：班级与成绩列联表优秀不优秀总计甲队8040120乙队240200240合计320240560附0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：，）（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为成绩与
11、学校有关系；（2）采用分层抽样的方法在两所学校成绩优秀的 名学生中抽取 名同学现从这 名同学中随机抽取 名运同学作为成绩优秀学生代表介绍学习经验，记这 名同学来自甲学校的人数为 ，求 的分布列与数学期望【答案】（1）能在犯错误的概率不超过 的前提下认为成绩与所在学校有关系 （2）分布列见解析，【小问1详解】由题意得，所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为成绩与所在学校有关系【小问2详解】名同学中有甲学校有人，乙学校有人，的可能取值为，的分布列为如下0123所以20. 如图1，在ABC中，DE是ABC的中位线，沿DE将ADE进行翻折，使得ACE是等边三角形（如图2），记AB的中点为F（1）证明：
12、平面ABC（2）若，二面角D-AC-E为，求直线AB与平面ACD所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析 （2）【小问1详解】如图，取AC中点G，连接FG和EG，由已知得，且因为F，G分别为AB，AC的中点，所以，且所以，且所以四边形DEGF是平行四边形所以因为翻折的，易知所以翻折后，又因为，EA，平面AEC，所以平面AEC因为，所以平面AEC因为平面AEC，所以因为ACE等边三角形，点G是AC中点，所以又因为，AC，平面ABC所以平面ABC因为，所以平面ABC【小问2详解】（方法一）如图，过点E作，以E为原点，EH、EC，ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，设，则，则
13、，因为平面AEC所以是平面AEC的法向量，设面ACD的法向量为，则，即，解得取，得因为二面角D-AC-E为，所以，解得，所以，记直线AB与平面ACD所成角，则，所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为（方法二）如图，连接DG，因为平面AEC，平面AEC，所以又因为，DE，平面DEG所以平面DEC因为EG，平面DEG，所以，所以DGE是二面角D-AC-E的平面角，故由ACE是边长为2的等边三角形，得，在RtDGE中，所以，过点F作，垂足为I，因为平面DEGF，平面ACD，所以平面平面ACD又因为平面平面，平面DEGF，且，所以平面ACD连接AI，则FAI即为直线AB与平面ACD所成的角在RtDF
14、G中，得，由等面积法得，解得在RtAFG中，所以在RtFAI中，所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为21. 已知椭圆 的上下左右四个顶点分别为 ， 轴正半轴上的点 满足（1）求椭圆 的标准方程以及点 的坐标（2）过点 作直线 交椭圆于 ，是否存在这样的直线 使得 和 的面积相等？若不存在，请说明理由（3）在（）的条件下，求当直线 的倾斜角为钝角时， 的面积【答案】（1）， 点坐标为 （2）存在， 或 （3）【小问1详解】设点 的坐标为 ，易知 ， ，因此椭圆的标准方程为 ，点坐标为 【小问2详解】设直线 ，由 与 的面积相等知点到直线 的距离相等，所以解得 或 ，所以直线 的方程为 或【小
15、问3详解】若直线 的倾斜角为钝角，则 ，此时直线 的方程为，由 消去 得 ，设 ， 坐标分别 ，则有所以 的面积故所求 的面积为 22. 已知函数（1）若，求函数的单调递减区间;（2）若关于x的不等式恒成立，求整数 a的最小值:（3）若，正实数满足，证明:【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析【解析】【详解】试题分析：（1）利用导数求函数单调区间，注意首先明确定义域，正确求导：因为，所以，由，得，（2）不等式恒成立问题一般利用变量分离法：问题等价于在上恒成立再利用导数求函数最大值，令根为，在上是增函数；在上是减函数 ，所以整数的最小值为2（3）转化为关于的不等式即可：由，即从而，利用导数求左
16、边函数最小值1，所以，解得试题解析：（1）因为，所以， 1分此时， 2分由，得，又，所以所以的单调减区间为 4分（2）方法一：令，所以当时，因为，所以所以在上是递增函数，又因为，所以关于的不等式不能恒成立 6分当时，令，得所以当时，；当时，因此函数在是增函数，在是减函数故函数的最大值为 8分令，因为，又因为在是减函数所以当时，所以整数的最小值为2 10分方法二：（2）由恒成立，得在上恒成立，问题等价于在上恒成立令，只要 6分因为，令，得设，因为，所以在上单调递减，不妨设的根为当时，；当时，所以在上是增函数；在上是减函数所以 8分因为，所以，此时，即所以，即整数的最小值为2 10分（3）当时，由，即从而 13分令，则由得，可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增所以， 15分所以，因此成立 16分
