1、练案7第四讲函数的奇偶性与周期性A组基础巩固一、单选题1函数f(x)x的图象关于(C)Ay轴对称B直线yx对称C坐标原点对称D直线yx对称解析f(x)xf(x),且定义域为(,0)(0,),f(x)为奇函数f(x)的图象关于坐标原点对称2(2021西藏山南二高模拟)下列函数中,是偶函数且在区间(0,)上单调递减的函数是(D)Ay2xByCy|x|Dyx21解析A选项,根据y2x的图象知该函数非奇非偶,可知A错误;B选项,由y的定义域为0,),知该函数非奇非偶,可知B错误;C选项,当x(0,)时,y|x|x为增函数,不符合题意,可知C错误;D选项;由(x)21x21,可知该函数为偶函数,根据其图
2、象可看出该函数在(0,)上单调递减,可知D正确故选D.3已知函数f(x),则下列结论正确的是(D)Af(x)是偶函数Bf(x)是增函数Cf(x)是周期函数Df(x)的值域为1,)解析因为yx41(x0)的值域为(1,),且ycos 2x(x0)的值域为1,1,所以,f(x)的值域为(1,)1,11,)故选D.4已知函数yf(x)x是偶函数,且f(2)1,则f(2)(B)A1B5C1D5解析令g(x)f(x)x,由题意可得g(2)g(2)f(2)23.又g(2)f(2)2,故f(2)g(2)25.5(2019全国,6)设f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)ex1,则当x0时,f(x)(D)Ae
3、x1Bex1Cex1Dex1解析f(x)是奇函数,f(x)f(x)当x0,f(x)ex1f(x),即f(x)ex1.故选D.6已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)0,f(x1)f(x1)0,且当x(1,0)时,f(x)log2(x),则f(B)A1BCD1解析f(x)f(x)0,f(x)f(x),函数f(x)是奇函数,f(x1)f(x1)0,f(x1)f(x1),令xx1,则f(x2)f(x),f(x4)f(x2)f(x)f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数,ffff,又当x(1,0)时,f(x)log2(x),flog21,f,故选B.7(2021甘肃天水一中阶段测试
4、)已知函数f(x)e|x|x2,(e为自然对数的底数),且f(3a2)f(a1),则实数a的取值范围是(C)A.BC.D解析显然f(x)为偶函数且在0,)上单调递增,f(3a2)f(a1)|3a2|a1|(3a2)2(a1)2a或a0f(4)Bf(2)0f(4)0Df(2)f(4)0f(2),所以f(4)0f(2),即f(2)0f(4)故选B、C、D.10(2021吉林长春质检)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x) f(2x)0,则下列结论正确的是(ABD)Af(x)的图象关于点(1,0)对称Bf(x2)f(x)Cf(3x)f(x1)Df(x2)f(x)解析本题考查函数图象的对称性对于A
5、,由f(x)f(2x)0得f(x)的图象关于点(1,0)对称,选项A正确;对于B,用x替换f(x)f(2x)0中的x,得f(x)f(2x)0,所以f(x2)f(x)f(x),选项B正确;对于C,用x1替换f(x)f(2x)0中的x,得f(3x)f(x1),选项C错误;对于D,用x2替换f(x2)f(x)中的x,得f(x2)f(x),选项D正确三、填空题11若函数f(x1)为偶函数,则函数f(x)的图象的对称轴方程为 x1 .解析解法一:由已知得f(x1)f(x1),所以yf(x)关于x1对称解法二:将yf(x1)右移1个单位,得到yf(x)图象,关于x1对称12设f(x)是周期为3的函数,当1
6、x3时,f(x)2x3,则f(8) 7 .2x0时,f(x) 2x9 .解析因为f(x)是周期为3的函数,所以f(8)f(2)2237.当2x0时,f(x)f(x3)2(x3)32x9.13已知定义在R上的奇函数yf(x)在(0,)内单调递增,且f0,则f(x)0的解集为.解析由已知可构造yf(x)的示意图象,所以f(x)0的解集为.14(2018课标全国,16)已知函数f(x)ln(x)1,f(a)4,则f(a) 2 .解析本题考查函数的奇偶性易知f(x)的定义域为R,令g(x)ln(x),则g(x)g(x)0,g(x)为奇函数,f(a)f(a)2,又f(a)4,f(a)2.B组能力提升1(
7、多选题)(2020陕西西安中学模拟改编)设f(x)x2g(x),若函数f(x)为偶函数,则g(x)的解析式可能为(BC)Ag(x)x3Bg(x)cos xCg(x)x21Dg(x)xex解析因为f(x)x2g(x),且f(x)为偶函数,所以有(x)2g(x)x2g(x),即g(x)g(x),所以g(x)为偶函数,由选项可知,只有选项B、C中的函数为偶函数,故选B、C.2(2020全国,10)设函数f(x)x3,则f(x)(A)A是奇函数,且在(0,)单调递增B是奇函数,且在(0,)单调递减C是偶函数,且在(0,)单调递增D是偶函数,且在(0,)单调递减解析本题考查函数的奇偶性与单调性由题意,知
8、函数f(x)的定义域为(,0)(0,)因为f(x)(x)3x3f(x),所以函数f(x)为奇函数又易知yx3和y在(0,)都单调递增,所以函数f(x)x3在(0,)单调递增,故选A.3已知函数f(x)asin xb4,若f(lg 3)3,则f(C)A3B5C5D0解析由f(lg 3)asin(lg 3)b43得asin(lg 3)b1,而ff(lg 3)asin(lg 3)b4asin(lg 3)b4145.故选C.4(2021黑龙江哈尔滨六中高三月考)若f(x)exaex为奇函数,则f(x1)e的解集为(A)A(,2)B(,1)C(2,)D(1,)解析f(x)exaex为奇函数,f(0)0,
9、即f(0)1a0.则a1,即f(x)exex,则函数f(x)在(,)上为增函数,又f(1)e,则不等式f(x1)e等价于f(x1)f(1),即x11,解得x2,即不等式的解集为(,2)故选A.5(2021长春市质量监测)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0x2时,f(x)x3x,则函数yf(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为(B)A6B7C8D9解析因为f(x)是最小正周期为2的周期函数,且0x2时,f(x)x3xx(x1)(x1),所以当0x2时,f(x)0有两个根,即x10,x21.由周期函数的性质知,当2x4时,f(x)0有两个根,即x32,x43;当4x6时,f(x)0有三个根,即x54,x65,x76,故f(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点个数为7.