1、第四节直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求：能判断直线与圆、圆与圆的位置关系一、教材概念结论性质重现1直线与圆的位置关系的判断(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系进行判断dr相离(2)代数法：联立直线与圆的方程，求联立后所得方程的判别式，直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，代数法与几何法是不同的方法和思路，解题时要根据题目特点灵活选择2圆与圆的位置关系设圆O1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r20)方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离dr1r2无解外切dr1r
2、2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d21，所以两圆外离，两圆的公切线有4条4(2021长春质检)圆x2y24与圆x2y24x4y120的公共弦所在直线和两坐标轴所围成图形的面积为()A1 B2 C4 D8B解析：由(x2y24)(x2y24x4y12)0得公共弦所在直线的方程为xy20，它与两坐标轴分别交于(2,0)，(0,2)，所以直线和两坐标轴所围成图形的面积为2225直线l：3xy60与圆x2y22x4y0相交于A，B两点，则|AB|_解析：圆的方程可化为(x1)2(y2)2()2，又圆心(1,2)到直线l的距离为，所以|
3、AB|2考点1直线与圆的位置关系基础性1(2021江西上饶模拟)直线axby0与圆x2y2axby0的位置关系是()A相交 B相切C相离 D不能确定B解析：将圆的方程化为标准方程得，所以圆心坐标为，半径r因为圆心到直线axby0的距离dr，所以直线与圆相切故选B2圆x2y22x4y0与直线2txy22t0(tR)的位置关系为()A相离 B相切C相交 D以上都有可能C解析：由2txy22t0(tR)得：(2x2)t(y2)0，所以直线2txy22t0(tR)恒过点(1，2)因为142850，所以(1，2)在圆x2y22x4y0内部，所以直线2txy22t0(tR)与圆x2y22x4y0相交故选C
4、3若过点A(4,0)的直线l与曲线(x2)2y21有公共点，则直线l的斜率的取值范围为()A， B(，)C D C解析：设直线方程为yk(x4)，即kxy4k0，直线l与曲线(x2)2y21有公共点，所以圆心到直线的距离小于等于半径，即d1，得4k2k21，k2，即k故选C1注意常用方法：判断直线与圆的位置关系一般用几何法，即d与r的关系进行判断2注意直线上定点的作用：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交考点2圆与圆的位置关系综合性(1)若圆(x1)2y2m与圆x2y24x8y160内切，则实数m的值为()A1 B11C121 D1或121D解析：对x2y24x8y160进行整理，可
5、得(x2)2(y4)236，故两圆的圆心坐标为(1,0)，(2，4)，半径分别为，6因为圆(x1)2y2m与圆x2y24x8y160内切，所以圆心距d满足d|r2r1|，即|6|，解得m1或121(2)已知两圆C1：x2y22x6y10和C2：x2y210x12y450求证：圆C1和圆C2相交；求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长证明：由题意可知，圆C1的圆心为C1(1,3)，半径r1，圆C2的圆心为C2(5,6)，半径r24，两圆的圆心距d|C1C2|5，r1r24，|r1r2|4，所以|r1r2|dr1r2，所以圆C1和C2相交解：圆C1和圆C2的方程左右两边分别相减，整理得4
6、x3y230，所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x3y230圆心C2(5,6)到直线4x3y230的距离d3，故公共弦长为22本例(1)中若两圆内含，求实数m的取值范围解：圆(x1)2y2m的圆心为(1,0)，半径为；圆x2y24x8y160，即(x2)2(y4)236，故圆心为(2，4)，半径为6由两圆内含得|6|，解得m121(1)判断两圆位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法注意两圆相切时，应分外切、内切两种情况(2)两圆相交时，两圆的公共弦所在直线的方程，可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到(3)求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距
7、d、半弦长、半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解1(2022安徽黄山五校联考)已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切 B相交 C外切 D相离B解析：将圆M的方程化为x2(ya)2a2，则圆心M(0，a)，半径r1a点M到直线xy0的距离d，则2a2，得a2，故M(0,2)，r12又圆N的圆心N(1,1)，半径r21，所以|MN|，而|r1r2|MN|0)相交于A，B两点若|AB|6，则r的值为_5解析：设圆心为O(0,0)，圆心到直线的距离d4取AB的中点M，连接OM(图略)，则OMAB在RtOMA中，r5
8、一个圆与y轴相切，圆心在直线x3y0上，且在直线yx上截得的弦长为2，求此圆的方程四字程序读想算思求圆的标准方程或一般方程如何求圆的方程？1圆的标准方程是什么？2圆的一般方程是什么数形结合1圆的圆心在直线上2圆与直线相切3圆在直线上截得的弦长为根据题目条件设出圆的标准方程或一般方程，利用待定系数法求解1(xa)2(yb)2r22x2y2DxEyF0借助于圆的几何性质求解思路参考：根据圆心在直线上，设出圆心由圆与直线相切，表示出半径，结合弦长求出圆的方程解：因为所求圆的圆心在直线x3y0上，且与y轴相切，所以设所求圆的圆心为C (3a，a)，半径为r3|a|又圆在直线yx上截得的弦长为2，圆心C
9、(3a，a)到直线yx的距离为d，所以有d2()2r2，即2a279a2，所以a1故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29思路参考：设出圆的标准方程利用圆心到直线的距离公式表示出半径，结合弦长求出圆的方程解：设所求的圆的方程是(xa)2(yb)2r2，则圆心(a，b)到直线xy0的距离为，所以r2()2，即2r2(ab)214由于所求的圆与y轴相切，所以r2a2又因为所求圆心在直线x3y0上，所以a3b0联立，解得a3，b1，r29或a3，b1，r29故所求的圆的方程是(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29思路参考：设出圆的一般方程，用待定系数法求解解：设所求的圆
10、的方程是x2y2DxEyF0，圆心为，半径为令x0，得y2EyF0由圆与y轴相切，得0，即E24F又圆心到直线xy0的距离为，由已知，得()2r2，即(DE)2562(D2E24F)又圆心在直线x3y0上，所以D3E0联立，解得D6，E2，F1或D6，E2，F1故所求圆的方程是x2y26x2y10或x2y26x2y10，即(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)291本题考查圆的方程的求法，解法灵活多变，基本解题策略是设出圆的方程，借助待定系数法求解2基于课程标准，解答本题需要掌握圆的标准方程和一般方程的一般形式本题的解答体现了数学运算、直观想象的核心素养3基于高考评价体系，本题通过圆的代数性质和几何性质之间相互联系和转化，体现了基础性已知圆C的圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点P(3，2)，则圆C的方程为_(x1)2(y4)28解析：(方法一)如图，设圆心(x0，4x0)依题意得1，根据已知条件得解得因此所求圆的方程为(x1)2(y4)28
