1、万有引力与航天(建议用时40分钟)1.如图所示,a是地球赤道上的一点,某时刻在a的正上方有三颗卫星b、c、d,它们的圆轨道与赤道平面共面,各卫星从该时刻起,经过一段时间t(这段时间小于b卫星绕地球运行的周期),卫星相对a的位置最接近实际的是()【解析】选C。根据G=mr()2得T=2,可知轨道半径越大,周期越大,角速度越小,所以经过相同的时间,三个卫星中,b转过的角度最大,c次之,d最小,若d为同步卫星,则与赤道上的a保持相对静止,故C正确,A、B、D错误。2.(2017浙江4月选考真题)如图所示,设行星绕太阳的运动是匀速圆周运动,金星自身的半径是火星的n倍,质量为火星的k倍。不考虑行星自转的
2、影响,则()A.金星表面的重力加速度是火星的倍B.金星的“第一宇宙速度”是火星的倍C.金星绕太阳运动的加速度比火星小D.金星绕太阳运动的周期比火星大【解析】选B。根据g=可知=,A错误;根据v=可知,=,B正确;根据a=可知,距离越远,加速度越小,C错误;由=C可知,距离越远,周期越长,所以选项D错误。3.纳米材料的抗拉强度几乎比钢材还高出100倍,使人们设想的太空电梯成为可能。其工作原理是从同步卫星高度的太空站竖直放下由纳米材料做成的太空电梯,固定在赤道上,这样太空电梯随地球一起旋转,如图所示。关于太空电梯仓停在太空电梯中点P时,下列关于太空电梯仓的说法正确的是()A.处于平衡状态B.速度比
3、同步卫星大C.向心加速度比同高度卫星的小D.处于完全失重状态【解析】选C。电梯做圆周运动,有加速度,受力不平衡,A错误;电梯的角速度和同步卫星的角速度相等,而轨道半径比同步卫星的小,根据v=r知线速度比同步卫星小,B错误;根据G=m2r可得=,同高度卫星和同步卫星相比,同高度卫星比同步卫星的角速度大,即同高度卫星的角速度比电梯仓的角速度大,根据a=2r知向心加速度比同高度卫星的小,C正确;完全失重时,重力充当向心力,而电梯仓除受重力外,还受电梯作用,D错误。4.国务院批复,自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号,目前仍然在椭圆轨
4、道上运行,其轨道近地点高度约为440 km,远地点高度约为2 060 km。1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a1,东方红二号的加速度为a2,固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3,则a1、a2、a3的大小关系为()A.a2a1a3B.a3a2a1C.a3a1a2D.a1a2a3【解题指导】解答本题时应从以下两点进行分析:(1)向心加速度a=2r。(2)万有引力充当向心力G=ma。【解析】选D。东方红二号和地球赤道上随地球自转的物体的角速度相同,东方红二号的轨道半径大于地球赤道上随地球自转的物体的半
5、径,由a=2r得a2a3,东方红一号和东方红二号由万有引力充当向心力:G=ma,结合二者离地面的高度可得a1a2,选D。【误区警示】本题容易将地球赤道上随地球自转的物体用万有引力充当向心力:G=ma,得到a3a1,误选C。5.地球赤道上有一物体随地球自转,所受的向心力为F1,向心加速度为a1,线速度为v1,角速度为1;绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略),所受的向心力为F2,向心加速度为a2,线速度为v2,角速度为2;地球的同步卫星所受的向心力为F3,向心加速度为a3,线速度为v3,角速度为3;地球表面的重力加速度为g;第一宇宙速度为v,假设三者质量相等,则()A.F1=F2F3B.
6、a1=a2=ga3C.v1=v2=vv3D.1=32【解析】选D。地球同步卫星的运动周期与地球自转周期相同,角速度相同,即1=3,根据关系式v=r和a=2r可知,v1v3,a1v3,a2a3,23;绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)的线速度就是第一宇宙速度,即v2=v,其向心加速度等于重力加速度,即a2=g;所以v=v2v3v1,g=a2a3a1,23=1,又因为F=ma,所以F2F3F1。可见,选项A、B、C错误,D正确。【总结提升】同步卫星、近地卫星和赤道上随地球自转物体的比较(1)近地卫星是轨道半径等于地球半径的卫星,卫星做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供。同步卫星是在赤道
7、平面内,定点在某一特定高度的卫星,其做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供。在赤道上随地球自转做匀速圆周运动的物体是地球的一个部分,它不是地球的卫星,充当向心力的是物体所受万有引力与重力之差。(2)近地卫星与同步卫星的共同点是卫星做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供;同步卫星与赤道上随地球自转的物体的共同点是具有相同的角速度。当比较近地卫星和赤道上物体的运动规律时,往往借助同步卫星这条纽带会使问题迎刃而解。6.(2019杭州模拟)2007年欧洲天文学家宣布在太阳系之外发现了一颗可能适合人类居住的类地行星,命名为“格利斯581c”。该行星的质量约是地球质量的5倍,直径约是地球直径的1.5倍。现假设
8、有一艘宇宙飞船飞临该星球表面附近轨道做匀速圆周运动,则下列说法正确的是()A.“格利斯581c”的平均密度比地球的平均密度小B.飞船在“格利斯581c”表面附近运行时的速度小于7.9 km/sC.运动员在“格利斯581c”表面上最佳跳高成绩将比地面上要差D.一单摆放在“格利斯581c”表面上做实验,其摆动将比地面上要慢【解析】选C。行星的平均密度c=地,故A错误;由万有引力提供向心力得:G=m,所以=1,则飞船在行星表面做圆周运动时的速度大于7.9 km/s,故B错误;在行星表面物体受到的万有引力等于重力,所以有:G=mg,忽略地球自转,物体受到的万有引力等于重力。所以有:G=mg,整理得:1
9、,所以行星表面处的重力加速度大于9.8 m/s2。故运动员在“格利斯581c”表面上最佳跳高成绩将比地面上要差,故C正确;根据单摆的周期公式T=2,由于“格利斯581c”表面上的重力加速度大,故单摆的周期小,摆动快,故D错误;故选C。7.卫星电话在抢险救灾中能发挥重要作用。第三代海事卫星采用地球同步卫星和中轨道卫星结合的方案,它由4颗同步卫星与12颗中轨道卫星构成。中轨道卫星高度为10 354 km,分布在几个轨道平面上(与赤道平面有一定的夹角),在这个高度上,卫星沿轨道旋转一周的时间为6 h。下列判断正确的是()A.中轨道卫星的线速度小于地球同步卫星B.中轨道卫星的角速度小于地球同步卫星C.
10、在中轨道卫星经过地面某点正上方的24 h后,该卫星仍在该点的正上方D.某一时刻中轨道卫星、地球同步卫星与地球的球心在同一直线上,那么经过6 h它们仍在同一直线上【解析】选C。中轨道卫星和同步卫星都环绕地球做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,则由=m得周期大的卫星轨道半径大,线速度小,选项A错误;由=得中轨道卫星的角速度大,选项B错误;24 h后,地球转回到原位置,中轨道卫星也恰好转了4周,仍在该点的正上方,选项C正确;中轨道卫星的轨道平面不是赤道平面,6 h后中轨卫星回到原位置,而同步卫星转过四分之一圆周,不会在同一直线上,选项D错误。8.(2019金华模拟)2018年12月8日2时23分我国
11、自行研制的“嫦娥四号”无人探测器发射成功,开启人类首次月球背面软着陆探测之旅。若已知万有引力常量G,那么在下列给出的各种情景中,能根据测量的数据估算月球密度的是()A.在月球表面释放一个小球做自由落体运动,测出下落高度H和时间tB.观察月球绕地球的匀速圆周运动,测出月球的直径D和运行周期TC.“嫦娥四号”绕月球做匀速圆周运动,测出距月球表面的高度H和运行周期TD.“嫦娥四号”靠近月球表面绕月球做匀速圆周运动,测出运行周期T【解析】选D。设月球质量为M,半径为R,月球表面重力加速度为g;A.小球做自由落体运动,则有:H=gt2,故月球表面重力加速度g=;根据月球表面物体的重力等于万有引力,有:=
12、mg,所以,月球质量M=,月球的体积V=R3,解得月球的密度=,由于月球半径R未知,故月球的密度无法求解;故A错误。B.观察月球绕地球的匀速圆周运动,测出月球的运行周期T,若再加上月球的轨道半径,能求出地球的质量,不能求出月球的质量,因而也求不出月球的密度;故B错误。C.“嫦娥四号”在高空绕月球做匀速圆周运动,根据万有引力等于向心力得G=m(R+H),由于R未知,求不出月球的质量,因而也求不出月球的密度;故C错误。D.“嫦娥四号”贴近月球表面做匀速圆周运动,根据万有引力等于向心力得G=mR,得M=,月球的密度=,已知G和T,所以可以求出月球的密度;故D正确。【加固训练】北斗卫星导航系统是我国自
13、行研制的全球卫星导航系统,北斗卫星导航系统空间段由5颗静止轨道卫星和30颗非静止轨道卫星组成。对于5颗位于赤道上空的地球同步卫星,下列说法正确的是()A.动能相等,受到地球的万有引力不相等B.角速度相等,周期不相等C.线速度、加速度的大小均相等D.周期相等,轨道半径不相等【解析】选C。对于不同的同步卫星,角速度和周期恒定,但质量可以不同,根据公式=mR=m=m2R=ma,可以判断线速度、加速度、轨道半径的大小相同,故选项C正确。9.(2018浙江11月选考真题)20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船,为了测量自身质量,启动推进器,测出飞船
14、在短时间t内速度的改变为v和飞船受到的推力F(其他星球对它的引力可忽略)。飞船在某次航行中,当它飞近一个孤立的星球时,飞船能以速度v在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T 的匀速圆周运动。已知星球的半径为R,引力常量用G表示。则宇宙飞船和星球的质量分别是()A.,B.,C.,D.,【解析】选D。根据牛顿第二定律可知F=ma=m,所以m=,飞船做圆周运动的周期T=,得半径为R=,根据万有引力提供向心力可得G=m,得M=,故D正确。10.(2019杭州模拟)2018年2月2日,我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空,标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。“张衡
15、一号”的设计指标和载荷配置均超过国外同类卫星。采用通用小卫星平台,搭载感应式磁力仪、高精度磁强计、电场探测仪、GNSS掩星接收机、等离子体分析仪、高能粒子探测器、朗缪尔探针和三频信标发射机等8种载荷。“张衡一号”的轨道为500公里高度的圆极地轨道,轨道倾角97,降交点地方时为下午14:00,重访周期为5天,已知地球半径为6 400 km,地球表面的重力加速度g为9.8 m/s2,下列说法正确的是()A.“张衡一号“绕地球运动的向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度B.“张衡一号”绕地球运动的周期大于地球同步卫星的周期C.“张衡一号”绕地球运动的角速度大于地球同步卫星的角速度D.仅利用上述数据,
16、无法计算“张衡一号”绕地球运动的线速度【解析】选C。由万有引力提供向心力G=ma=m2r=mr,解得a=,=,T=2,由题意知“张衡一号”的轨道半径小于同步卫星的轨道半径,故“张衡一号”绕地球运动的向心加速度和角速度大于地球同步卫星的向心加速度和角速度,“张衡一号”绕地球运动的周期小于地球同步卫星的周期,故A、B错误,C正确;在地球表面有,mg=G,解得GM=gR2,对卫星有,G=m,r=R+h,故“张衡一号”的线速度v=,其中g、R、h均为已知量,故利用上述数据可以计算“张衡一号”的线速度,故D错误。11.已知引力常量G,地球半径R,月球和地球之间的距离r,同步卫星距地面的高度h,质量为m,
17、月球绕地球的运转周期T1,地球的自转周期T2,地球表面的重力加速度g,某同学根据以上条件,提出一种估算地球质量M的方法:同步卫星绕地心做圆周运动,由G=mh得M=。请判断上面的结果是否正确,并说明理由,如不正确,请给出正确的解法和结果。【解析】上面结果是错误的,地球的半径R在计算过程中不能忽略,正确解法和结果由=(R+h)得M=。答案:见解析12.“嫦娥三号”探测器于2013年12月2日凌晨在西昌发射中心发射成功。“嫦娥三号”经过几次成功变轨以后,成功进入绕月轨道。12月14日21时11分,“嫦娥三号”探测器在月球表面预选着陆区域成功着陆,标志着我国已成为世界上第三个实现地外天体软着陆的国家。设“嫦娥三号”探测器环绕月球的运动为匀速圆周运动,它距月球表面的高度为h,已知月球表面的重力加速度为g,月球的半径为R,引力常量为G,则(1)探测器绕月球运动的向心加速度为多大?(2)探测器绕月球运动的周期为多大?【解析】(1)对月球表面附近的物体有G=mg对探测器,根据牛顿第二定律有G=ma,解得a=(2)万有引力提供探测器做匀速圆周运动的向心力,则:G=m()2(R+h)解得 T=2答案:(1)(2)2