1、第七讲立体几何中的向量方法知识梳理双基自测知识点一两个重要的向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有_无数_个(2)平面的法向量直线l平面，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面的法向量显然一个平面的法向量有_无数_个，它们是共线向量知识点二空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直线l的方向向量为n，平面的法向量为mlnmmn0lnmnm平面、的法向量分别为n、mnmnmnmnm0知识点三两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量分别为
2、a，b，其夹角为，则cos|cos|_(其中为异面直线a，b所成的角)知识点四直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，向量e与n的夹角为，则有sin|cos|_.知识点五求二面角的大小(1)如图，AB，CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小_，_.(2)如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos|_，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)知识点六利用空间向量求距离(1)点到平面的距离如图所示，已知AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离为d.(2
3、)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解注意体积法在求点到平面距离时的应用1直线的方向向量的确定：l是空间一直线，A，B是l上任意两点，则及与平行的非零向量均为直线l的方向向量2平面的法向量的确定：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为3若二面角ABCD的大小为，平面ABC内的直线l与平面BCD所成角为，则，当lBC时，取等号题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角()(2)平面的单位法向量是唯一确定的()(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行()(4)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就
4、是直线与平面所成的角()(5)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角()(6)若空间向最a平行于平面，则a所在直线与平面a平行()题组二走进教材2(必修2P111T3)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是_垂直_.解析以A为原点，分别以，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，M，O，N，0，ON与AM垂直3(必修2P117A组T4)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的
5、角是_.解析分别取AC、A1C1的中点D、D1，连接BD，D1D，易知D1D平面ABC，且BDAC，故以D为坐标原点，AC、DB、DD1所成的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系易知B，C1，设BC1与侧面ACC1A1所成的角为，平面ACC1A1的一个法向量为n(0,1,0)，sin ，.题组三走向高考4(2020新高考)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，
6、点A处的纬度为北纬40，则晷针与点A处的水平面所成角为(B)A20B40C50D90解析由题意作出如图所示的截面图，设所求角为，由图易知40，故选B5(2019浙江)如图，已知三棱柱ABCA1B1C1，平面A1ACC1平面ABC，ABC90，BAC30，A1AA1CAC，E，F分别是AC，A1B1的中点(1)证明：EFBC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值解析解法一：(1)证明：连接A1E，因为A1AA1C，E是AC的中点，所以A1EAC，又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABCAC，所以A1E平面ABC，则A1EBC又因为A1FAB，ABC
7、90，故BCA1F.所以BC平面A1EF.因此EFBC(2)取BC的中点G，连接EG，GF，则四边形EGFA1是平行四边形由于A1E平面ABC，故A1EEG，所以平行四边形EGFA1为矩形由(1)得BC平面EGFA1，则平面A1BC平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上连接A1G交EF于O，则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角，不妨设AC4，则在RtA1EG中，A1E2，EG.由于O为A1G的中点，故EOOG，所以cosEOG.因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是.解法二：(1)证明：连接A1E，因为A1AA1C，E是AC的中点，所以A1EAC又平面A1ACC
8、1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABCAC，所以，A1E平面ABC如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz.不妨设AC4.则A1(0,0,2)，B(，1,0)，B1(，3,2)，F，C(0,2,0)因此，(，1,0)由0得EF BC(2)设直线EF与平面A1BC所成角为.由(1)可得(，1,0)，(0,2，2)设平面A1BC的法向量为n(x，y，z)由得取n(1，1)，故sin |cos，n|.因此，直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为.考点突破互动探究考点一利用向量证明空间的平行与垂直自主练透例1 (2020山东青
9、岛胶州实验学校期中)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，ABCD，ABBC，AB2，PAPDCDBC1，平面PAD平面ABCD，E为AD的中点(1)求证：PABD；(2)在线段AB上是否存在一点G，使得直线BC平面PEG？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由解析取BA的中点H，连EH，在梯形ABCD中，由题意易知EHAD，PAPD，E为AD的中点，PEAD，又平面PAD平面ABCD，PE平面ABCD，PEEH，PEAD，AE、EH、EP两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则P，A，B，D，E(0,0,0)，C.(1)，(0，0)，00()00，即PABD(2)设线段AB上存在
10、点G满足条件，则(，0)(01)，(，0).且mn，即，解得.存在点G，当AGAB时，BC平面PEG.注：本题也可用几何法求解，或求平面PEG的法向量n，利用n0nBC平面PEG判断解答名师点拨(1)建立空间直角坐标时尽可能地利用图形中的垂直关系，要准确写出相关点的坐标，进而确定向量的坐标(2)用向量法证平行问题的类型及常用方法线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量表示面面平行证明两平面的法向量平行(即为共线向量)转化为线面平行、线线平行问题(3)利用向
11、量法证垂直问题的类型及常用方法线线垂直问题证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直问题直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直面面垂直问题两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直变式训练1如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，BC2，CC14，点E在线段BB1上，且EB11，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点(1)求证：平面A1B1D平面ABD；(2)求证：平面EGF平面ABD证明以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则B(0,0,0
12、)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，E(0,0,3)，F(0,1,4)设BAa，则A(a,0,0)，G，A1(a，0,4)(1)因为(a,0,0)，(0,2,2)，(0,2，2)，所以0，0.所以，即B1DBA，B1DBD又BABDB，所以B1D平面ABD因为B1D平面A1B1D，所以平面A1B1D平面ABD(2)证法一：因为，(0,1,1)，(0,2，2)，所以0，0.所以B1DEG，B1DEF.因为EGEFE，所以B1D平面EGF.又由(1)知B1D平面ABD，所以平面EGF平面ABD证法二：，又GF平面ABD，AB平面ABD，GF平面ABD，同理EF平面ABD，又GFEFF，GF平
13、面EGF，EF平面EGF，平面EGF平面ABD考点二利用向量求空间的角多维探究角度1向量法求异面直线所成的角例2 (2020豫南豫北精英对抗赛)在四面体ABCD中，CACBCDBD2，ABAD，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为(B)ABCD解析取BD的中点O，连AO，OC，由CACBCDBD2，ABAD，得AOBD，COBD，且OC，AO1.在AOC中，AC2AO2OC2，故AOOC，又知BDOCO，因此AO平面BCD，以OB，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0，0)，D(1,0,0)，(1,0，1)，(1，0
14、)，设异面直线AB与CD所成角为，则cos ，即异面直线AB与CD所成角的余弦值为，故选B名师点拨(1)求异面直线所成角的思路：选好基底或建立空间直角坐标系；求出两直线的方向向量v1，v2；代入公式|cosv1，v2|求解(2)两异面直线所成角的关注点：两异面直线所成角的范围是，两向量的夹角的范围是0，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角角度2向量法求线面角例3 (2021浙江联考)如图，底面ABCD为菱形，AP平面ABCD，APDE，BAD，PAAD2DE.(1)求证：BD平面PEC；(2)求直线DP与平
15、面PEC所成角的正弦值解析解法一：连AC交BD于O，四边形ABCD为菱形，ACBD，又BAD，ABC为正三角形，以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设PAAD2DE2，则易得点C(0,1,0)，D(，0,0)，P(0，1,2)，E(，0,1)，(，1,2)，(0，2,2)，(，1,1)设平面PEC的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，n(0,1,1)(1)(2，0,0)，n0，即n，又BD平面PCE，BD平面PCE.(2)设直线DP与平面PEC所成角为，sin |cos，n|.即直线DP与平面PEC所成角的正弦值为.解法二：(1)连接AC交BD于点O，取PC的中点G，连接EG，GO
16、，则G，O分别为PC，AC的中点，故GOPA，且GOPAAPDE，PA2DE，GODE，GODE，四边形EDOG为平行四边形，EGDO，即EGBD又EG平面PEC，BD平面PEC，BD平面PEC(2)连接DP.AP平面ABCD，APAD，APAC，PAD，PAC为直角三角形，且PA平面ABCD，APDE，DE平面ABCD，DECD，EDC为直角三角形又PAAD2DE，不妨设PAAD2DE2，DP2，在直角梯形PADE中，PE.底面ABCD为菱形，DCDA2，EC，SEDC1.DAB，AC2.在RtPAC中，PC2，SPEC，APDE，AP平面DCE，VPEDCVAEDC，又VDPECVPEDC
17、，VDPECVAEDC，过点A作AHDC于点H，易得AH平面EDC，AH.设点D到平面PEC的距离为h，故h1，h.设DP与平面PEC所成角为，sin .名师点拨1线面角涉及斜线的射影，故找出平面的垂线是解题的基本思路，而这往往正是解题难点所在，故常用向量法求解斜线与平面所成角的问题，关键是确定斜线的一个方向向量a和平面的一个法向量b，再通过计算线面角的向量公式sin |cosa，b|(是斜线与平面所成的角)求解，要特别注意a和b的夹角与线面角的关系2利用空间向量解答立体几何问题的步骤(1)观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；(2)写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；(3)设出相应平面的
18、法向量，利用两直线垂直数量积为0列出方程组，求出法向量；(4)将空间位置关系转化为向量关系；(5)根据定理结论求出相应的角注：用体积法求出点P到平面的距离h，只需再求出|PA|，则可得直线PA与平面所成角的余弦值cos .通过本例两种解法可出看向量法在解决立体几何有关问题中的优越性角度3向量法求二面角例4 (2021安徽合肥调研)在三棱锥PABC中，BC平面PAB，平面PAC平面ABC(1)证明：PA平面ABC；(2)若D为PC的中点，且PA2AB，ABBC，求二面角ABDC的余弦值解析(1)证明：过点B作BOAC于O.平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，BO平面ABC，BO平面P
19、AC，BOPA又BC平面PAB，PA平面PAB，BCPA又BCBOB，BC，BO平面ABC，PA平面ABC(2)ABBC，BOAC，O为BC中点又D为PC的中点，DOPA由(1)知，PA平面ABC，DO平面ABC，DOBO，DOAO，以O为原点，以，所在方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图设ABBC，则AC2，PA4，则O(0,0,0)，A(1,0,0)，C(1,0,0)，B(0,1,0)，P(1,0,4)，D(0,0,2)设平面ABD的法向量为n1(x1，y1，z1)，n1，n1，n10，n10，(1,1,0)，(1,0,2)，.设z11得x12，y12，n1(2,2,1)，设
20、平面BCD的法向量为n2(x2，y2，z2)，n2，n2，n20，n20，(1,1,0)，(0,1，2)，.令z21得x22，y22，n2(2,2,1)，cosn1，n2.二面角ABDC的平面角是钝角，cos .即二面角ABDC的余弦值为.注：(1)注意到AB、BC、PA两两垂直，故也可以BC为x轴、BA为y轴建立坐标系求解；(2)注意到BCDBAD，故作CHBD于H，连AH，则AHBD，AHC即为二面角ABDC的平面角，令ABBC，易求得CHAH，cosAHC.名师点拨利用向量法确定二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹
21、角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小(3)将二面角转化为线面角求解如图要求二面角PABC，可作PHAB，则二面角PABC的大小即为PH与平面ABC所成角的大小，PH易求，可用体积法求P到平面ABC的距离h，则sin .变式训练2(1)(角度1)(2018江苏高考题改编)在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA12，点P，Q分别为A1B1，BC的中点，则异面直线BP与AC1所成角的余弦值为_.(2)(角度2)(2021广东广州广雅中学等三校联考
22、)如图，在梯形ABCD中，ABCD，ADCDCB2，ABC60，矩形ACFE中，AE2，又BF2.求证：BC平面ACFE；求直线BD与平面BEF所成角的正弦值(3)(角度3)(2019课标)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点证明：MN平面C1DE；求二面角AMA1N的正弦值解析(1)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OBOC，OO1OC，OO1OB，以，为基底，建立空间直角坐标系Oxyz.因为ABAA12，所以A(0，1,0)，B(，0,0)，C1(0,1,2)
23、因为P为A1B1的中点，所以P.从而，(0,2,2)故|cos，|.因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为.(2)证明：在梯形ABCD中，ABCD，ADCDCB2，ABC60，四边形ABCD是等腰梯形，ADC120，DCADAC30，DCB120，ACBDCBDCA90，ACBC(也可以利用余弦定理求出AC，BC再证明)又矩形ACFE中，CFAE2，又BF2，CB2，CF2BC2BF2，CBCF，又ACCFF，BC平面ACFE.以点C为坐标原点，以CA所在直线为x轴，以CB所在直线为y轴，以CF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系可得C(0,0,0)，B(0,2,0)，F(0,0,2)，D(
24、，1,0)，E(2，0,2)(2，0,0)，(0，2,2)，(，3,0)，设平面BEF的法向量为n(x，y，z)，令y1，则x0，z1，n(0,1,1)，|cos，n|，直线BD与平面BEF所成角的正弦值是.(3)证法一：连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以MEB1C，且MEB1C又因为N为A1D的中点，所以NDA1D由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，MNED又MN平面EDC1，所以MN平面C1DE.证法二：四边形ABCD为菱形，BAD60，连BD则BCD为正三角形，又E为BC的中点，DEBC，又DD1平面ABCD，DA、
25、DE、DD1两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则(0，0)，(0，0)，MNED，又MN平面ABCD，ED平面ABCD，MN平面ABCD解法一：由已知可得DEDA以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1，2)，N(1,0,2)，(0,0，4)，(1，2)，(1,0，2)，(0，0)设m(x，y，z)为平面A1MA的法向量，则所以可取m(，1,0)设n(p，q，r)为平面A1MN的法向量，则所以可取n(2,0，1)于是cosm，n，所以二面角AMA1N的正弦值为.解法二：由题意易知，A1M2AM，又AA14，A1M2
26、AM2AA，AMA1M，二面角AMA1N的大小即为AM与平面A1MN所成角的大小，又A1M2，MN，A1N，A1NMN2A1M，A1NMN，取AB的中点H，则DHAB，且DH，平面ABB1A1平面ABCD，DH平面ABB1A1，A1D的中点N到平面ABB1A1的距离为，记A到平面A1MN的距离为h，VNA1AMVAA1MN，则h，h，sin ，即二面角AMA1N的正弦值为.考点三利用向量求空间的距离师生共研例5 (2021广东广州模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD的边长为2的菱形，BAD60，APD90，且PAPD，ADPB(1)求证：ADPB；(2)求点A到平面PBC的距离解析(
27、1)证明：取AD的中点O，连接OP，OB，BD，因为底面ABCD为菱形，BAD60，所以ADABBD因为O为AD的中点，所以BOAD在PAD中，PAPD，O为AD的中点，所以POAD因为BOPOO，所以AD平面POB因为PB平面POB，所以ADPB(2)由题意及(1)易知OP1，BO，PB2，OP2BO2PB2，OPOB，OP、OA、OB两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0，0)，C(2，0)，P(0,0,1)，(1,0,1)，(0，1)，(2，1)，设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，则，不妨取y1，则n(0,1，)，点A到平面PBC的距离d.另解(2)(体积法)
28、：PAPD，APD90，POAD1，又ADPB，BCAD，BCPB，记A到平面PBC的距离为h，则由VAPBCVPABC得h22sin 120，h，即A到平面PBC的距离为.变式训练3(2021安徽合肥质检)如图，边长为2的等边ABC所在平面与菱形A1ACC1所在平面互相垂直，A1CAC1，M为线段AC的中点(1)求证：平面BMC1平面A1BC1；(2)求点C到平面A1BC1的距离解析(1)因为四边形A1ACC1为菱形，所以A1CAC1.又因为A1CAC1，所以ACC160，即ACC1为等边三角形因为AC1CC1，M为线段AC的中点，所以ACC1M.因为ABBC，M为线段AC的中点，所以ACB
29、M.又因为C1MBMM，所以AC平面BMC1.又因为ACA1C1，所以A1C1平面BMC1.又A1C1平面A1BC1，所以平面BMC1平面A1BC1.(2)因为平面A1ACC1平面ABC，交线是AC，且C1MAC，所以C1M平面ABC以M为原点，MB，MC，MC1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：C(0,1,0)，B(，0,0)，C1(0,0，)，A1(0，2，)，则(0,2,0)，(，0，)，(0，1，)，设平面A1BC1的法向量为n(x，y，z)，则，令x1，则n(1,0,1)，点C到平面A1BC1的距离d.名师讲坛素养提升利用向量法解答立体几何中的探究型问题例6 (2021
30、山东潍坊安丘市、诸城市、高密市联考)在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，BCAD，ADC90，BCCDAD1，E为线段AD的中点，过BE的平面与线段PD，PC分别交于点G，F.(1)求证：GFPA；(2)若PAPD，是否存在点G，使得直线PB与平面BEGF所成角的正弦值为，若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由解析(1)因为BCAD，且E为线段AD的中点，所以BCDE，又因为BCAD，所以四边形BCDE为平行四边形，所以BECD，又因为CD平面PCD，BE平面PCD，所以BE平面PCD，又平面BEGF平面PCDGF，所以BEGF，又BEAD，且平面PA
31、D平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BE平面PAD，所以GF平面PAD，又PA平面PAD，所以GFPA(2)因为PAPD，E为线段AD的中点，所以PEAD，又因为平面PAD平面ABCD，所以PE平面ABCD，以E为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz；则P(0,0,1)，B(0,1,0)，E(0,0,0)，D(1,0,0)，则(0,1，1)，(0，1,0)，(1,0,1)，设(01)，得G(1,0，)，所以(1,0，)，设平面BEGF的法向量为n(x，y，z)，则即不妨令x，可得n(，0,1)为平面BEGF的一个法向量，设直线PB与平面BEGF所成角为
32、，于是有sin |cosn，|；得或1(舍)，所以存在点G，使得直线PB与平面BEGF所成角的正弦值为.故G为DP的靠近D点的三等分点名师点拨对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”变式训练4(2021福建龙岩质检)在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADCBCD90，BC1，PDAD2DC2，PDA60，且平面PAD平面ABCD(1)求证：BDPC；(2)在线段PA上是否存在一点M，使二面角MBCD的大小为30？
33、若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解析(1)过点P在平面PAD内作POAD，垂足为O，连接BO、OC，平面PAD平面ABCD，PO平面ABCD，POBD，PDA60，PDDA2，PDA是等边三角形，OD1BC，ODBC，BCD90，四边形OBCD是正方形，BDOC，OCPOO，BD平面POC，PC平面POC，BDPC(2)PO平面ABCD，OBAD，如图，建立空间直角坐标系Oxyz，则B(0,1,0)，C(1,1,0)，D(1,0,0)，P(0,0，)，A(1,0,0)，假设在线段PA上存在一点M，使二面角MBCD大小为30，设(01)，(0，1，)则(，1，)，(1,0,0)，设平面MBC的法向量为m(x，y，z)，则，取m(0，1)，又平面ABCD的一个法向量n(0,0,1)，二面角MBCD大小为30，cos 30，解得或(舍)，在线段PA上存在点M，满足题设条件，且.